定积分在经济中的应用(可编辑修改word版)

⎰ ⎰

⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 250 250

定积分在经济中的应用

一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量 x 的变动区间[a , b ] 上的

改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a , b ] 上的定积分：

R (b ) - R (a ) = b

R '(x )dx a

C (b ) - C (a ) = b C '(x )dx a L (b ) - L (a ) = b L '(x )dx a （1） （2） （3）

例 1 已知某商品边际收入为-0.08x + 25 （万元/t ），边际成本为 5（万元/t ），求产量 x 从 250t 增加到 300t 时销售收入 R (x ) ，总成本 C (x ) ，利润

I (x ) 的改变量（增量）。

解

首先求边际利润 L '(x ) = R '(x ) - C '(x ) = -0.08x + 25 - 5 = -0.08x + 20

所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

R (300) - R (250) = ⎰

300 R '(x )dx = ⎰300 (-0.08x + 25)dx =150 万元 C (300) - C (250) =

300 C '(x )dx = 300 dx =250 万元

250 250 L (300) - L (250) = 300

L '(x )dx = 300 (-0.08x + 20)dx = - 100 万元 250 250

二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率

设某经济函数的变化率为 f (t ) ，则称

t 2

f (t )dt

t 1 t 2 - t 1

为该经济函数在时间间隔[t 2 , t 1 ] 内的平均变化率。

例 2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：

⎰

2 2 0

3 ⎰ r (t ) = 0.08 + 0.015 求它在开始 2 年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解 由于

⎰

0 r (t )dt = ⎰0 (0.08 + 0.015 t )dt = 0.16 + 0.01t 2 = 0.16 + 0.02 所以开始 2 年的平均利息率为 r =

⎰0 r (t )dt = 0.08 + 0.01 2 - 0

≈ 0.094 例 3 某公司运行t （年）所获利润为 L (t ) （元）利润的年变化率为

L '(t ) = 3⨯10 8]内年平均变化率

解 由于

8 8

/年）求利润从第 4 年初到第 8 年末，即时间间隔[3， 3 ⎰

3 L '(t )dt = 3⨯105 3 t +1dt = 2 ⨯105 ⋅ (t +1)2 8 = 38⨯105 所以从第

4 年初到第 8 年末，利润的年平均变化率为 ⎰8 L '(t )dt 3 8 - 3

= 7.6 ⨯105 （元/年）

即在这 5 年内公司平均每年平均获利7.6 ⨯105 元。

三、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设某个项目在t （年）时的收入为 f (t ) （万元），年利率为 r ，即贴现

率是 f (t )e -rt ，则应用定积分计算，该项目在时间区间[a , b ] 上总贴现值的 增量为 b

f (t )e -rt ndt 。 a

设某工程总投资在竣工时的贴现值为 A （万元），竣工后的年收入预计为 a （万元）年利率为 r ，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到 A ，即使关系式

T

ae -rt dt = A 0 成立的时间 T （年）称为该项工程的投资回收期。

例 4 某工程总投资在竣工时的贴现值为 1000 万元，竣工后的年收入预 2 t

t 2 2 t +1 ⎰ ⎰

0 计为 200 万元，年利息率为 0.08，求该工程的投资回收期。

解 这里 A = 1000 ， a = 200 ， r = 0.08 ，则该工程竣工后 T 年内收入的总贴现值为

T

200e -0.08t dt = 0 200 -0.08 e -0.08t T = 2500(1- e -0.08T ) 令 2500(1- e -0.08T ) =1000，即得该工程回收期为

T = - 1 ln(1-

1000 ) = - 1 ln 0.6 0.08 2500 0.08

=6.39（年） ⎰