综合评价模型动态加权综合评价方法
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排序方案。
个被评价对象的 N 个
五、长江水质的综合评价模型
针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方 法来解决。假设 17 个城市为被评价对象S1 , S 2 , , S17 ，共有四项评
x1 , x 2 , x 3 和 价指标（或属性）DO、CODMn、NH3-N 和 PH 值，分别记为
j 1
28
,17) 。
经计算可得到各城市的 Borda 数及总排序结果如表(2)所示。
表(2)：按各城市的水质污染总排序结果 城市 S1 S 2 S3 S 4 S5 S 6 S 7 S8 S9 S10 排序 Borda 数 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 总排序
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值w j ( j 1, 2,
, m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评 价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最 近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最 主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn ）、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28 个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
（３）氨氮（NH3-N）的标准化 氨氮也是极小型指标， 对指标数据作极差变换将其数据标准化，
x3 即令 x3 ，对应的分类区间随之变为 2 (0, 0.075] , (0.075, 0.25] , (0.25, 0.5] , (0.5, 0.75] , (0.75,1] , (1, )
1. 指标数据的标准化处理
x4
则将其数据标准化。
x 4 7 .5 1 .5
2 x 4 7 .5 ， 3
五、长江水质的综合评价模型
2. 动态加权函数的确定
根据对这一实际问题的分析，不妨取动态加权函数为偏大型正态分布 函数，即
当 x i时, 0 , 2 wi ( x) x i i 1 e , 当 x i时, (i ) (i ) x ( b a i i 1 1 )/2 ， 其中 在这里取指标 的Ⅰ类水标准区间的中值，即 i (i ) i wi ( a 4 ) 0.9(i 1,2,3) 确定。 由 1 0.1333 , 2 0.0667 , 3 0.0375 由实际数据经计算可得 ， 3 0.3048 1 0.1757, 2 0.2197, ， 则代入上式可以得到 DO、 CODMn
五、长江水质的综合评价模型
1. 指标数据的标准化处理
（1）溶解氧（DO）的标准化 注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标作极小化处理，
即令倒数变换 x1
1 ，相应的分类标准区间变为 x1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0, ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ) ， 7.5 7.5 6 6 5 5 3 3 2 2 x1 然后通过极差变换x1 将其数据标准化，对应的分类区间随之变为 0.5 (0, 0.2667] , (0.2667, 0.3333] , (0.3333, 0.4] , (0.4, 0.6667] , (0.6667,1] , (1, )
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.3 综合评价模型的构建
xi 根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用
权函数 wi ( x )(i 1, 2,
表示，以及相应的动态 个被评价对象做
n , m) ， 建立综合评价模型来对
出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即
X wi ( xi ) xi 。
以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 m 个属性 都有 N 组样本观测值{ xij }(i 1, 2, , m; j 1, 2, , N ) ，代入上式计算， 则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j ) ( k 1, 2,
i 1
m
, n;
n j 1, 2, , N ) 。由此按其大小排序，可以给出
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法 根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
动态加权综合评价问题的一般提法：
n 个被评价对象（或系统） 现设有 ，分别记为S1 , S2 ,
个系统都有m 属性（或评价指标） ，分别记为x1 , x2 ,
, Sn (n 1) ，每 , xm ( m 1) ，对于
K 个等级，记为 p1 , p2 , 每一个属性xi 都可以分为
, p K ( K 1) 。而对 (i ) (i ) p [ a , b 于每一个等级 k 都包含一个区间范围，记为 k k ) ，且 ak( i ) bk( i ) (i 1, 2, , m; k 1, 2, , K ) ，即当属性 xi [ ak( i ) , bk( i ) ) 时，则 xi pk (1 k K ) k
X 0.8 wi ( xi )xi 0.2 x4 。
i 1
3
根据 17 个城市的 28 组实际检测数据，经计算可得各城市的水质综合 17 28 阶的综合评价矩阵( X ij )17 28 。 评价指标值，即可得到一个
五、长江水质的综合评价模型
4.各城市水质的综合评价
由 17 个城市 28 个月的水质综合评价指标X ij (i 1, 2,
