相交线与平行线知识点总复习附答案解析
相交线与平行线知识点总复习附答案解析
一、选择题
1．给出下列说法,其中正确的是( )
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
B．平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
C．相等的两个角是对顶角；
D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
【答案】B
【解析】
【分析】
正确理解对顶角、同位角、相交线、平行线、点到直线的距离的概念，逐一判断．
【详解】
A选项：同位角只是一种位置关系，只有两条直线平行时，同位角相等，错误；
B选项：强调了在平面内，正确；
C选项：不符合对顶角的定义，错误；
D选项：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度．
故选：B.
【点睛】
对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
2．已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC＜3，∴CP的长可能是2，故选A．
考点：垂线段最短．
3．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1=56°，则∠2等于（）
A．24°B．34°C．56°D．124°
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据对顶角相等可得∠3=∠1=56°，根据平行线的性质得出∠2=∠3=56°．故答案选C.
考点：平行线的性质.
4．如图，直线a∥b，直角三角开的直角顶点在直线b上，一条直角边与直线a所形成的∠1=55°，则另外一条直角边与直线b所形成的∠2的度数为（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】C
【解析】
如图所示：
∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=55°，
∵∠4=90°，∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2=180°-55°-90°=35°．
故选C．
5．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路
平行，则∠B 等于( )
A ．81°
B ．99°
C ．108°
D ．120°
【答案】B
【解析】 试题解析：过B 作BD ∥AE ，
∵AE ∥CF ，
∴BD ∥CF ，
∴72,180A ABD DBC C ∠=∠=∠+∠=o o
，
∵153C ∠=o ，
∴27DBC ∠=o ，
则99.ABC ABD DBC ∠=∠+∠=o 故选B.
6．如图，下列推理错误的是( )
A ．因为∠1＝∠2，所以c ∥d
B ．因为∠3＝∠4，所以c ∥d
C ．因为∠1＝∠3，所以a ∥b
D ．因为∠1＝∠4，所以a ∥b
【答案】C
【解析】
分析：由平行线的判定方法得出A 、B 、C 正确，D 错误；即可得出结论．
详解：根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠2，所以c ∥d ，故正确； 根据同位角相等，两直线平行，可知因为∠3＝∠4，所以c ∥d ，故正确；
因为∠1和∠3的位置不符合平行线的判定，故不正确；
根据内错角相等，两直线平行，可知因为∠1＝∠4，所以a ∥b ，故正确.
故选：C.
点睛：本题考查了平行线的判定方法；熟练掌握平行线的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7．如图，一副三角板按如图所示的位置摆放，其中//AB CD ，45A ∠=?，60C ∠=°，90AEB CED ∠=∠=?，则AEC ∠的度数为（ ）
A ．75°
B ．90°
C ．105°
D ．120°
【答案】C
【解析】
【分析】 延长CE 交AB 于点F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠C ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长CE 交AB 于点F ，
∵AB ∥CD ，
∴∠AFE ＝∠C ＝60°，
在△AEF 中，由三角形的外角性质得，∠AEC ＝∠A +∠AFE ＝45°+60°＝105°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记相关性质并作出正确的辅助线是解题的关键．
8．如图所示，b ∥c ，a ⊥b ，∠1=130°，则∠2=（ ）．
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
证明∠3=90°，利用三角形的外角的性质求出∠4即可解决问题．
【详解】
如图，反向延长射线a 交c 于点M ，
∵b ∥c ，a ⊥b ，
∴a ⊥c ，
∴∠3=90°，
∵∠1=90°+∠4，
∴130°=90°+∠4，
∴∠4=40°，
∴∠2=∠4=40°，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，垂线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
9．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】 根据对顶角的定义，可得答案．
【详解】
解：由对顶角的定义，得D 选项是对顶角，
故选：D ．
【点睛】
考核知识点：对顶角.理解定义是关键.
