第六讲 机器人运动学逆解

2、运动学方程的逆解
解得存在性： 解是否存在与机器人的工作空间密切
相关，工作空间又取决于机器人的结构、 杆件参数，或手部（工具）的位姿。
一般情况下，如果手部坐标系的位置 和姿态都位于工作空间内，则至少存在一 个解；相反，若手部坐标系的位置和姿态 都位于工作空间外，则无解。
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前置模式：
{i-1}→坐标系 {i} 。 仅涉及 i杆件的参数，
1、杆长:沿xi轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角：绕 xi从zi-1转到zi的角度。 3、平移量：沿 zi-1轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角：绕 zi-1轴从xi-1轴到xi的转角。
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n z ? ? s 23 ( c 4 c 5 c 6 ? s 4 s 6 ) ? c 23 s 5 c 6
[ ox ? c1 ? c23 (c4c5s6 ? s4c6 ) ? s23s5s6 ] ? s1(? s4c5s6 ? c4c6 ) [ oy ? s1 ? c23 (c4c5s6 ? s4c6 ) ? s23s5s6 ] ? c1(? s4c5s6 ? c4c6 )
第3章 机器人运动学
3.1 机器人的位姿描述 3.2 齐次变换及运算 3.3 机器人运动学方程 3.4 机器人微分运动
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3.3 机器人运动学方程
3.3.2小节 运 动 学 方 程 的 逆解
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3.3 机器人运动学方程
2)数值解(Numerical solution): 特点：递推求解。 求解方法分类： 代数法、几何法以及数值法，前两种 用于求闭式解，后一种用于数值解。 下面我们结合几个实例，介绍机器人 闭式解析解的求解方法。
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oz ? s23 (c4c5c6 ? s4c6 ) ? c23s5s6
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2、运动学方程的逆解
a x ? ? c1 (c23c4c5 ? s23c5 ) ? s1s4 s5 a y ? ? s1 (c23c4c5 ? s23c5 ) ? c1s4 s5 az ? ? s23c4c5 ? c23c5
[ px ? c1 d6 (c23c4 s5 ? s23c5 ) ? d 4s23 ? l2c2 ] ? s1 (d6 s4 s5 ? d2 ) [ p y ? s1 d6 (c23c4s5 ? s23c5 ) ? d 4s23 ? l2c2 ] ? c1 (d6 s4 s5 ? d2 )
pz ? d6 (c23c5 ? s23c4c5 ) ? d 4c23 ? l2s2
3.3 机器人运动学方程
例1：已知四轴平面关节SCARA机器 人如图所示，试计算： （1）机器人的运动学方程； （2）当关节变量取
qi=[30°，-60°，－120，90°]T
3.3 机器人运动学方程
机器人运动学方程的逆解，也称机器 人的逆运动学问题，或间接位置求解。
逆运动学问题：对某个机器人，当给 出机器人手部在基座标系中所处的位置和
姿态时（即M0h中各元素给定），求出其对 应的关节变量值qi。
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2、运动学方程的逆解
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2、运动学方程的逆解
上述方程组是由一些非线性的、超越 、难解的方程组成。为了降低求解难度， 机器人的杆件参数应仅可能地取为0，如 常见的PUMA机器人那样。对于任何非线 性方程组，必须关心其解的存在性、多解 性和求解方法。
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3.3 机器人运动学方程
运动学逆解的求解方法 不像线性方程，不存在求解非线性方程
组的通用算法。 非线性方程组的算法应能求出它的所
有解；因此，某些数值递推方法不适用。 逆解的形式：
1)闭式解(Close-form solution):用解 析函数式表示解。 特点：求解速度快。
存在闭式解是机器人设计的目标，仅仅 在一些特殊情况下，机器人存在解析的闭式 解，如：相邻的多个关节轴交与一点，杆件 扭角等于0或90度等。
逆运动学问题的可解性： 下面以六自由度机器人PUMA为例，
研究其可解性。
其中：
[ n x ? c1 c 23 ( c 4 c 5 c 6 ? s 4 s 6 ) ? s 23 s 5 c 6 ] ? s1 ( s 4 c5 c 6 ? c 4 s 6 ) [ n y ? s1 c 23 ( c 4 c 5 c 6 ? s 4 s 6 ) ? s 23 s 5 c 6 ] ? c1 ( s 4 c 5 c 6 ? c 4 s 6 )
其中：
cij ? cos?i cos? j ? sin?i sin? j ? cos(?i ? ? j ) sij ? cos? i sin? j ? sin?i cos? j ? sin(?i ? ? j )
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2、运动学方程的逆解
可见，我们有12个方程及6个未知数。 上述12个方程关系如何？ 我们先看看转动部分，它是3X3子矩阵 ，共有9个元素；我们知道，转动矩阵的每 列都是单位矢量，并且每列之间都两两正交 ；因此，9个元素中仅三个是独立的，或则 说，12个方程中仅有6个是独立，对应6个 未知数。 因此，一般情况下，单从数学的角度看 ，方程组应该是有解的。
2、运动学方程的逆解
多解性问题： 解得数量பைடு நூலகம்仅与机器人的关节数有关，
还与它的杆件参数、关节活动范围等相关。 一般说，连杆的非零参数越多，解的数量 就越多，即到达某个位置的路经就越多。 多个解的存在使我们面临选择。
如何选择？如：路径最短、最近原则。 多解的应用： 躲避障碍物等。
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