有限差分法

建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
建立节点物理量的代数方程
设立迭代初值
求解代数方程组 改进初场 否 收敛？ 是 解的分析
1. 建立控制方程及定解条件
根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。
2. 区域离散化
理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格 线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用 最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。
矩形分割
三角形分割
极网格分割
3.建立节点物理量的离散方程
泰勒级数展开法
内节点
节点类型 边界节点
热平衡法 热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立 ，其物理概念清晰，推导过程简洁 热平衡法 泰勒级数展开法
泰 勒 级 数 展 开 法
我们以二维稳态无内热源、矩形均分下的温度场为例，先 用泰勒级数展开法对内节点 ( i , j ) 建立离散方程。
代 入 上 式
边界条件： x=0m ,x=1m, y=1m ； q=0 w/m2 y=1m ； T=300 K
（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为 步长对其进行网格划分。 （3）输入已知的参数并设定边界条件
对边界条件进行设定
输入已知参数
（4）进行运算并对结果进行分析
(a)
(b)
由（a） （b）两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分 （一般取中心差分，更为精确） 一阶导数的中心差分：
泰 勒 级 数 展 开 法
二阶导数的中心差分 ：
代入
由于该矩形网格为均分网格，因此 ∆x=∆y，则有：
百度文库
对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数 方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方 程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。
C p z
T k z 2T 2Qc 2Qr 0 t
其中ρ为薄板材料的密度，Cp为比热，δz为薄板的厚度，k为导热系 数，Qc为对流换热量，Qr为辐射换热量
Qc hc (T Ta )
Qr (T 4 Ta )
4
C p z
T 4 k z 2T 2hcT 2 T 4 2hcTa 2 Ta t
热 平 衡 法
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量
(C)
热 平 衡 法
以二维稳态无内热源、矩形均分下 的温度场为例，利用用热平衡法对 内节点 ( i , j ) 建立离散方程 。
代入热平衡方 程(C)，由于 ∆x=∆y
建 立 节 点 离 散 方 程 注 意 的 问 题
（a）稳态时薄板温度沿Y方向的变化曲线
（b）非稳态下薄板顶部温度随时间的变化曲线
（a)稳态下薄板内的温度分布
(b)非稳态下5000秒后薄板内的温度分布
结果分析：非稳态下5000秒后薄板内的温度分布与稳态下薄板内的温度 分布基本接近，这是由于非稳态热传导最初要经过非正规状态阶段 ，最 后进入正规状态阶段并逐渐达到动态平衡。
上述例子以二维稳态无内热源矩形等分下的温度场为基础，展示了两种 方法的使用，而实际情况较为复杂。尤其在对非稳态的温度场的节点建立 离散方程时，不仅涉及到空间区域的离散化，还有时间区域的离散化。 优点：计算工作量小 显式格式 非稳态导热 节点离散化 隐式格式 缺点：对步长有一定限制 优点：步长无限制 缺点：计算工作量大
4.迭代计算
常用的迭代方法：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代 、块迭代 、松弛迭代法、梯度法、交替方向迭代等. 以高斯赛德尔迭代为例，其迭代步骤如下： （1）将已建立的离散方程组改写成合适的迭代形式。
（2）设立迭代初值，利用迭代公式逐一计算每个节点的改进值。（每次 迭代均用 t 的最新值代入） （3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之 差小于允许值，此时达到迭代收敛，迭代终止计算
有限差分法在求解导热微分方程中的应用
有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程 。
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法 是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离 散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定 解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散 点处的待求函数值——离散解。
计算实例
一铜制薄板，长宽均为1m，厚度为1cm，底部边缘温度始终 保持在1000K，其余三个边缘的无热量传输，薄板的两个表面通 过对流和辐射换热与环境进行热量交换，分别在稳态和非稳态情 况下对薄板的温度分布进行分析。（环境温度为300K) 求解： (1) 建立控制方程和边界条件：由于薄板的厚度相对其整体尺寸很小，可认 为在厚度方向上温度不发生变化，因此问题可简化为二维问题。根据能量 守恒可列出控制方程：