10．如图，直线AD BC ∥，30C ∠=?，:1:3ADB BDC ∠∠=，则DBC ∠的度数是（ ）
A ．35°
B ．37.5°
C ．45°
D ．40° 【答案】B
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补，可得出18030015ADC ∠=?-?=?，再结合:1:3ADB BDC ∠∠=即可得出ADB ∠的度数，最后，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案．
【详解】
解：∵//AD BC ，30C ∠=?
∴18030015ADC ∠=?-?=?
∵:1:3ADB BDC ∠∠= ∴115037.513
ADB ∠=??=?+ ∴37.5DBC ADB ∠=∠=?
故选：B ．
【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质，难度不大，熟记平行线性质的内容是解此题的关键．
11．如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ，若∠1=70°，则∠CBE 的度数为（ ）
A ．20°
B ．35°
C ．55°
D ．70°
【答案】B
【解析】
【分析】 根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．
【详解】
∵DE ∥BC ，
∴∠1=∠ABC=70°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴1352
CBE ABC ∠=
∠=?， 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
12．把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是（）
A．45°B．60°C．75°D．82.5°
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．
【详解】如图，作直线l平行于直角三角板的斜边，
可得：∠3=∠2=45°，∠4=∠5=30°，
故∠1的度数是：45°+30°=75°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
13．如图，△ABC中，∠C=90°，则点B到直线AC的距离是 ( )
A．线段AB B．线段AC C．线段BC D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用点到直线的距离定义得出答案．
【详解】
解：如图，三角形ABC中，∠C=90°，则点B到直线AC的距离是：线段BC．
故选：C．
【点睛】
本题考查点到之间的距离，正确把握相关定义是解题关键．
14．如图所示，下列条件中，能判定直线a∥b的是（）
A ．∠1＝∠4
B ．∠4＝∠5
C ．∠3+∠5＝180°
D ．∠2＝∠4
【答案】B
【解析】
【分析】 在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】
A 、∠1＝∠4，错误，因为∠1、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角或内错角；
B 、∵∠4＝∠5，∴a ∥b （同位角相等，两直线平行）．
C 、∠3+∠5＝180°，错误，因为∠3与∠5不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同旁内角；
D 、∠2＝∠4，错误，因为∠2、∠4不是直线a 、b 被其它直线所截形成的同位角． 故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是区分同位角、内错角和同旁内角
15．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=?，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】A
【解析】
【分析】 连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12
OE 和
OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE
2，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC
2即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．
【详解】
解：连接OB 、OC
∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=
12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12
∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=?
∴∠=FOG ∠BOC
∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE
∴∠BOD=∠COE
在△ODB 和△OEC 中
BOD COE BO CO
OBD OCE ∠=∠??=??∠=∠?
∴△ODB ≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，
∴ODE V 形状不变，故①正确；
过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH
∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形
∴∠ODE=∠OED=12
（180°－120°）=30° ∴OH=OE·
sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠
∴
∴S △ODE =12DE·
2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，
过点O 作OE ′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值
∴BE ′=
12BC=12
a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=
12a 33 ∴S △ODE 3223 ∵△ODB ≌△OEC
∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423 ∴S △ODE ≤14
S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE 23 ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；
∵△ODB ≌△OEC
∴DB=EC
∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE
∴DE 最小时BDE V 的周长最小
∵3OE
∴OE 最小时，DE 最小
而OE 的最小值为OE′=36
a ∴DE 336
a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋
12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，
故选A ．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．
16．如图，下列判断：①若12A C ∠=∠∠=∠，，则B D ∠=∠；②若
12B D ∠=∠∠=∠，，则A C ∠=∠：③若,A C B D ∠=∠∠=∠，则12∠=∠．其中，正确的个数是（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】
【分析】 ①根据12A C ∠=∠∠=∠，证明四边形DEBF 是平行四边形即可判断；
②根据12B D ∠=∠∠=∠，证明DC ∥AB 即可判断；
③根据,A C B D ∠=∠∠=∠证明DC ∥AB 即可判断.
