高三文科数学第一轮知识点专项复习课件24

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方法二：AB 2a=23b(1,0)+3(2,1)=(8,3),
BC a = m(1b,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
∵A、B、C三点共线，∴ A∥B ，BC ∴8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,∴3m= .
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【反思·感悟】1.利用已知列方程求解参数是解该类问题 的关键.2.若 A∥B ，A则C A、B、C三点共线，注意这一结 论的应用.
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方法二:
设 AB a,AD b.
因为M，N分别为CD，BC的中点，
所以 BN 1 b，DM 1 a，
2
2
因而
c d
b a
1 2 1 2
a b
a b
2 (2d c) 3 2 (2c d) 3
即 AB 4 d 2 c, AD 4 c 2 d.
ห้องสมุดไป่ตู้33
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【反思·感悟】1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底， 该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合， 基底不同,表示也不同. 2.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.
【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误
【典例】(2011·湖南高考)设向量a,b满足 a 2 5,b 2,1,
且a与b的方向相反，则a的坐标为________. 【解题指南】设a=λb (λ<0),利用 a 2 5 列出关于λ的方 程求解即可.
【规范解答】∵a与b方向相反，∴可设 a b 0,
【规范解答】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
∵ka-b与a+2b共线，∴2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k= 1 .
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(2)方法一:∵A、B、C三点共线，∴ AB BC.
即 2a 3b (a mb,)解,得32m m=, .
1.平面向量基本定理 前提：e1,e2是同一个平面内的两个不__共__线__向__量____. 条件：对于这一平面内的任一向量a, _有__且__只__有__一__对__实数 λ1,λ2满足a=λ__1_e_1_+_λ__2_e_2. 结论：不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底.
a (x1, y1),b (x2, y2 ), 则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题 比较方便.
【提醒】1.注意0的方向是任意的. 2.若a、b为非零向量，当a∥b时，a,b的夹角为0°或180°， 求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.
【例3】已知a=(1,0),b=(2,1), (1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线. (2)若 AB 2a 3b,BC a mb 且A、B、C三点共线，求m的值. 【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求 解即可. (2)可引入参数λ使 AB BC 求m，或利用 AB∥BC 的坐标形 式求m.
(2)平面向量的正交分解 向量正交分解是把一个向量分解为两个_互__相__垂__直__的向量. (3)平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向 量i,j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一 向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)是一一对应 的，因此向量a的坐标是_(_x_,_y_)_，记作a=(x,y) ，其中a在 x轴上的坐标是_x_，a在y轴上的坐标是_y_．
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(2)设B(x,y)，则 A=B(x,y)-(-1,-5)=3(2,3),
∴(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4).
(3)∵(3，-2)=p(-1，2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),
p q 3 p 1
答 案2p：(q1)(23，,
q)
1
. 4
(2)(5，4)
(A)(7，3)
(B)(7，7)
(C)(1，7)
(D)(1，3)
(2)已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，
①求 AB； ②若 AB mAC nBC ,求m,n. 【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可.
(2)①利用 AB 为点B的坐标减去点A的坐标求解. ②利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.
(3)1
4
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4.平面向量共线的坐标表示 设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 则a∥b⇔_x_1_y_2_-_x_2_y_1_=_0_.
【即时应用】
(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线，则x=______.
(2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λa+b与向量c=(2,1)
(A)-1
(B)1
(C)0
(D)2
【解析】选B.如图，设 AB AC, 则 OB OA AB OA AC OA (OC OA)
OA OC OA
1 OA OC
∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1.
2.(2011·上海高考)设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不
同点，则使 MA1 MA2 MA3 MA4 0 成立的点M的个数 为( )
则 a AN NB d ( 1 b)
①
2
b AM MD c ( 1 a)
②
2
将②代入①得 a d ( 1［) c ( 1 a)］
2
2
∴ a 4 d 代2入c,②
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得 b c ( 1)( 4 d 2 c) 4 c 2 d.
23 3 3 3
∴ AB 4 d 2 c，AD 4 c 2 d.
共线，则λ=_______.
【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0,∴x= 1 .
3
(2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ),
又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1.
答案：(1) 1
3
(2)-1
平面向量基本定理及其应用 【方法点睛】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形 式，再通过向量的运算来解决. 【提醒】在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带 来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.
【规范解答】(1)选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
(2)① A=B (5，4)-(2，3)=(3，1). ②∵ A=C(7，10)-(2，3)=(5，7)， BC=(7，10)-(5，4)=(2，6)， ∴ mAC =nmBC(5,7)+n(2,6)
=(5m+2n,7m+6n)
(A)0
(B)1
(C)2
(D)4
【解析】选B.方法一：取特殊值，令A1(0,0),A2(0,1),
A3(1,1),A4(1,0),则满足 MA1 MA2 MA3 MA4 0 的条件 的点有且仅有1个，即为正方形A1A2A3A4的中心，故选B.
