第六章 一阶电路

例2 续：求iC 。
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例2：已知p(t)波形，求零状态响应uC ，并求iC 。已 知R＝1 ，C＝1F
p(t)
R
+
+
US
p(t)V
_
C _ uC
o t0
t
uC(0)=0 0- t0 ——充电 t＞ t0 ——放电
RC 1s
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uC US
o t0
t
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K(t=0)
i
+
C uC
–
+
R uR
–
uR uC 0
i C duC dt
RC
duC dt
uC
0
uR= Ri
uC ( 0 ) U0
1
特征方程 RCp+1=0
特征根
1
p RC
则
uC Ae pt
t
Ae RC
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1t
uc Ae RC
代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0
单位阶跃信号的导数，称为单位冲激函数，记为 (t)
即
(t) d(t)
dt
{ (t) 0 t 0 t ()d 1 t 0
(t) 的取样性质： f (t)(t) f (0)(t)
f (t)(t to ) f (to )(t to )
五、单位冲激响应
定义：单位冲激函数作用下的零状态响应，记为 h(t)
5
U0 e -5 0.007 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间
工程上认为, 经过 4－5, uc消失。
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t
uc U S (1 e ) (t 0)
时间常数 的大小反映了到达稳态需要时间的长短
大 →到达稳态时间长
US
小
大
t
小 →到达稳态时间短
0
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t=0
+
US
N
_
+
_US(t) N
t = t0
+
US
N
_
+
_US(tt0) N
2) 分段常量信号可表示为一系列阶跃信号之和
分段常量信号：一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形
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f(t) A
o t0
f(t)
A
o
T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
t
t
f(t) A
o t0 2t0
t 对 p'(t)： t uC '(t) US (1 e ) (t)
对p''(t)：
t t0
t uC ''(t) US (1 e ) (t t0 )
uC(t) uC' uC''
t
US(1 et )(t)
US(1 e(tt0 ) )(t t0 )
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四、单位冲激函数
i
US
+ uR –
C
+
uC
–
RC duC dt
uC
US
分析
非齐次线性常微分方程
uC (0－)=0
齐次方程通解
非齐 次方
解答形式为： uc uc' uc"
程特 解
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uC
特解（强制分量）
RC
duC dt
uC
US
的特解
与输入激励的变化规律有关
uC US
uC
通解（自由分量）
12
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2. RL电路的零状态响应
K(t=0) R iL
已知iL(0－)=0，电路方程为
L
d iL dt
RiL
US
定性分析
US
+ uR–
L
+
uL
–
iL
iL
iL
US R
Rt
Ae L
US R
iL
iL (0
)
0
A
US R
0
t
iL
US R
(1
Rt
eL
)
uL US
uL
L
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diL dt
求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。
可以不必求解微分方程。
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例1 t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0－）=0，求（1）电 容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间 。
解 (1) 这是一个RC电路零状
态响应问题，有：
+ 100V
RC 500105 5 103 s -
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线性、时不变电路零状态响应的微分特性：
若 x(t) y(t) 则 dx(t) dy(t)
dt
dt
ε(t) → s(t)
d (t) → ds(t)
dt
dt
单位阶跃函数 单位阶跃响应
≡
(t) → h(t)
单位冲击函数 单位冲击响应
单位冲激响应 h(t) ds(t) dt
11
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（3）响应与外加激励成线性关系
R
（4）能量关系
电容储能：
1 2
CU
2 S
+
C
US-
电源提供能量：
0
U S idt
USq
CU
2 S
e 电阻消耗
i2Rdt (US
0
0R
t
RC
)2
R
d
t
1 2
CU
2 S
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转 换成电场能量储存在电容中。
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第六章 一阶电路
本章主要内容：
1、 RC、RL电路的零状态响应；阶跃 响应和冲激响应；
2、 RC、RL电路的零输入响应；
3、一阶电路的全响应、叠加性； 4、三要素法（重点）； 5、瞬态与稳态；正弦激励的过渡过
程和稳态。
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1
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引言： 1.什么叫一阶电路？
只含一个动态元件(C、L)，用一阶微分方 程描述其变量的电路。
K
i
10F +
uC
500 －
uc
US (1 e
t RC
)
100(1 - e-200t )V
(t 0)
i
C duC
US
e
t RC
0.2e200t A
dt R
（2）设经过t1秒，uC＝80V
80 100(1 - e-200t1 2020/6/1
)
t1
8.045ms
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例2 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL及电流源的端电
从以上式子可以得出：
i
C
duC
US
e
t RC
dt R
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：
uc US
0 -US
u“ C
t
u‘ C
连续
函数
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US i
R
0
跃变 t
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t
US
uc U S (1 e RC ) (t 0)
0
-US
uc t
（2）响应变化的快慢，由＝RC决定；大，充电慢， 小充电就快。
t
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例1：已知us(t)=[-3+4(t )]V，求u(t)，对所有t
+ 3
6
us(t)
u(t) 1/8F
-
u(t) 2 8 (1 e4t ) (t)
3
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例2：已知p(t)波形，求零状态响应uC ，并求iC 。已 知R＝1 ，C＝1F