【详解】
解：如图，标出∠3，
①∵A C ∠=∠，
∴DC ∥AB （内错角相等，两直线平行），
∵2,3∠∠是对顶角，
∴23∠∠=，
∴13∠=∠（等量替换），
∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），
∴四边形DEBF 是平行四边形（两组对边分别平行），
∴B D ∠=∠，
②∵2,3∠∠是对顶角，
∴23∠∠=，
∴13∠=∠（等量替换），
∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），
∴∠B+∠DEB=180°，
又∵B D ∠=∠，
∴∠D+∠DEB=180°，
∴DC ∥AB （同旁内角互补，两直线平行），
∴A C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）；
故②正确；
③∵A C ∠=∠，
∴DC ∥AB （内错角相等，两直线平行），
∴B CFB ∠=∠（两直线平行，内错角相等）,
又∵B D ∠=∠，
∴D CFB ∠=∠,
∴DE ∥FB （同位角相等，两直线平行），
∴13∠=∠（两直线平行，同位角相等）,
∵2,3∠∠是对顶角，
∴23∠∠=，
∴12∠=∠（等量替换），
故③正确.
故D 为答案.
【点睛】
本题主要考查了直线平行的判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）、直线平行的性质、等量替换的相关知识点，掌握直线平行的判定和性质是解题的关键.
17．如图，直线,AB CD 相交于点,50,O AOC OE AB ?∠=⊥，则DOE ∠的大小是（ ）
A ．40?
B ．50?
C ．70?
D ．90?
【答案】A
【解析】
根据对顶角的性质，把BOD ∠的度数计算出来，再结合OE AB ⊥，即可得到答案.
【详解】
解：∵50AOC ∠=?，
∴50BOD ∠=?（对顶角相等），
又∵OE AB ⊥，
∴90EOB ∠=?，
∴905040DOE BOE DOB ∠=∠-∠=?-?=?，
故A 为答案.
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等），判断,BOD AOC ∠∠是对顶角是解题的关键.
18．如图，1B ∠=∠，2C ∠=∠，则下列结论正确的个数有（ ）
①//AD BC ；②B D ∠=∠；③//AB CD ；④2180B ∠+∠=?
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据∠1=∠B 可判断AD ∥BC ，再结合∠2=∠C 可判断AB ∥CD ，其余选项也可判断.
【详解】
∵∠1=∠B
∴AD ∥BC ，①正确；
∴∠2+∠B=180°，④正确；
∵∠2=∠C
∴∠C+∠B=180°
∴AB ∥CD ，③正确
∴∠1=∠D ，∴∠D=∠B ，②正确
故选：A
【点睛】
本题考查平行的证明和性质，解题关键是利用AD ∥BC 推导出∠B+∠2=180°，为证AB ∥DC 作准备.
19．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠1＝45°，
∵∠3是△CDE的一个外角，
∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a∥b，b ∥c?a∥c．
20．如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠
DAE=56°，则∠E的度数为（）
A．56°B．36°C．26°D．28°
【答案】D
【解析】
分析：根据平行线的性质，可得∠DBC=56°，∠E=∠EBC，根据角平分线的定义，可得∠
EBC=1
2
∠DBC=28°，进而得到∠E=28°．
详解：∵AE∥BC,∠DAE=56°，∴∠DBC=56°，∠E=∠EBC，∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=1
2
∠DBC=28°，
∴∠E=28°，
故选D.
点睛：本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解题的关键.