属性 属于第 类 。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差” ， 又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是 不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
2.2 动态加权函数的设定
（1） 分段变幂函数 xi 对于综合评价效果的影响大约是 如果某项评价指标 随着类别 pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加而按正幂次增加，同时
在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加， 则对指标xi 可以设定分段 幂函数为变权函数。即
(i ) wi ( x) x , x [ ak , bk( i ) ] ， (k 1, 2, , K ) 其中1 i m 。 1 k
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主 要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取 不同的权函数。
x4 ，前三项指标都有 6 个等级 p1 , p2 , , p6 ，相应的分类区间值如
表（1）所示，而 PH 值没有等级之分。
表（1）: 《地表水环境质量标准》 （GB3838 — 2002 ） 中 4 个主要项目标准限值 指 标 Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 [6,7.5) [5,6) [3,5) 溶解氧(DO) [7.5,∞) (0,2] (2,4] (4,6] (6,10] 高锰酸盐指数(CODMn) (0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5] 氨氮（NH3-N） [6 , 9] PH 值（无量纲） 单位：mg/L Ⅴ类 劣Ⅴ类 [2,3) [0,2] (10,15] (15, ∞) (1.5,2] (2, ∞)
和 NH3-N 三项指标的动态加权函数。
五、长江水质的综合评价模型
3.综合评价指标函数的确定
考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标，以及指标 PH 值 的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为 0.8，而 PH 值的影响权值 取 0.2。因此，根据综合评价模型，某城市某一时间的水质综合评价指标定 义为
其中参数
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i , 当 x i时, 1 e i [a1( i ) , b1( i ) )
可取
定值，在此不妨取
i
i (b a1( i ) ) / 2
(i ) 1
中的某
,17;
j 1, 2,
, 28) ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越
大说明水质越差。由此可得反映 17 个城市水质污染程度的 28 个排 Si ) i 个城市(被评价对象 序结果， 根据 Borda 数的计算方法则得到第 的 Borda 数为
B ( Si ) B j ( Si ) (i 1, 2,
（４） PH 值的处理 酸碱度（ PH 值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度， 通常的水生物都适应于中性水质， 即酸碱度的平衡值（PH 值略大于７） ， 在这里不妨取正常值的中值 7.5 。 当 PH<7.5 时水质偏碱性，当 PH>7.5 时偏酸性，而偏离值越大水质 就越坏，PH 值属于中间型指标。为此，对所有的 PH 值指 标数据作均值差处理，即令
x a (i ) 2 2 ( i ) 1 ( i ) , a1( i ) x c , b a1 wi ( x ) K 2 (i ) 1 2 x bK , c x b ( i ) , (i ) K (i ) b a K 1 1 (i ) (i ) c (a1 bK ), 且wi (c) 0.5 。 其中参数 2 (1 i m)
1. 指标数据的标准化处理
（２）高锰酸盐指数（CODห้องสมุดไป่ตู้n）的标准化 高猛酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，
即令 x 2
x2 , 对应的分类区间随之变为 15 (0,0.1333] ,(0.1333,0.2667] , (0.2667,0.4] , (0.4,0.6667], (0.6667,1] , (1, )
2.2 动态加权函数的设定
（2）偏大型正态分布函数 如 果 某 项 指 标xi 对 于 综 合 评 价 效 果 的 影 响 大 约 是 随 着 类 别
pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，
随后平缓增加趋于最大，相应的图形呈正态分布曲线（左侧）形状。那么， 此时对指标xi 的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即
由
wi ( a ) 0.9(1 i m )
(i ) K
，
确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数 如果某项指标xi 对于综合评价效果的影响大约是随着类别
pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即
个被评价对象的 N 个
五、长江水质的综合评价模型
针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方 法来解决。假设 17 个城市为被评价对象S1 , S 2 , , S17 ，共有四项评
x1 , x 2 , x 3 和 价指标（或属性）DO、CODMn、NH3-N 和 PH 值，分别记为
j 1
28
,17) 。
经计算可得到各城市的 Borda 数及总排序结果如表(2)所示。
表(2)：按各城市的水质污染总排序结果 城市 S1 S 2 S3 S 4 S5 S 6 S 7 S8 S9 S10 排序 Borda 数 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 总排序
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法
