全国高考数学复习微专题：几何问题的转换
几何问题的转换
一、基础知识：
在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系
2、常见几何问题的转化： （1）角度问题：
① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k
② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定
（2）点与圆的位置关系
① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大
② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，
ACB ∠为钝角
（再转为向量：0CA CB ?
）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ?>u u r u u u r
）
（3）三点共线问题
① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线
（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：
()()1122,,,a x y b x y ==r r
，则,a b r r 共线1221x y x y ?=；a b ⊥r r 12120x x y y ?+=
（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系
（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）
3、常见几何图形问题的转化
（1）三角形的“重心”：设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则ABC V 的重心123123,33x x x y y y G ++++??
???
（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零
（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如
图）：,IP AC IQ AQ ⊥⊥
I 在BAC ∠的角平分线上AI AC AI AB
AP AQ AC AB
???=?=u u r u u u r u u r u u u r
u u u r u u u r （4）P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点
DP DA DB ?=+u u u r u u u r u u u r
（5）P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在AB 垂直平分线上
（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）
例如：AC AB AC AB ?=?u u u r u u u r ，AC BC AC BC ?=-?u u u r u u u r
C
A
二、典型例题：
例1：如图：,A B 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点，F 为其右焦点，2是
,AF FB 的等差中项，3是,AF FB 的等比中项
（1）求椭圆C 的方程
（2）已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线l 过点A 且垂直于x 轴，若过F 作直线FQ AP ⊥，并交直线l 于点Q 。证明：
,,Q P B 三点共线
解：（1）依题意可得：()()(),0,,0,,0A a B a F c -
,AF c a BF a c ∴=+=-
2Q 是,AF FB 的等差中项 42AF FB a c a c a ∴=+=++-= 2a ∴=
3Q 是,AF FB 的等比中项 ()
()()2
2223AF FB a c a c a c b ∴
=?=+-=-=
23b ∴=
Q 椭圆方程为：22
143
x y +
= （2）由（1）可得：()()()2,0,2,0,1,0A B F -
设():2AP y k x =+，设()11,P x y ，联立直线与椭圆方程可得：
()
()22
22223412
4316161202x y k x k x k y k x ?+=??+++-=?
=+?? 2211221612684343
A k k x x x k k --∴=?=++
()11212243k
y k x k ∴=+=+ 2226812,4343k k P k k ??-∴ ?++??
另一方面，因为FQ AP ⊥ 1
FQ k k
∴=-
()1:1FQ y x k ∴=--，联立方程：()1132,2
y x Q k k x ?=--?
???-? ????=-? ()2,0B Q
()303224BQ
k k k -
∴==--- 2222
1201234368164243BP
k
k k k k k k k -
-+===---+ BQ BP k k ∴=
,,B Q P ∴三点共线
例2：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若
△OMF 的面积为
2
1
，且椭圆的离心率为22．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（1）111
222
OMF S OM OF bc =
??==V
::2
c e a b c a =
=?= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+=
∴椭圆方程为：2
212
x y +=
（2）设),(11y x P ，),,(22y x Q 由（1）可得：()()0,1,1,0M F
1MF k ∴=- F Q 为△PQM 的垂心
MF PQ ∴⊥ 11PQ MF
k k ∴=-
=
设:PQ y x m =+
由F 为△PQM 的垂心可得：MP FQ ⊥
()()1122,1,1,MP x y FQ x y =-=-u u u r u u u r
()()1212110MP FQ x x y y ∴?=-+-=u u u r u u u r
①
因为,P Q 在直线y x m =+上
1
122y x m
y x m
=+?∴?=+?，代入①可得： ()()()1212110x x x m x m -++-+=
即0)1)((22
2121=-+-++m m m x x x x ② 考虑联立方程：
22
22
y x m x y =+??+=? 得022432
2=-++m mx x ． ()22216122203m m m ?=-->?<
1243m
x x ∴+=-
,322221-=m x x ．代入②可得： ()22
22421033m m m m m -???+-?-+-= ???