(完整版)第五章_相交线与平行线_知识点+考点+典型例题
第五章相交线与平行线知识点、考点与典型例题 【知识要点】 1.两直线相交 2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 3.对顶角 （1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。 （2）对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。 5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。 6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b” 7．平行公理及推论 （1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 注： （1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。 （2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。 8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。 9．平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内） （2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内） （3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内） 10．平行线的判定 （1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内） （2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内） （3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内） （4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 补充： （5）平行的定义；（在同一平面内） （6）在同一平面内 ．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。 11.平移的定义及特征 定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。 特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样； ②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。 【典型例题】
高中政治生活与哲学知识点总结
第一单元:生活智慧与时代精神 １．哲学与世界观、具体科学: （１)世界观决定方法论,方法论体现世界观 (2）哲学是世界观与方法论的统一： （3）哲学是系统化、理论化的世界观。 (4）①具体科学是哲学的基础,具体科学的进步推动哲学的发展； ②哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 ２.哲学的基本问题是思维和存在的关系问题。 它包括两方面的内容:①思维和存在何者为第一性的问题; ②思维和存在有没有同一性的问题。 两大阵营 唯物主义:物质是本原，先有物质后有意识,物质决定意识。 （唯物主义的三种基本形态即古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史唯物主义) 唯心主义:意识是本原,物质依赖于意识,意识决定物质。 （唯心主义的两种基本形态即主观唯心主义和客观唯心主义) 第二单元:探索世界与追求真理 唯物论 物质观 １、物质的含义: 物质是不依赖于人的意识,并能为人的意识所反映的客观实在。 物质的唯一特性是客观实在性 2、世界的物质性原理：世界是物质的世界，世界的真正统一性就在于它的物质性。 这要求我们要用物质的观点看问题。 ３、运动 （1)含义:宇宙间一切事物、现象的变化和过程。 (2）物质和运动的关系: ①世界的一切事物都处于运动和变化中,运动是物质的固有属性和存在方式; ②运动是物质的运动,物质是运动的承担者 （３)运动和静止的关系: ①运动是绝对的、无条件的和永恒的;静止是运动的一种特殊形态，静止是相对的、有条件的和暂时的； ②物质世界是绝对运动和相对静止的统一; ③反对形而上学的不变论(只承认静止而否认运动)、相对主义和诡辩论（只承认绝对运动而否认相对静止)。 ４、规律 (1）规律的含义:规律是事物运动过程中固有的、本质的、必然的、稳定的联系。 (2）规律的客观性和普遍性： ①规律是客观的，是不以人的意志为转移的，它既不能被创造，也不能被消灭。 ②规律是普遍的,自然界、人类社会和人的思维，在其运动变化和发展中都普遍遵循其固有规律。 （3)方法论：①规律的客观性和普遍性要求我们，必须遵循规律，而不能违背规律，按客观规律办事,违背规律就会受到规律的惩罚。
第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
第五章 相交线与平行线复习+知识点+总结
第 1 页 共 4 页 第五章 相交线与平行线复习 5.1.1相交线（详见课本第2页） 1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点， 那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点. 如图1所示，直线AB 与直线CD 相交于点O. 2、对顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线， 那么这两个角叫做对顶角. 如图2所示，∠1与∠ 3、∠2与∠4都是对顶角. 3、对顶角的性质：对顶角 . 4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个 角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角. 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°. 5.1.2垂线（详见课本第3-5页） 1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ， 其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 . 2、垂线的性质 （1）（垂直公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点， 有且只有 条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 . （2）（垂直推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 即垂线段最 . 3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 如图5所示，l 的垂线段PO 的长度叫做点P 到 直线l 的距离. 4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器） 画法指点：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， ⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线. 5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6-7页） 1、三线八角 两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图5，直线b a ,被直线l 所截 ①∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方，叫做 角（位置相同）同位角是“F ”型 ②∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内 错角是“Z ”型 ③∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做 角. 同旁内角是“U ”型 2、如何判别三线八角 图形补全. 如上图6 5.2.1平行线（详见课本第11-12页） 1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴ ；⑵（通常把 的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： A B C D 1 4 3 21A B C D O 图2 O D C B A 图1 图5 21 O C B A 图3 图4 E