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(2)已知点A(-1，-5)和向量a=(2,3).若 AB 3a ，则点B的 坐标为__________.
(3)设 a (1,2),b (1,1),c (3,2),且c pa qb, 则实数p、q 的值分别为________、________.
【解析】(1) 1 a b (1 , 1) 1，1 ( 3， 1).
第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
三年8考 高考指数:★★★ 1.了解平面向量基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向 量共线条件的应用是考查重点. 2.题型以客观题为主，与三角、解析几何等知识交汇则以解答 题为主.
出现增解(4，2) 警
(2)知识性错误，向量共线的条件掌握不准而导致错解 示
或无法解题. 备 解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下几 考 点易错，在备考时要高度关注: 建 (1)遗漏零向量，零向量与任一向量平行 议 (2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件
1.(2012·宿州模拟)设 OB xOA yOC, x,y∈R且A、B、C三 点共线(该直线不过点O)，则x+y=( )
【例1】如图所示，在平行四边形 ABCD中，M，N分别为DC，BC的中 点，已知 AM c,AN d, 试用c,d表 示 AB,AD. 【解题指南】直接用c,d表示 AB、AD 有难度，可换一个角 度，由 AB，AD 表示 AN,AM,进而求 AB,AD.
【规范解答】方法一:
设 AB a,AD b,
(4)规定 ①相等的向量坐标_相__同__，坐标_相__同__的向量是相等的向量； ②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位 置无关，只与其相对位置有关系．
【即时应用】
(1)思考：在△ABC中，向量 AB与 BC 的夹角为∠ABC，是否正 确？
提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量
∵ AB mAC=(n3B，C1)，
∴
5m 7m
2n 6n
3, 1
m 1
n
. 1
【反思·感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算，以 及求向量的坐标表示等问题，关键是理解平面向量线性运算和 坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及正 确使用运算法则.
平面向量共线的坐标表示 【方法点睛】利用两向量共线解题的技巧 (1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所 求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方 程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. (2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若
∴a=λ(2,1)=(2λ,λ).由 a 解5得2 λ2=-52, , 或λ=2(舍)，故a=(-4,-2). 答案：(-4，-2)
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以 得到以下误区警示和备考建议：
在解答本题时有两点容易出错: 误
(1)误认为“a与b的方向相反⇔ a∥b”致使设a=λb 区
【即时应用】
判断下列关于基底的说法是否正确(请在括号内打“√”或
“×”).
(1)在△ABC中， AB、AC 可以作为基底.
()
(2)能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的. ( )
(3)零向量不能作为基底.
()
【解析】由基底的定义可知(1)(3)正确；(2)只要是同一平面
内两个不共线的向量都可作为一组基底，故(2)错误.
答案：(1)√ (2)× (3)√
2.平面向量的坐标表示 (1)向量的夹角 ①定义：如图，两个_非__零__向__量__a和b， 作 OA＝a,OB b，则向量a与b的夹角 是_θ__或__∠__A_O_B__. ②范围：向量a与b的夹角的范围是__0_°__≤__θ__≤__1_8_0_°_. ③当θ＝0°时,a与b_同__向__. 当θ＝180°时,a与b_反__向__. 当θ=90°时,a与b_垂__直__.
AB 与 BC 的夹角为π-∠ABC. (2)已知A(2，0)，a=(x+3，x-3y-5)，若a= OA ，O为原点， 则x=_______,y=_______.
【解析】∵ a OA (2，0).
答案xx： 33-y125
，解得
0-2
x y
1 .
2
3.平面向量坐标运算
向量的 加、减 法
若a＝（x1，y1），b （x2，y2），则a b （__x_1 __x_2_，__y_1 __y_2_）_， a b （_x__1 __x_2_,_y_1 __y_2_）.
平面向量的坐标运算
【方法点睛】两向量相等的充要条件
两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应
坐标分别相等，即
x1 x2
y1
y2
，利用向量相等可列出方程组求其
中的未知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标
等问题.
【例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于( )
实数与 向量的 积
向量的 坐标
若a （x, y）， R，则a （___x_，___y_）_
uuur 若起点A（x1，y1），终点B（x 2，y 2），则AB （_x__2 __x_1_，__y_2 __y_1_）
【即时应用】 (1)已知a=(1，1)，b=(1，-1)，则 1 a b =_______.