解得：4
3
m =-
或1m = 当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去 当34
-
=m 时，所求直线l 存在，直线l 的方程为3
4-=x y 小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）
例3：如图，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点是
()1,0F ，O 为坐标原点.
（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求
椭圆的方程；
（2）设过点F 且不垂直x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点，若直线l 绕点F 任意转动，恒有
222
OA OB AB +<, 求a 的取值范围.
解：（1）由图可得：10,3M b ??
???
由正三角形性质可得：,6
3
MF MFO k π
∠=
=-
1
301MF
b k -∴==-
b ∴= 2224a b
c ∴=+=
∴椭圆方程为：22
143
x y +
= （2）设():1l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y
222
OA OB AB + 2 2 2 cos 02OA OB AB AOB OA OB +-∴∠= < AOB ∴∠为钝角 12120OA OB x x y y ∴?=+ 联立直线与椭圆方程：()()2222222 222222 11y k x b x a k x a b b x a y a b =-???+-=?+=??，整理可得： ()22 2222222220a k b x a k x a k a b +-+-= 222222 1212222222 2,a k a k a b x x x x a k b a k b -∴+==++ ()()()22221212121211y y k x x k x x k x x k ∴=--=-++ 222222222222 22 2222222 2a k a b a k k b a b k k k k a k b a k b a --=?-?+=++= 222222222 1212222 0a k a b k b a b k x x y y a k b -+-∴+=<+ 2222222220a k a b k b a b k -+-<恒成立 即() 2222222k a b a b a b +-<恒成立 22220a b a b ∴+-< 221b a =-Q ()2222110a a a ∴---< 解得：12 a +> a ∴ 的取值范围是12?? ++∞ ??? 例4：设,A B 分别为椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距， 且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 （1）求椭圆的方程； （2）设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点， 若 直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点,M N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内 解：（1）依题意可得2a c =，且到 右焦点距离的最小值为1a c -= 可解得：2,1a c == b ∴= ∴椭圆方程为22 143 x y + = （2）思路：若要证B 在以MN 为直径的圆内，只需证明MBN ∠为钝角，即MBP ∠为锐 角，从而只需证明0BM BP ?>u u u u r u u u r ，因为,A B 坐标可求，所以只要设出AM 直线（斜率为k ） ， 联立方程利用韦达定理即可用k 表示出M 的坐标，从而BM BP ?u u u u r u u u r 可用1k 表示。即可判断BM BP ?u u u u r u u u r 的符号，进而完成证明 解：由（1）可得()()2,0,2,0A B -，设直线,AM BN 的斜率分别为k ，()11,M x y ，则 ():2AM y k x =+ 联立AM 与椭圆方程可得： ()2 2 23412 y k x x y =+???+=??，消去y 可得：()2222 431616120k x k x k +++-= 22112 21612684343 A k k x x x k k --∴=?=++ 11212243k y kx k k ∴=+=+，即2226812,4343k k M k k ??- ?++?? 设()04,P y ，因为P 在直线AM 上，所以()0426y k k =+=，即()4,6P k ()22216122,6,,4343k k BP k BM k k ?? -∴== ?++?? u u u r u u u u r 22 22232124060434343 k k k BP BM k k k k -∴?=+?=>+++u u u r u u u u r MBP ∴∠为锐角， MBN ∴∠为钝角 M ∴在以MN 为直径的圆内 例5：如图所示，已知过抛物线2 4x y =的焦点F 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，与椭圆 22 33142 y x +=的交点为,C D ，是否存在直线l 使得AF CF BF DF ?=?？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由 解：依题意可知抛物线焦点()0,1F ，设:1l y kx =+ AF CF BF DF ?=?Q AF DF BF CF ∴=，不妨设 AF DF BF CF λ= = 则,AF FB DF FC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ()()1122,1,,1AF x y FB x y ∴=--=-u u u r u u u r ()()3344,1,,1CF x y FD x y =--=-u u u r u u u r 12 34x x x x λλ-=?∴?-=? 考虑联立直线与抛物线方程：22 14404y kx x kx x y =+??--=?=? ()1222 122144 x x x k x x x λλ+=-=-??∴?=-=-?? ，消去2x 可得：()2214k λλ-=-- ① 联立直线与椭圆方程：()2 222 1 6314634 y kx x kx x y =+??-+=? +=?，整理可得： ()2 236610k x kx ++-= ()34422344 26136136k x x x k x x x k λλ? +=-=-??+∴??=-=- ?+? () 2 2 2 13636 k k λλ -∴ =--+ ② 由①②可得： 22 236436 k k k -=-+，解得：2 11k k =?=± 所以存在满足条件的直线，其方程为：1y x =±+ 例6：在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220x py p =>的准线方程为1 2 y =-，过点()4,0M 作抛物线的切线MA ，切点为A （异于点O ），直线l 过点M 与抛物线交于两点,P Q ，与直线OA 交于点N （1）求抛物线的方程 （2）试问 MN MN MP MQ + 的值是否为定值？