必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)
1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ） ． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）； 直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量） （6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；
必修4《生活与哲学》知识点整理汇总
必修4《生活与哲学》核心知识点归纳 第一单元：生活智慧与时代精神 1、哲学智慧的产生与起源：哲学的智慧产生于人类的实践活动。哲学源于人们对实践的追问和对世 界的思考。 2、哲学的本义：爱智慧或追求智慧 3、哲学的任务：正确地看待自然、社会和人生的变化与发展，指导人们正确地认识世界和改造世界 4、什么是哲学：哲学是系统化理论化的世界观，哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结。 （1）世界观、方法论的关系：世界观决定方法论，方法论体现世界观 （2）哲学是世界观与方法论的统一： （3）哲学与世界观的关系：哲学是系统化、理论化的世界观。 （4）哲学与具体科学的关系：具体科学的进步推动哲学的发展。哲学为具体科学提供世界观和方法 论的指导。 5、什么是哲学的基本问题？它包括哪些内容？ 哲学的基本问题是思维和存在的关系问题。 内容：①思维和存在何者是本原问题。②思维和存在有没有同一性的问题。 6、为什么思维和存在的关系问题是哲学的基本问题？ ①哲学的基本问题与我们的生活息息相关 ②思维和存在的关系问题，是一切哲学都不能回避，必须回答的问题。 7、唯物主义和唯心主义的基本观点： 唯物主义：物质是本原，先有物质后有意识，物质决定意识。 唯心主义：意识是本原，物质依赖于意识，意识决定物质。 8、唯物主义的三种基本形态及其合理性、局限性： 唯物主义的三种基本形态即古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史唯物 主义。 理解：①古代朴素唯物主义：合理性——否认世界是神创造的认为世界是物质的，坚持了唯物主义 的根本方向，本质上正确。局限性——这些观点是一种可贵猜测，没有科学依据；它把物质归结为 具体的物质形态（金、木、水、火、土、气） ②近代形而上学唯物主义：合理性——在总结自然科学成就的基础上，丰富和发展了唯物主义。局 限性：它把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界的本原，原子的属性就是物质的属 性，因而具有机械性、形而上学性和历史观上的威信注意等局限性。 ③辩证唯物主义和历史唯物主义：正确地揭示了物质世界基本规律，反映了社会历史发展的客观要 求，反映了最广大人民群众根本利益。它是现时代的思想智慧，是无产阶级的科学的世界观和方法 论，是我们认识世界和改造世界的伟大思想武器。 9、唯心主义的两种基本形态：主观唯心（我、吾、人、心、感觉、感知、知觉） 客观唯心（上帝、神、理、理性、绝对精神） 10、辩证法和形而上学的斗争从属于唯物主义与唯心主义的斗争；唯物主义和唯心主义是哲学的两大基本派别 11、哲学与经济政治的关系：哲学是经济、政治在精神上的反映。 12、为什么真正的哲学是自己时代的精神上的精华？①正确地反映了时代的任务和要求。②牢牢把握了时代的脉搏③正确地总结和概括了时代的时间经验和认识成果。
向量代数与空间解析几何练习题讲课教案
向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为 ),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 131323 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =， q =，则BC =_______________，CD =__________________．
2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是 _______________________________________． 4．设力k + 2+ =, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(, B所做的功为 F5 j i 3 ____________________________． ?_____________________; 5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2( C, 则= ?____________________;ABC = ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1 | |= c, 并且0 |= b, 5 | a, 4 |= | a? b + + ?． b ? +c + c b = c a．计算a 2．已知3 ?b || a?． |= |b a, 求| | |= ?b a, 4 | 3．设力k - =作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2 ,7,1(,- + B的力矩的大小． i j F5 3 2+
人教版初中数学第五章相交线与平行线知识点
第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角． 错解：如图，对顶角为：（1）∠AOC 与∠BOD ； （2）∠AOF 与∠BOD ； （3）∠COF 与∠DOE ； （4）∠AOC 与∠BOE ． 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解 和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． 正解：（1）∠AOC 与∠BOD ；（2）∠BOE 与∠AOF ；（3）∠COF 与∠DOE ； （4）∠COE 与∠DOF ．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF ，∠BOC 与∠AOD 也是对顶角） 5.1.2 垂线 1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作： 如图所示： AB ⊥CD ，垂足为O A B C D O
2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图，直线b a ,被直线l 所截 1、∠1与∠5在截线l 的同侧，同在被截直线b a ,的上方， 叫做同位角（位置相同） 2、∠5与∠3在截线l 的两旁（交错），在被截直线b a ,之间（内） 3、∠5与∠4在截线l 的同侧，在被截直线b a ,之间（内），叫做同旁内角. 例： 如图，判断下列各对角的位置关系： （1）∠1与∠2；（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD ；（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8. 解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图. 如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD 是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角. 注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？ 不是，∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成. 5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b . a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C A B F 2 1 A B C 1 7 A B C D 2 6 A D B 1 A F E 5 8 C
平面解析几何初步(知识点 例题)
个性化简案 个性化教案（真题演练）
个性化教案
平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.
