最新数学常见几何辅助线
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数学常见几何辅助线作法
史国彦
___________________________ _______________________
初中数学常见几何辅助线作法歌诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线加一倍。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 等积式子比例换，寻找相似很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，弦高公式是关键。
C
M
N
D
___________________________ _______________________
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
___________________________ _______________________
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
1.连结AC
D
2.连结BD
构造全等三角形
构造两个等腰三角形
___________________________ _______________________
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
来自百度文库
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
___________________________ _______________________
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
1.AD是△ABC的中线求 ， 证 A： D 1(AB AC ) 2
延长AD到点E，使DE=AE，
A
连结CE.
C B
D
___________________________
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C
D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
___________________________ _______________________
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平 分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
___________________________ _______________________
Ⅳ.中线延长一倍
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
___________________________ _______________________
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平 分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
___________________________ _______________________
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
___________________________ _______________________
___________________________ _______________________
半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
___________________________ _______________________
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
___________________________ _______________________
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
___________________________ _______________________
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
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史国彦
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初中数学常见几何辅助线作法歌诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线加一倍。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 等积式子比例换，寻找相似很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，弦高公式是关键。
C
M
N
D
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Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
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Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
1.连结AC
D
2.连结BD
构造全等三角形
构造两个等腰三角形
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Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
来自百度文库
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
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Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
1.AD是△ABC的中线求 ， 证 A： D 1(AB AC ) 2
延长AD到点E，使DE=AE，
A
连结CE.
C B
D
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典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C
D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
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Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平 分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
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Ⅳ.中线延长一倍
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
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Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平 分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
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Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
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半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
___________________________ _______________________
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
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Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
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Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
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