若是，求出定值；若不 是，请说明理由 解：（1）由准线方程可得：1 122 p p - =-?= ∴抛物线方程：22x y = （2）设切点()00,A x y ，抛物线为2 12 y x = 'y x ∴= ∴ 切线斜率为0k x = ∴ 切线方程为：()000y y x x x -=-，代入()4,0M 及20012 y x = 可得：()2 000142 x x x - =-，解得：00x =（舍）或08x = ()8,32A ∴ :4OA y x = 设:4PQ x my =+ ,,,M P N Q Q 共线且M 在x 轴上 11P Q N N N N P Q P Q P Q y y MN MN y y y y MP MQ y y y y y y ?? +∴+=+=+=? ? ??? 联立PQ 和抛物线方程：()222424 x y my y x my ?=?+=?=+?，整理可得： ()2282160m y m y +-+= 22 2816 ,P Q P Q m y y y y m m -∴+= ?= 再联立,OA PQ 直线方程：416 4 14N y x y x my m =??= ? =+-? 22 281621614P Q N P Q m y y MN MN m y MP MQ y y m m -+∴+=?=?=- 例7：在ABC V 中，,A B 的坐标分别是( )) ,，点G 是ABC V 的重心，y 轴上 一点M 满足GM ∥AB ，且MC MB = （1）求ABC V 的顶点C 的轨迹E 的方程 （2）直线:l y kx m =+与轨迹E 相交于,P Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使得四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围 解：（1）设(),C x y 由G 是ABC V 的重心可得： ,33x y G ?? ??? 由y 轴上一点M 满足平行关系，可得0,3y M ?? ??? 由MC MB = = 化简可得：()22 1026 x y y +=≠ C ∴的轨迹E 的方程为：()22 1026 x y y + =≠ （2） Q 四边形OPRQ 为平行四边形 OR OP OQ ∴=+u u u r u u u r u u u r 设()()1122,,,P x y Q x y ()1212,R x x y y ∴++ R Q 在椭圆上 ()()2 2 121236x x y y ∴+++= ()()2222 1 122121233626x y x y x x y y +++++= ① 因为,P Q 在椭圆上，所以22 1122 2236 36 x y x y ?+=??+=??，代入①可得： 121212126212633x x y y x x y y ++=?+=- ② 联立方程可得： ()222 22 326036 y kx m k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 212122 226 ,33 km m x x x x k k -∴+=-=++ ()()()22 2 2 121212122363 m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+ 代入②可得： 2222222 636332333 m m k m k k k --?+=-?=+++ ()2 223260k x kmx m +++-=有两不等实根可得： ()()222244360k m k m ?=-+->，即2236180m k -++>，代入2223k m =- ()22236231800m m m ∴-+-+>?> 另一方面：22 230m k -=≥ 2 32m m ∴≥ ?≥ m ≤ ,22m ??∴∈-∞+∞ ????? U 例8：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，直线l 过点()()4,0,0,2A B ， 且与椭圆C 相切于点P （1）求椭圆C 的方程 （2）是否存在过点()4,0A 的直线m 与椭圆交于不同的两点,M N ，使得 2 3635AP AM AN =?？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由 解（1）1 2 c e a = = ::2a b c ∴= ∴椭圆方程化为：22 222221341243x y x y c c c +=?+= l Q 过()()4,0,0,2A B ∴设直线1 : 12422 x y l y x +=?=-+ 联立直线与椭圆方程：22234121 2 2 x y c y x ?+=??=-+??消去y 可得：2 2 21342122x x c ??+-+= ??? 整理可得：2 2 2430x x c -+-= l Q 与椭圆相切于P ()2444301c c ∴?=--=?= ∴椭圆方程为：22143x y +=，且可解得31,2P ?? ??? （2）思路：设直线m 为()4y k x =-，()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得：31,2P ?? ??? ，再由()4,0A 可知2 45 4 AP = ，若要求得k （或证明不存在满足条件的k ），则可通过等式2 3635AP AM AN =?列出关于k 的方程。对于AM AN ?，尽管可以用两点间距离公 式表示出,AM AN ，但运算较为复杂。观察图形特点可知,,A M N 共线，从而可想到利 用向量数量积表示线段的乘积。因为,AM AN u u u u r u u u r 同向，所以AM AN AM AN ?=?u u u u r u u u r 。写出 ,AM AN u u u u r u u u r 的坐标即可进行坐标运算，然后再联立m 与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即 可得到关于k 的方程，求解即可 解：由题意可知直线m 斜率存在，所以设直线()()()1122:4,,,,m y k x M x y N x y =- 由（1）可得：31,2P ?? ??? ()2 2 2 345 14024AP ??∴=-+-= ??? ,,A M N Q 共线且,AM AN u u u u r u u u r 同向 AM AN AM AN ∴?=?u u u u r u u u r ()()11224,,4,AM x y AN x y =-=-u u u u r u u u r ()()()121212121244416AM AN x x y y x x y y x x ∴?=--+=+-++u u u u r u u u r 联立直线m 与椭圆方程： () 223412 4x y y k x ?+=?? =-??消去y 并整理可得：()2222433264120k x k x k +-+-= 22121222326412,4343k k x x x x k k -∴+==++ ()()2 2 12122364443 k y y k x x k ∴?=--=+ ()2222 22223616412363241643434343 k k k k AM AN k k k k +-∴?=+-?+= ++++u u u u r u u u r 2 3635AP AM AN =?Q ，代入2 454AP =，()2236143 k AM AN k +?=+u u u u r u u u r 可得： ()2236145 3635443 k k +?=? + 可解得：2 184 k k = ?