天道酬勤系列之《生活与哲学》知识点整理篇
天道酬勤政治宝典之哲学篇 哲学生活知识点归纳 第一至三课生活智慧与时代精神 1、生活处处有哲学 （1）、哲学的智慧产生于人类的实践活动。 （2）、哲学源于人们对实践的追问和对世界的思考。 （3）、哲学总是自觉或不自觉的地影响着我们的学习、工作和生活。 2、什么是哲学？ 哲学是关于世界观的学问；是系统化、理论化的世界观；哲学又是关于方法论的学问.一句话，哲学是世界观和方法论的统一。 3、世界观和方法论的关系： 区别：世界观是人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。方法论是人们认识世界和改造世界的根本方法。 联系：一般说来，世界观决定方法论，方法论反映世界观，有什么样的世界观就有什么样的方法论。不存在脱离世界观的方法论，也不存在脱离方法论的世界观。哲学是世界观和方法论的统一。 4、哲学与具体科学的关系： 区别：具体科学揭示的是自然、社会和思维某一领域的规律和奥秘；哲学是对个别规律和特性进行概括和升华，从中抽象出整个世界最一般的本质和最普遍的规律。 联系：（1）具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动哲学的发展。 （2）哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。 5、什么是哲学的基本问题？ 思维和存在的关系问题（即意识和物质的关系问题）。 它有两个方面内容：（1）思维和存在何者为第一性的问题？（划分唯物和唯心主义的唯一标准）（2）思维和存在是否有同一性的问题？（划分可知论和不可知论的依据） 6、什么是唯物主义？什么是唯心主义？ 唯物主义认为，物质是世界本原，物质第一性，意识第二性。物质决定意识，意识是物质的派生。 唯心主义认为，意识是世界的本原，意识第一性，物质第二性。意识决定物质，物质依赖意识。 7、什么是辩证法？什么是形而上学？ 辩证法主张用联系、发展、全面的观点看问题。 形而上学主张用孤立、静止、片面的观点看问题。 8、真正的哲学是社会变革的先导 （1）它可以通过对社会弊端、旧制度、旧思想的批判，更新人的观念，解放人的思想。 （2）它可以预见和指明社会的前进方向，提出社会发展的理想目标，指引人们追求美好的未来；动员和掌握群众，从而转化为变革社会的巨大的物质力量。 9、马克思主义哲学： 是科学的世界观和科学的方法论；是无产阶级和人民群众认识世界和改造世界的精神武器。马克思主义哲学包括辩证唯物主义和历史唯物主义。 马克思主义哲学的产生是哲学史上伟大的变革。 第四课探索世界的本质 1、世界的物质性原理 自然界是物质的；人类社会是物质的。意识是物质的派生。因此，世界是物质的世界，世界的真正统一性在于它的物质性。 方法论：想问题、办事情，要坚持一切从实际出发，使主观认识和客观实际相符合。 2、什么是物质？ 物质是不依赖于人的意识，并能为人的意识所反映的客观实在。（它概括了宇宙间一切事物和现象的共同本质，而不是指某一具体的物质形态。） 3、物质和运动的关系： （1）物质是运动的物质。运动是物质的根本属性和存在方式。 （2）运动是物质的运动。物质是运动的承担者（主体）。 （3）离开运动谈物质和离开物质谈运动，都是错误的。 4、运动和静止的关系： （1）区别：运动，是指宇宙间一切事物、现象的变化和过程。是绝对的、无条件的、永恒的。静止，是运动的一种特殊形式。是相对的、有条件的、暂时的。 （2）联系：动中有静，静中有动。世界是绝对运动和相对静止的统一。 （3）只承认静止而否认运动，是形而上学的不变论；只承认运动而否认静止，则导致相对主义和诡辩论。 5、规律的客观性和普遍性原理
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第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4
2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。 图 图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
相交线与平行线知识点
第五章《相交线与平行线》知识点 1.相交线 同一平面中，两条直线的位置有两种情况： 相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4；邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角； 对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1的两边分别是∠3两边 的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角； ∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。 所以，对顶角相等 垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线相关的基本性质： （1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； （3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。 