物理方程矩阵式

y
j
（2-1）
j
·
qs
i
y
qV
·
m
i
m
x
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
qVx T {qV } [qVx qVy ] qVy
（2-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u
y
i m
]T
y
m
（2-3）
·u
v
j
i
·
x
j
x
图2-1
4、单元内任意点的应变列阵
ui v i u j vj um vm
Fxi F yi Fxj F Fyj Fxm Fym
F k
第二章
单元分析
（2-11）
本问题选位移函数为：
y
vi
i
vm
m
um
v u j
u a1 a2 x a3 y
式中:
a4 a5 x a6 y
（2-12）
vj uj x
·
ui
a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的6个分量确定。 式（2-12）位移函数中，a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、
a5 、 a6 代表单元中有常应变，且位移函数是连续函数。
{ } [ x y xy ]T
（2-4）
5、单元内任意点的应力列阵
{ } [ x y xy ]T
y
i m
（2-5）
· 6、几何方程列阵
j
x
u v u v x , y , xy x y y x
将上式代入式（2-4）
③
① ②
④
5 ⑦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⑧ ⑥
9
6
7
8⑤
z x
○ ○ ○ ○ ○ ○
y
○ ○
② uy
ux uz
○ ○
（2）从结构中取出单元，进行单元分析
2 ②
2
3 5 ⑦ 6
杆件单元
板单元
ui v i w j u j vj w j
Fxi F yi Fzi F Fxj Fyj Fzj
有限元思路框图
离散（剖分）结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e 形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 形成等价节点荷载{P} )
解综合方程[K]{⊿}= {P}
求结构节点位移{⊿} 计算结构内力和应力
（1）剖分结构时应对单元、节点分别用连续正整数编号。
1 4 2 3
{ i } [ui
y vi
i
vm
m
um
j
vj
uj
ui
x
图2-2
i ]T
(i, j, m) （2-10）
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序），共有6 个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：
i T { } j [ui i u j j um m ] m
结点 位移
(1)
单元内部 结点力 单元应 单元应 各点位移 (2) (3) 变 力 (4)
位移协调 模式
几何方 程 单元分析
物理方 程
平衡方程 边界条件
单元刚度矩阵
单元分析的内容
2.1 基本力学量矩阵 1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
qsx {qs } [qsx qsy ]T qsy
情。有限单元法中当单元划分得足够小时，把位移函数设
定为简单的多项式也可得到相当精确的结果。这正是有限
单元法具有的重要优势之一。
2、位移函数设定举例 不同类型结构会有不同的位移函数。这里，仍以平面 问题三角形单元（图2-2）为例，说明设定位移函数的有 关问题。 图 2-2 是一个三节点三角形单 元，其节点 i 、 j 、 m 按逆时针方 向排列。每个节点位移在单元平 面内有两个分量：
u { } x y
{ } [ x y xy ]T （2-4）
u y x
T
（2-6）
7、物理方程矩阵式 对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形式可 表示为：
x E y 2 1 xy 1 0 对 x 1 称 y 1 xy 0 2
（2-7）
式中 E、——弹性模量、泊松比。
上式可简写为
{ } [ D]{ }
（2-8）
其中:
1 E [ D] 2 1 0
对 1 称 1 0 2
（2-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。式（2-9）给出的弹性矩阵 [D]的矩 阵元素是按照平面应力问题的物理方程得出的； 对于平面应变问题，需将式（2-9）中的 E 换为 换为
——平面问题常应变单元
本章主要讲单元分析的一般理论、方法。但为了便 于理解，以平面问题常应变三角形单元为对象进行说明、 演引。必须指出：尽管说明、演引中具有明显的针对性 （平面问题三角形单元），但原理、方法和主要矩阵公 式都具有普遍性。
在用矩阵描述单元各种力学量时，不同性质单元的 同一力学量可采用相同的矩阵符号，不同的仅仅是矩阵 体积和矩阵元素。
位移协调 模式
几何方 程 单元分析
物理方 程
平衡方程 边界条件
单元刚度矩阵
单元分析的内容
2.2
位移函数和形函数
1、位移函数概念 “位移函数”也称 “位移模式”，是单元内部位移 变化的数学表达式，是坐标的函数。有限元法采用能量原 理进行单元分析，因而必须事先给出（设定）位移函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的 精度。弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事

1
E 1 2
，
。
{ } [ D]{ }
（2-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式（ 2-8）描述。 但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
？
结点 位移
(1)
单元内部 结点力 单元应 单元应 各点位移 (2) (3) 变 力 (4)