=±，另一方面， 若方程( ) 2 222 433264120k x k x k +-+-=有两不等实根 则( )()()2 2223244364120k k k ?=-+-> 解得:11 22 k - << 24k ∴=±符合题意 ∴直线m 的方程为：()2 44 y x =± -，即： 224y x = -或224 y x =-+ 例9：设椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴与点Q ，且12220F F F Q +=u u u u r u u u u r r （1）求椭圆C 的离心率 （2）若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切，求椭圆C 的方程 （3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点 (),0P m 使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱 形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由 解：（1）依题意设()()()()1200,,,0,,0,,0A b F c F c Q x - ()()12202,0,,0F F c F Q x c ∴==-u u u u r u u u u r 12220F F F Q +=u u u u r u u u u r r Q 00403c x c x c ∴+-=?=- ()3,0Q c ∴- 2,3AQ AF b b k k c c ∴= =- 由2AQ AF ⊥可得： 2 2 222133AQ AF b k k b c c ?=-=-?= 2222234a c c a c ∴-=?= 12 e ∴= （2）由（1）可得：::2:3:1a b c = 2AQ AF ⊥Q 2,,A Q F ∴的外接圆的直径为2QF ，半径设为r ()()23,0,,0Q c F c ∴- 21 22 r QF c ∴= = ，圆心(),0c - 由圆与直线相切可得：32342c d c c c --==?+= 解得：1c = 2,a b ∴== ∴ 椭圆方程为22 143 x y + = （3）由（2）得()()121,0,1,0F F -：设直线():1l y k x =- 设()()1122,,,M x y N x y ，若,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形 则P 为MN 垂直平分线上的点 ()()22 112222 121222 2234123403412 x y x x y y x y ?+=??-+-=?+=?? ()()()()12121212340x x x x y y y y ∴+-++-= 设,M N 中点()00,x y 00033404x x ky y k ∴+=?=- MN ∴的中垂线方程为：()001 y y x x k -=- -，即000x ky ky x +--= 代入(),0P m 可得：12 0001048 x x m ky x m x +--=?== 联立方程：() ()22 22223412 43841201x y k x k x k y k x ?+=??+-+-=? =-?? 2 122843 k x x k ∴+=+ 222 110,34344k m k k ?? ∴==∈ ?+?? + 所以存在满足题意的P ，且m 的取值范围是10,4? ? ?? ? 例10：已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且5 4 QF PQ = （1）求抛物线C 的方程 （2）过F 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，若AB 垂直平分线' l 与C 相交于,M N 两点，且,,,A M B N 四点在同一个圆上，求l 的方程 解：（1）设()0,4Q x ，可的2 00842px x p =?= 8,4Q p ??∴ ??? ()0,4P 8PQ p ∴= 0822p p QF x p =+=+Q 且5 4QF PQ = 858 24p p p ∴ +=?解得2p = ∴抛物线2:4C y x = （2）由（1）可得()1,0F 可设直线:1l x my =+ 联立方程2244401 y x y my x my ?=?--=? =+? 设()()1122,,,A x y B x y ，则有12124,4y y m y y +==- ()21212242x x m y y m ∴+=++=+ AB ∴的中点()221,2D m m + 且()21241AB y m = -=+ 由直线:1l x my =+可得' l 的斜率为m - 设()( )'2 :221l y m m x m ??-=--+? ? 整理可得：21 23x y m m =- ++ 与2 4y x =联立消去x 可得：()2 24 4230y y m m + -+= 设()()3344,,,M x y N x y ()234344 ,423y y y y m m ∴+=- =-+ ()223434214 4646x x y y m m m m ∴+=-+++=++ MN ∴的中点222 223,E m m m ??++- ??? ( 22 41m MN m += ，因为,,,A M B N 共圆， 所以2 2 2 2DE AD r ME +== 2 22 1144 DE AB MN ?+ = ()()() 2 222 2 2 224 4121222241m m m m m m m ++???? ?+++++= ? ????? 整理后可得：2 101m m -=?=± l ∴的方程为：10x y --=或10x y +-= 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 高三数学解析几何训练试题(含答案) 2013届高三数学章末综合测试题（15）平面解析几何（1）一、选 择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＝0的圆心在直线x＋y＝1上，则D与E的关系是( ) A．D＋E＝2 B．D＋E＝1 C．D＋E＝－1 D．D＋E＝－2[来X k b 1 . c o m 解析 D 依题意得，圆心－D2，－E2在直线x＋y＝1上，因此有－D2－E2＝1，即D＋E＝－2. 2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 解析 B 直径的两端点为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 3．已知F1、F2是椭圆x24＋y2 ＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使|PF1|?|PF2|取最大值的点P为( ) A．(－2,0) B．(0,1) C．(2,0) D．(0,1)和(0，－1) 解析 D 由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF1|?|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|，即P(0，－1)或(0,1)时，取“＝”． 4．已知椭圆x216 ＋y225＝1的焦点分别是F1、F2，P 是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( ) A.165 B．