平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。 3.同一个平面中的三条直线关系： 三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。 （1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决； （2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系： *同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角； *内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角； *同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； 两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系： 两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等； 两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等 两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。 平行线判定定理：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行 平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行 平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行 （3）有三个交点 （4）没有交点： 第六章《平面直角坐标系》知识点 一、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 1、记作（a ，b）； 2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 二、平面直角坐标系 1、、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点： 平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。2、各象限的角平分线上的点的坐标特点： 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。3、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点： 关于x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数 4、特殊位置点的特殊坐标： 5、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下： ?建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； ?根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； 6
解析几何学习知识重点情况总结复习资料
一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，
MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >；
生活与哲学基本学习知识结构图
【生活与哲学基本知识结构图】 汤阴一中周艳梅 【第一单元生活智慧与时代精神】 哲学与生活①哲学的起源：哲学的智慧产生于人类的实践活动，哲学源于人们对实践的追问和对世界的思考。 ②哲学的本义：爱智慧或追求智慧。 ③哲学的功能（作用）：帮助人们树立世界观、人生观和价值观，指导人们认识世界和改造世界。 ④哲学的任务：哲学的任务就是指导人们正确地认识世界和改造世界。 哲学的一般知识哲学与世界观 哲学与世界观的关系 区别 ①世界观人人都有，哲学并非人人都知。 ②世界观通常是自发形成的，哲学则是哲学家自觉研究的结果。 ③世界观是零散的、朴素的，哲学是理论化、系统化的。 联系 ①哲学和世界观的研究对象都是整个世界。 ②哲学以世界观为内容，世界观以哲学为最高表现。 世界观与方法论的关系 区别 世界观是人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。 方法论是人们认识世界和改造世界的根本方法。 联系 人人都有世界观和方法论，一般来说，世界观决定方法论，方法论体现世界观，有什么 样的世界观就有什么样的方法论。 小结：哲学是关于世界观的学说，世界观决定方法论，哲学是世界观和方法论的统一。 哲学与具体科学 区别：主要是研究对象不同：具体科学研究世界某一具体领域的本质和规律。哲学研究整个世界的本质和规律。 联系 ①具体科学是哲学的基础，哲学是对具体科学的概括、总结和反思。因此，具体科学的进步推动哲学的发展。 ②哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。只有坚持以正确的世界观和方法论为指导，科学家才能在研究活 动中掌握正确的方向。 