R +
p(t)
+ห้องสมุดไป่ตู้
RC duC dt
uC
0
的通解
t
uC Ae RC
变化规律由电路参数和结构决定
t
全解 uC (t ) uC uC U S Ae RC
由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数A
uC2(0200/+6/)1=A+US= 0
A= － US
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t
t
uc US USe RC US (1 e RC ) (t 0)
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2. 一阶微分方程的求解：
常系数非齐次一阶微分方程 dX AX BW dt
通解为： X(t) Xh (t) Xp (t)
1）齐次方程通解：
dX AX 0 dt
X h( t ) Kest S A 0 X h ( t ) Ke At
2）非齐次方程特解： Xp = Q 3）K确定： X ( t ) Ke At Q 由初始条件解出K
C
1 h(t) C
0
t
电压跃变，原因是非有限值的冲击函数激励i
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• 作业
• P236 6-13
•
6-14
•
6-19
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6-4 零输入响应
零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的响应电压和电流。
1. RC电路的零输入响应
已知 uC (0－)=U0
t
-A
f(t)
B A o t0 t1 t2 t
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三、单位阶跃响应
定义：电路在单位阶跃信号作用下的零状态响应，记为 s(t)
例如
R
(t)
1
+
+
(t) _
C _uC
t o uC(t)
1
t
uC (t) (1 e )(t) = RC R
o US(t)
t
US
+ US(t)_
US
p(t)V
_
C _ uC
o t0
t
uC(0)=0 0- t0 ——充电 t＞ t0 ——放电
RC 1s
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uC US
o t0
t
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解： p(t)
US
o
t0
p'(t)
US
o
t0
p''(t) t0
o
US 2020/6/1
p(t) p p
US (t) US (t t0)
= RC 称为一阶RC电路的时间常数
RC
欧法
欧
库 伏
欧 安伏秒
欧欧秒
秒
RC
R
Q U
R
I t U
t
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t
uc U 0e (t 0)
uc U0
0
t
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
U0 e -3
0.135 U0 0.05 U0
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3. 结论
(1) uC(t)和iL(t)的零状态响应是从零按指数规律上升到它 的稳态值；iC(t)和uL(t)是按指数规律衰减到零。
(2)状态变量：
t
X (t ) X ()(1 e ), t 0
X(∞)——稳态值; τ——时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 (3)非状态变量：iC(t)和 uL(t)。
Rt
USe L
0
t
13
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令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
[
]
[
L R
]
亨 [欧
]
[
韦 安欧
]
伏 [安
秒 欧]
[秒]
[ ] [ L ] [ ] [U t ] [t]
R IR IR
= L/R 与RC电路具有对偶性
时间常数 的大小反映了电路达到稳态需要时间的长短
大 →达到稳态需要时间长 小 →达到稳态需要时间短
t
1 t>0 (t) = 0 t < 0
A t>0 A(t) = 0 t < 0
2. 延时单位阶跃函数
(tt0) 1
A(tt0) A
o t0
t
o t0
t
202(0t/6-/1t0) =
1 t > t0 0 t < t0
A( t t0) =
A 0
t > t0 t < t019
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二、阶跃函数的作用：1) 代替开关
压。
5 10
解
这是一个RL电路零状态响 应问题，先化简电路，有：
2A
+
u
K
10 +
2H uL
Ro 10 10 20
–
iL –
US 210 20V
L / Ro 2 / 20 0.1s
t>0
iL () US / Ro 1A
iL (t ) (1 e10t )A uL (t ) U Se10t 20e V 10t
U Se(tt0 ) (t t0 )
t
U Set (t) U Se(tt0 ) (t t0 )
30
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例3 求在单位冲激电流源作用下 u(t)的单位冲激响应
(t)
C
R u(t)
t
s(t) R(1 e RC ) (t)
h(t)
1
t
e RC (t)
C
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h(t)
1
t
e RC (t )
+ Ro
+
US
2H uL
－
iL –
u 5I S 10iL uL 20 10e V 10t
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• 作业 • P233 6-4 • P235 6-9
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一、阶跃函数 6 3 阶跃响应 冲激响应
1.单位阶跃函数 (t)
A(t)
1
A
o
t o
A=U0
t
uc U0e RC t 0
i
uC R
U0 R
t
e RC
t
4
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含电感的一阶电路的微分方程为
Go
L
di(t dt
)
i
(t
)
isc
(t
)
或
L
di(t dt
)
Ro
i(t
)
uoc
(t
)
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零状态响应
6-2 零状态响应
动态元件初始能量为零，由t >t0电路中 外加输入激励作用下所产生的响应。
1. RC电路的零状态响应
列方程
定性
K(t=0) R
+
C
uC
_
t o uC(t)
US
t
uC (t) US(1 e )(t) 2020/6/1
o
t
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时不变电路的时不变性质：
R
+
+
_US(t t0) C
uC
_
US(t t0) US
t o t0
t t0
uC US (1 e ) (t t0)
2020/6/1
uC(t) US
o t0
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6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
i
＋ uRo (t) － i(t)
戴维南定理化简
Ro
N
uC C
+
uC(t) C
Uoc(t)-
微分方程：
诺顿定理化简后 可得微分方程
RoC
duC (t dt
)
uC
(t
)
uoc
(t
)
C
duC (t dt
)
GouC
(t
)
isc
(t
)
2020/6/1
解： p(t)
US
o
t0
p'(t)
US
o
t0
p''(t) t0
o
US 2020/6/1
uC(t) uC' uC''
US(1 et )(t)
t
US (1 e(tt0 ) )(t t0 )
1 du iC (t) C dt
US (1 et ) (t) USet (t)
t
U S (1 e(tt0 ) ) (t t0 )