3 C.163 D.253 解析 A 椭 圆x216＋y225＝1的焦点分别为F1(0，－3)、F2(0,3)，易得 ∠F1PF2<π2，∴∠PF1F2＝π2或∠PF2F1＝π2，点P到y轴的距离d＝ |xp|，又|yp|＝3，x2p16＋y2p25＝1，解得|xP|＝165，故选A. 5．若曲线y＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x＋y＋4＝0 B．x－4y－4＝0 C．4x－y－12＝0 D．4x －y－4＝0 解析 D 设切点为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0， ∴2x0＝4，即x0＝2，∴切点为(2,4)，方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 6．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 C 方程可化为x21m＋ y21n＝1，若焦点在y轴上，则1n>1m>0，即m>n>0. 7．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 7. 2004年全国高考数学试题汇编一一解析几何(一) 1. [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽) ?理科数学第7题，文科数学第7题] 2 椭圆—? y 2 =1的两个焦点为F i 、F 2,过F i 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交 4 点为P ,则| PF 2 | = ,3 A . 2 2. [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽) I 的斜率的取值范围是 的轨迹方程为 [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)? 已知点A (1, 2)、B( 3, 1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 A . 4x 2y=5 B . 4x-2y=5 C . x 2y=5 别是O '和A '，则O A "=囂￡,其中?= B . .3 ?理科数学第8题，文科数学第8题] 设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点 Q 的直线I 与抛物线有公共点，则直线 3. 1 1 A . [ — 2, 2] B . [—2, 2] C . [-1, 1] D . [ — 4, 4] [2004年全国高考(山东山西河南河北江西安徽) ?理科数学第14题，文科数学第15题] 由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB , 切点分别为A 、 B ,Z APB=60 ° , 则动点 4. [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)? 理科数学第4题, 文科数学第 已知圆C 与圆(x -1)2 y 2 =1关于直线 y = -x 对称，则圆 C 的方程为 A . (x 1)2 y 2 =1 B . x 2 - y 2 =1 2 2 C . x (y 1) =1 2亠/ 八2 D . x (y -1) =1 5. 文科数学第8题] 6. [2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)?理科数学第8题] 在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1 ,且与点B (3, 1)距离为2 A . 1条 [2004年全国高考 的直线共有 ( D . 4条 已知平面上直线 B . 2条 C . 3条 (四川云南吉林黑龙江)?理科数学第9题] 4 3 l 的方向向量e =(,—),点0(0, 0)和A (1, — 2)在I 上的射影分 5 5 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 2011高考数学分类汇编－解析几何 1、（湖北文）将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则（ ） A. 0=n B. 1=n C. 2=n D. 3≥n 2、（江西理） 若曲线1C ：0222=-+x y x 与曲线2C ：0)(=--m mx y y 有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A. )3 3 ,33(- B. )33,0()0,33(Y - C. ]33,33[- D. ),3 3()33,(+∞--∞Y 3、（江西理）若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21 ,1(作圆122=+y x 的 切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭 圆方程是 . 4、（湖南文）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为 2cos (x y α αα =??? =??为参数)．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为 (cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 ． 5、（湖南理）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=??=+?（α为参 数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 。 6、（湖南文）已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y += （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ． (2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 7、（江苏）设集合},,)2(2 |),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围___. 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 解析几何 平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题． 在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题． §8－1 直角坐标系 【知识要点】 1．数轴上的基本公式 设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是 d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|． 2．平面直角坐标系中的基本公式 设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-== A ， B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是?