在以上综合加权评价方法中，关于权值w j ( j 1, 2,
, m)
都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行， 对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性 差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。
2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评 价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最 近28个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最 主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn ）、氨氮(NH3-N) 和PH值，要求综合这四种污染指标的28 个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。
（３）氨氮（NH3-N）的标准化 氨氮也是极小型指标， 对指标数据作极差变换将其数据标准化，
x3 即令 x3 ，对应的分类区间随之变为 2 (0, 0.075] , (0.075, 0.25] , (0.25, 0.5] , (0.5, 0.75] , (0.75,1] , (1, )
1. 指标数据的标准化处理
x4
则将其数据标准化。
x 4 7 .5 1 .5
2 x 4 7 .5 ， 3
五、长江水质的综合评价模型
2. 动态加权函数的确定
根据对这一实际问题的分析，不妨取动态加权函数为偏大型正态分布 函数，即
当 x i时, 0 , 2 wi ( x) x i i 1 e , 当 x i时, (i ) (i ) x ( b a i i 1 1 )/2 ， 其中 在这里取指标 的Ⅰ类水标准区间的中值，即 i (i ) i wi ( a 4 ) 0.9(i 1,2,3) 确定。 由 1 0.1333 , 2 0.0667 , 3 0.0375 由实际数据经计算可得 ， 3 0.3048 1 0.1757, 2 0.2197, ， 则代入上式可以得到 DO、 CODMn
五、长江水质的综合评价模型
1. 指标数据的标准化处理
（1）溶解氧（DO）的标准化 注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标作极小化处理，
即令倒数变换 x1
1 ，相应的分类标准区间变为 x1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (0, ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ] , ( , ) ， 7.5 7.5 6 6 5 5 3 3 2 2 x1 然后通过极差变换x1 将其数据标准化，对应的分类区间随之变为 0.5 (0, 0.2667] , (0.2667, 0.3333] , (0.3333, 0.4] , (0.4, 0.6667] , (0.6667,1] , (1, )
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.3 综合评价模型的构建
xi 根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用
权函数 wi ( x )(i 1, 2,
表示，以及相应的动态 个被评价对象做
n , m) ， 建立综合评价模型来对
出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即
X wi ( xi ) xi 。
以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的 m 个属性 都有 N 组样本观测值{ xij }(i 1, 2, , m; j 1, 2, , N ) ，代入上式计算， 则每一个被评价对象都有 N 个综合评价指标值 X k ( j ) ( k 1, 2,
i 1
m
, n;
n j 1, 2, , N ) 。由此按其大小排序，可以给出
四、动态加权综合评价方法
1. 动态加权综合评价问题的提法 根据国标（GB 3838—2002）的规定，关于地表水的水 质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类 别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间）， 只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所 以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水 在污染物的含量上也有一定的差别。 在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指 标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异 ”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复 杂的多因素多属性的综合评价问题。
动态加权综合评价问题的一般提法：
n 个被评价对象（或系统） 现设有 ，分别记为S1 , S2 ,
个系统都有m 属性（或评价指标） ，分别记为x1 , x2 ,
, Sn (n 1) ，每 , xm ( m 1) ，对于
K 个等级，记为 p1 , p2 , 每一个属性xi 都可以分为
, p K ( K 1) 。而对 (i ) (i ) p [ a , b 于每一个等级 k 都包含一个区间范围，记为 k k ) ，且 ak( i ) bk( i ) (i 1, 2, , m; k 1, 2, , K ) ，即当属性 xi [ ak( i ) , bk( i ) ) 时，则 xi pk (1 k K ) k
X 0.8 wi ( xi )xi 0.2 x4 。
i 1
3
根据 17 个城市的 28 组实际检测数据，经计算可得各城市的水质综合 17 28 阶的综合评价矩阵( X ij )17 28 。 评价指标值，即可得到一个
五、长江水质的综合评价模型
4.各城市水质的综合评价
由 17 个城市 28 个月的水质综合评价指标X ij (i 1, 2,
属性 属于第 类 。也就是对于每一个属性而言，既有不
