长郡中学2015届高三月考理科数学试卷(一)

长郡中学2015届高三月考试卷(一)

数 学(理科)

总分:150分 时量:120分钟

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.

1.如果复数

212bi

i

-+(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b = ( )

A. B. 23 C. 2

3

- D. 2

【解】选

由222(4)125bi b b i i ---+=

+,依题有2240b b ---=,即2

3

b =-. 2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体

m 被抽到的概率为( )

A.

1

100 B.

120 C.

1

99

D.

150 【解】选 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为51

10020

P ==

. 3.设偶函数满足()24(0)x

f x x =-≥,则{|()0}x f x >=( ) A. {|24}x x x <->或 B. {|04}x x x <>或 C. {|22}x x x <->或

D. {|06}x x x <>或

【解】选 当0x ≥时,由()240x f x =->,得2x >,由图象对称性可知选C. 4.若21()n x x

-展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )

A. 84-

B. 84

C. 36-

D. 36 【解】选 由二项式系数之和为2512n =,即9n =,又18319(1),r r r r T C x -+=- 令1830r -=,则6r =故常数项为784T =.

5.设条件:|2|3p x -<,条件:0q x a <

<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a 的取值范围是( ) A. (0,5]

B. (0,5)

C.[5,+∞)

D. (5,+∞) 【解】选 由条件p 对应的集合为(1,5)A =-, 条件q 对应(0,)(0)B a a =>.且依题意A B =≠=⊃,

可知5a ≤,又0a >,故05a <≤.

6.按照如图所示的程序运行,

已知输入的x 的值为21log 3+, 则输出y 的值为( )

A. 112

B. 38

C. 712

D. 1124

【解】选

由于输入的初始值为21log 34+<,故

221log 312log 3x =++=+,即2log 3211111

()()224312

y =⨯=⨯=.故选A.

7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

【解】选

由该几何体的

为直观图如右所示,(由简到繁)

由俯视图

→侧视图→正视图→直观图

, 其为四棱锥P ABCD -,

所以13P ABCD ABCD V S -==矩,选B.

8.设2(),0,()1

,0x a x f x x a x x -≤⎧⎪

=⎨++>⎪⎩

,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为( ) A. [-1,2]

B. [-1,0]

C. [1,2]

D. [0,2]

【解】选 当0a <时,显然(0)f 不是()f x 的最小值,当0a ≥时,可知0x ≤时,

2()(0)f x f a ≥=,而当0x >时,1

()2f x x a a x

=++≥+,依题意22a a +≥,得12a -≤≤,

所以02a ≤≤即求.

9.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221

sin cos 2

A A -=,

则下列各式正确的是( ) A. 2b c a += B. 2b c a +< C. 2b c a +

≤ D. 2b c a +≥

【解】选 由221

sin cos 2

A A -=得,1cos22A =-,又A 为锐角,故02A π<<,

于是223A π=,即3

A π

=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc =+-=+-,

即2222

3()()()44

b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C.

【一点开心】事实上在ABC ∆中,如果三边,,a b c 成等差或等比数列,即22b a c b ac =+=或, 那么我们都可以结合重要不等式知识得到60B ≤.

10.如图,

圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,

P 是圆上的动点,

角x 的始边为射线

OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示 为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( )

正视图 1 1

2

2

2 2 侧视图 俯视图

【解】选

由OP HM PM OM ⋅=⋅,于是HM PM OM =⋅,由三角函数线有, 1

|s i n ||c o s |

|s i n 2|2H M x x x =⋅=,于是1()|sin2|2f x x =

的最大值为1,22

T π

=,故选C.

二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.

已知直线的极坐标方程为sin()4

π

ρθ+=

则极点到直线的距离为 .

由sin(

)4πρθ+=1x y +=,于是极点 (0,0)O 到该直线的距离为d =

=

即求. 12.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2

y xz

的最小值是 .

由230x y z -+=可化为23y x z =+,得224(3)43y x z x z =+≥⋅, 其中运用了重要不等式的变形式2

()4,,a b ab a b R +≥∈,故2

3y xz

≥(当3x z =时取等号). 13.数列{}

a 的前n 项和为n S ,若*

111,3,n n a a S n N +==∈,则2014a = .

若填为201234⋅形式则视为错误,得分为

0.

*3,n S n N =∈……①,可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……②

①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=⨯,2n ≥,故2012201434a =⨯.

注意定义域了吗?

14.若,x y 满足约束条件0,22,2y x y ≥⎧⎪

≥-⎨⎪≤,且z kx y =+取得最小值的点有无数个,则k = .

首先作出可行域如右图

: 0k -≠,所以

①当0k ->,即0k <时,依题意有目标直线//l BC 时,当其运动

至与BC 重合时,最优解有无数个,符合题意,即2k -=,即2k =-; ②同理当0k -<,即0k >时,必有//l AB ,即1k -=-,即1k =, 综上①

②可知,1k =或 2-为所求.

15.已知椭圆22221(0)x y a

b a b +=>>过椭圆上一点M 作直线MA MB 、分别

交椭圆于A B 、两点,且斜率为12k k 、,若点A B 、

【解】填13

- 由22

2619b e a =-=,得2213b a =,如右图所示 取BM 中点D ,连结OD ,,

2213O D B M

b k k a ⋅=-=-,又//OD AM ,故1OD k k =,即121

3k k ⋅=- 【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆2222:1(x y

a b

Γ+= l 交椭圆Γ于A B 、两点,P 是椭圆Γ上异于A B 、的任意一点,且当PA PB k k 、都存在时,则