+=+=2 ,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是 .)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-== 【复习要求】 1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题． 2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式． 【例题分析】 例1 解下列方程或不等式： (1)｜x －3｜＝1；(2)|x －3｜≤4；(3)1＜|x －3｜≤4． 略解：(1)设直线坐标系上点A ，B 的坐标分别为x ，3， 则｜x －3｜＝1表示点A 到点B 的距离等于1，如图8－1－1所示， 图8－1－1 所以，原方程的解为x ＝4或x ＝2． (2)与(1)类似，如图8－1－2， 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [ 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、 解析几何(4) 23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段 l 的距离，记作(,)d P l （1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； （2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积； （3）写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中 12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分. ①(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --. ②(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---. ③(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D . 23、解：⑴ 设(,3)Q x x -是线段:30(35)l x y x --=≤≤上一点，则 ||5) PQ x ==≤≤，当 3 x =时 ， min (,)||d P l PQ == ⑵ 设线段l 的端点分别为,A B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则(1,0),(1,0)A B -，点集D 由如下曲线围成 12:1(||1),:1(||1) l y x l y x =≤=-≤， 222212:(1)1(1),:(1)1(1)C x y x C x y x ++=≤--+=≥ 其面积为4S π=+。 ⑶① 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --，{(,)|0}x y x Ω== ② 选择(1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。 2{(,)|0,0}{(,)|4,20}{(,)|10,1}x y x y x y y x y x y x y x Ω==≥=-≤<++=> ③ 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。 专题09 解析几何 第二十四讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2 =2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条 切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 2015-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2 4y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y = k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．（2015陕西）已知抛物线2 2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐 标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 4．（2015四川）设直线l 与抛物线2 4y x =相交于,A B 两点，与圆2 2 2 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题 5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________． 6．（2015陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题 7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2 4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2 4y x =上存在 不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为 32 的直线l 与 C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【解析】设直线l 方程为 m x y += 23 ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由抛物线焦半径公式可知 12342AF BF x x +=++ =，所以125 2 x x +=， 大题肢解一 直线与抛物线 联立2323y x m y x ? =+???=?得0 4)12(12922=+-+m x m x ， 由0144)1212(22>--=?m m 得1 2 m <， 所以12121259 2 m x x -+=-=，解得78 m =-， 所以直线l 的方程为372 8 y x =-，即12870x y --=. 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【解析】设直线l 方程为23 x y t =+， 联立2233x y t y x ? =+???=? 得0322=--t y y ，由4120t ?=+>得31->t ， 由韦达定理知221=+y y ， 因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y . 则=-+?+=212214)(9 4 1||y y y y AB = -?-?+)3(429 4123 13 4. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p. 十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学 真题 2008-21 ．（12 分） 双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、 、 成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分） 如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个 点。 （I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点， 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13 2011-20 （12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满 足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分） 设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准 线为 l ， A C ， 已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点； （1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 13 见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020届备考 青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020年备考 2018试题分类汇编---------解析几何 一、填空题 (1)直线与圆 1.（天津文12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 1.2220x y x +-= 2.（全国卷I 文15）直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.22 3.（全国卷III 理6改）．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是__________． 3.[]26， 4.(天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为 C ，直线2 1, 2232 x t y t ? =-+ ??? ?=-?? (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 . 4.1 2 5.（北京理7改）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变 化时，d 的最大值为__________． 5.3 6.（北京文7改）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如 图），点P 在其中一 段上，角α以OA 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是__________． 6.EF 7.（江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点， (5,0)B ，以AB 为直径的 圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=，则点A 的横坐标为__________． 7.3 8.（上海12）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y +=，则 11221 1 2 2 x y x y +-+-+ 的最大值为_________. 8.32+ （2）椭圆抛物线双曲线基本量 9.（浙江2 改）双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是__________． 9.(?2，0)，(2，0) 10.（上海2）双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 10.12 y x =± 11.（上海13）设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离 之和为__________． 11.25 12.（北京文12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为5 2 ，则a =_________. 12．4 13.（北京文10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于ε，若l 被抛物线24y ax =截 得的线段长为4，则抛物线 的焦点坐标为_________. 13．(1,0) 14.(全国卷II 理5 改)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程 为_________. 14．2y x =± （3）圆锥曲线离心率 2008届高三文科数学第二轮复习资料 ——《解析几何》专题 1．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程； (2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ?=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 2．如图,设1F 、2F 分别为椭圆 C ：22 221x y a b += (0a b >>)的左、右焦点. (Ⅰ)设椭圆C 上的点3 (1,)2 A 到F 1、F 2两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和离心率； (Ⅱ)设点K 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，求线段1F K 的中点的轨迹方程． 3．已知圆C: x 2+y 2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的 直线L,使以L 被圆C 截得弦AB 为直径的圆 经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在，说 明理由 4．已知圆C ：224x y +=. （1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+， 求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 5．如图，已知圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6，过动点P 作A 的切线PM （M 为切点），连结PN 使得PM ： ，试建立适当 的坐标系，求动点P 的轨迹 6．已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）． （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程． 7．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费用最低． 8．曲线03622=+-++y x y x 上两点P 、Q 满足：①关于直线04=+-y kx 对称；②OQ OP ⊥.求直线PQ 的方程. 9 情况下的两类药片怎样搭配价格最低？(完整word版)高中数学解析几何大题精选
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