哲学的基本问 题和基本派别 哲学的基本问题 思维和存在何者第一性 唯物主义：存在决定思维 唯心主义：思维决定存在 思维和存在有无同一性 可知论：思维能够正确反映存在。 不可知论：否认（彻底）认识世界的可能性（休谟、康德） 是什么： 思维和存 在的关系 为什么： 为什么是 基本问题 ①这是人们在生活和实践中首先遇到并无法回避的基本问题。 ②这是一切哲学都不能回避、必须回答的问题。 ③这一问题贯穿于哲学发展的始终，决定着哲学的基本性质和方向，决定着对哲学其它问 题的回答。 哲学的基本派别 是什么：唯物主义和唯心主义。二者的根本分歧是围绕物质和意识谁是世界的本原展开的。 相对于唯物主义和唯心主义的斗争来说，辩证法和形而上学的斗争具有从属的意义。这主 要是因为各种辩证法或形而上学的思想总是附属于唯物主义或唯心主义的哲学体系。 为什么是 基本派别 唯物主义和唯心 主义的基本形态 唯物主 义的基 本形态 古代朴素唯物主义 基本观点：认为金、木、水、火、土、气等是世界的本原。 评价 进步性：否认神创论，坚持了唯物主义的根本方向，本质上正确。 局限性：①只是猜测，没有科学依据②把物质归结为具体的物质形态 近代形而上学唯物主义 基本观点：认为原子是世界的本原。 评价 进步性：克服了朴素唯物主义的直观性、猜测性，丰富和发展了唯物主义。局限性： ①把物质归结为具体的物质形态②机械性、形而上学性③唯心史观 辩证唯物主义和历史唯物主义 唯心主 义的基 本形态 局限性：二者归根到底，都是把人的意识当作世界的 本原，其根本观点是错误的。 可取处：就其局部范围而言，它对人们认识的发展有 一定借鉴意义。 哲学和时代 任何哲学都是时代精神的总结和升华，同时又对时代的发展起着重要的作用。 真正的哲学之所以是自己时代精神上的精华，是因为 它正确反映了时代的任务和要求。 它正确总结和概括了时代的实践经验和认识成果。 真正的哲学是社会变革的先导 批判功能：批判旧的制度和观念，解放人的思想。 塑造功能 指明社会的前进方向，提出社会发展的理想目标。 动员和掌握群众，从而转化为变革社会的巨大物质力量。 马克思主义哲 学的产生 “三大工人运动”的失败说明无产阶级需要科学理论作指导。 “三大发现”使人们用联系和发展的眼光看待世界成为可能，从哲学上论证自然界唯物辩证 ③直接理论来源：德国古典哲学。马哲批判吸取了黑格尔辩证法的合理内核和费尔巴哈唯物主义的基本内核。 重要意义：马克思主义哲学的产生，开启了无产阶级和全人类的解放事业，实现了哲学史上的伟大变革。它是人类 认识史上一次最为壮丽的日出，是人类认识发展结出的丰美硕果。 第一次实现了唯物主义和辩证法的有机统一——创立了辩证唯物主义。 第一次实现了唯物辩证的自然观与唯物辩证的历史观的有机统一——创立了历史唯物主义。 历史条件
人教版七年级(下)相交线与平行线知识点及典型例题
相交线与平行线知识点整理及测试题 一、相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点： [1]顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与 ∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 [4]两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 练习： 1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．如图1-1，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ， 图中有几对对顶角？ 3．如图1-2，若∠AOB 与∠BOC 是一对邻补角， OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内部， 并且∠BOE = 1 2 ∠COE ，∠DOE =72°。 求∠COE 的度数。 1 21 2 1 2 2 1 （图1-2）
2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作：如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； ②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， ⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO ⊥AB ，同P 到直线AB 的距离是PO 的长。 PO 是垂线段。PO 是点P 到直线AB 所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 例已知：如图，在一条公路l 的两侧有A 、B 两个村庄. <1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P ，同时修建车站P 到A 、B 两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P 的位置，(保留作图的痕迹)．并在后面的横线上用一句话说明道理． . <2>为方便机动车出行，A 村计划自己出资修建 一条由本村直达公路l 的机动车专用道路，你能帮 助A 村节省资金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在 后面的横线上用一句话说明道理． . A B C D O P A B O