同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差” ， 又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是 不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则， 解决问题的主要过程分三步完成： •将各评价指标作标准化处理； •根据各属性的特性构造动态加权函数； •构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型 的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同 的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理， 即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准 化指标。
2.2 动态加权函数的设定
（1） 分段变幂函数 xi 对于综合评价效果的影响大约是 如果某项评价指标 随着类别 pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加而按正幂次增加，同时
在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加， 则对指标xi 可以设定分段 幂函数为变权函数。即
(i ) wi ( x) x , x [ ak , bk( i ) ] ， (k 1, 2, , K ) 其中1 i m 。 1 k
四、动态加权综合评价方法
2. 动态加权综合评价的一般方法
2.2 动态加权函数的设定
考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系， 在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标 之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主 要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取 不同的权函数。
x4 ，前三项指标都有 6 个等级 p1 , p2 , , p6 ，相应的分类区间值如
表（1）所示，而 PH 值没有等级之分。
表（1）: 《地表水环境质量标准》 （GB3838 — 2002 ） 中 4 个主要项目标准限值 指 标 Ⅰ类 Ⅱ类 Ⅲ类 Ⅳ类 [6,7.5) [5,6) [3,5) 溶解氧(DO) [7.5,∞) (0,2] (2,4] (4,6] (6,10] 高锰酸盐指数(CODMn) (0,0.15] (0.15,0.5] (0.5,1] (1,1.5] 氨氮（NH3-N） [6 , 9] PH 值（无量纲） 单位：mg/L Ⅴ类 劣Ⅴ类 [2,3) [0,2] (10,15] (15, ∞) (1.5,2] (2, ∞)
和 NH3-N 三项指标的动态加权函数。
五、长江水质的综合评价模型
3.综合评价指标函数的确定
考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标，以及指标 PH 值 的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为 0.8，而 PH 值的影响权值 取 0.2。因此，根据综合评价模型，某城市某一时间的水质综合评价指标定 义为
其中参数
当 x i时, 0 , 2 x i wi ( x) i , 当 x i时, 1 e i [a1( i ) , b1( i ) )
可取
定值，在此不妨取
i
i (b a1( i ) ) / 2
(i ) 1
中的某
,17;
j 1, 2,
, 28) ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越
大说明水质越差。由此可得反映 17 个城市水质污染程度的 28 个排 Si ) i 个城市(被评价对象 序结果， 根据 Borda 数的计算方法则得到第 的 Borda 数为
B ( Si ) B j ( Si ) (i 1, 2,
（４） PH 值的处理 酸碱度（ PH 值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度， 通常的水生物都适应于中性水质， 即酸碱度的平衡值（PH 值略大于７） ， 在这里不妨取正常值的中值 7.5 。 当 PH<7.5 时水质偏碱性，当 PH>7.5 时偏酸性，而偏离值越大水质 就越坏，PH 值属于中间型指标。为此，对所有的 PH 值指 标数据作均值差处理，即令
x a (i ) 2 2 ( i ) 1 ( i ) , a1( i ) x c , b a1 wi ( x ) K 2 (i ) 1 2 x bK , c x b ( i ) , (i ) K (i ) b a K 1 1 (i ) (i ) c (a1 bK ), 且wi (c) 0.5 。 其中参数 2 (1 i m)
1. 指标数据的标准化处理
（２）高锰酸盐指数（CODห้องสมุดไป่ตู้n）的标准化 高猛酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，
即令 x 2
x2 , 对应的分类区间随之变为 15 (0,0.1333] ,(0.1333,0.2667] , (0.2667,0.4] , (0.4,0.6667], (0.6667,1] , (1, )
2.2 动态加权函数的设定
（2）偏大型正态分布函数 如 果 某 项 指 标xi 对 于 综 合 评 价 效 果 的 影 响 大 约 是 随 着 类 别
pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，
随后平缓增加趋于最大，相应的图形呈正态分布曲线（左侧）形状。那么， 此时对指标xi 的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即
由
wi ( a ) 0.9(1 i m )
(i ) K
，
确定。
2.2 动态加权函数的设定
（3）S 型分布函数 如果某项指标xi 对于综合评价效果的影响大约是随着类别
pk ( k 1, 2,
, K ) 的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，
此时对指标xi 的变权函数可以设定为 S 型分布函数。即