拉格朗日松弛算法求解组合优化问题
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T T T z ( ) min( c A ) x b 证明: LR xQ
1 Con(Q) {P i P | R , i 1} i i i i
显然Con(Q)为凸集.
定理7.2.2
若拉格朗日对偶问题的目标值有限,则
zLD min{cT x | Ax b, x Con(Q)}
n 其中：Q {x | Bx d , x Z }
基本原理: 将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,并保持目标函数的线性,使问题 容易求解.
Q:为什么对此类方法感兴趣? A: (1). 在一些组合优化中,若在原问题中减 少一些约束,则使得问题求解难度大大降 低.(我们把这类约束称为难约束). (2). 实际的计算表明此种方法所得到的结 果相当不错.
(1)可行解区域兼容: S S R
(2)目标函数兼容: c x zR ( x),
T
x S
其中, S 为7.1.1的可行域.
例7.1.1 set covering problem Leabharlann Baidu题描述: 设 A (aij )mn,所有 aij {0,1} ,且每一列对应一 个费用 c j ( j 1 n), aij 1 表示第j列覆盖第i行,要求在 最小的费用下选择一些列,使其覆盖所有的行.
拉 格 朗 日 松 弛
LR :
SLR {x Z | Bx d}
n
Z LR ( ) min{cT x T (b Ax)} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z .
定理7.2.1 LR同下整数规划问题(7.2.1)有相同 的复杂性,且若IP可行解非空，则:
代替(7.1.1)中的 K 个约束 n
a
j 1
ik j
x j bik , k 1
m
K
极端情况可以用一个代替全部
( a
j 1 k 1
n
i j
) x j bi
k 1
m
注: 代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变, 显然,由代理松弛法求得的解不一定可行
例4. 拉格朗日松弛方法
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
定义7.2.1 若 x, y D ,满足以下条件,则称D为凸集.
x (1 ) y D,0 1
},其凸包 对于离散点集 Q {P i | i 1, 2, 定义为:
0, zLR ( ) zIP
min cT x s.t.Bx d
n x Z
(7.2.1)
证明:
LR :
IP :
Z LR ( ) min{(cT T A) x T b} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z . Z IP min cT x Ax b, (难约束) s.t. Bx d（简单约束） , n x Z .
n zsc min c j x j j 1 n s.t. ai j x j 1, i 1 m j 1 x {0,1}, j 1 n j n m n z LRSC min{ c j x j i (1 aij x j )} j 1 i 1 j 1 j 1 n s.t.x j {0,1}, 0
基于数学规划: 分支定界法、割平 面法、线性规划松弛再对目标函 数可行化等的目标值。 现代优化算法：禁忌搜索法、模 拟退火法、遗传算法、蚁群算法 等的目标值。 其它算法：分解法、组合算法等的 目标值。 下界算法：线性规划松弛、拉格朗 日松弛等的目标值。
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛: Z LP min cT x 7.1.2 Ax b, s.t. n x R .
( SC )
松弛问题:
( LRSC )
松弛模型:
( LRSC )
n m zLRSC min d j x j i j 1 i 1 j 1 n s.t.x j {0,1}, 0
d j c j i aij
i 1
m
以上问题很容易求得最优解
1, x* 0,
dj 0 other
7.2
IP :
拉格朗日松弛理论
Z IP min c x
T
s.t.
Ax b, (难约束) Bx d（简单约束） , n x Z .
n S {x Z | Ax b, Bx d}
原 整 数 规 划 问 题
7.1 基于规划论的松弛方法
整数规划模型:
Z IP min cT x Ax b, s.t. n x Z .
7.1.1
松弛的定义（7.1.1）: 问题 RP :
Z R min zR ( x)
xSR
满足下列性质时,称为7.1.1的一个松弛(relaxation).
注: 1. 定理7.1.1: ZLP ZIP 2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形. 3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
例2: 对偶规划松弛方法: 7.1.2的对偶形式为:
Z DP max y b T A y c, s.t. n y R .
T
7.1.3
其中Y为决策变量.
注: 由对偶理论知,7.1.2和7.1.3有相同的最优值,
至于采用其中的哪个模型求解7.1.1的下界, 需比较哪个计算简单.
例3. 代理松弛法:
当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束
n K K
( a
j 1 k 1
ik j
) x j bik
k 1
1 Con(Q) {P i P | R , i 1} i i i i
显然Con(Q)为凸集.
定理7.2.2
若拉格朗日对偶问题的目标值有限,则
zLD min{cT x | Ax b, x Con(Q)}
n 其中：Q {x | Bx d , x Z }
基本原理: 将目标函数中造成问题难的约束吸 收到目标函数中,并保持目标函数的线性,使问题 容易求解.
Q:为什么对此类方法感兴趣? A: (1). 在一些组合优化中,若在原问题中减 少一些约束,则使得问题求解难度大大降 低.(我们把这类约束称为难约束). (2). 实际的计算表明此种方法所得到的结 果相当不错.
(1)可行解区域兼容: S S R
(2)目标函数兼容: c x zR ( x),
T
x S
其中, S 为7.1.1的可行域.
例7.1.1 set covering problem Leabharlann Baidu题描述: 设 A (aij )mn,所有 aij {0,1} ,且每一列对应一 个费用 c j ( j 1 n), aij 1 表示第j列覆盖第i行,要求在 最小的费用下选择一些列,使其覆盖所有的行.
拉 格 朗 日 松 弛
LR :
SLR {x Z | Bx d}
n
Z LR ( ) min{cT x T (b Ax)} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z .
定理7.2.1 LR同下整数规划问题(7.2.1)有相同 的复杂性,且若IP可行解非空，则:
代替(7.1.1)中的 K 个约束 n
a
j 1
ik j
x j bik , k 1
m
K
极端情况可以用一个代替全部
( a
j 1 k 1
n
i j
) x j bi
k 1
m
注: 代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变, 显然,由代理松弛法求得的解不一定可行
例4. 拉格朗日松弛方法
注:定理7.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下 界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:
( LD) z LD max{z LR ( )}
0
定义7.2.1 若 x, y D ,满足以下条件,则称D为凸集.
x (1 ) y D,0 1
},其凸包 对于离散点集 Q {P i | i 1, 2, 定义为:
0, zLR ( ) zIP
min cT x s.t.Bx d
n x Z
(7.2.1)
证明:
LR :
IP :
Z LR ( ) min{(cT T A) x T b} Bx d（简单约束） , s.t. n x Z . Z IP min cT x Ax b, (难约束) s.t. Bx d（简单约束） , n x Z .
n zsc min c j x j j 1 n s.t. ai j x j 1, i 1 m j 1 x {0,1}, j 1 n j n m n z LRSC min{ c j x j i (1 aij x j )} j 1 i 1 j 1 j 1 n s.t.x j {0,1}, 0
基于数学规划: 分支定界法、割平 面法、线性规划松弛再对目标函 数可行化等的目标值。 现代优化算法：禁忌搜索法、模 拟退火法、遗传算法、蚁群算法 等的目标值。 其它算法：分解法、组合算法等的 目标值。 下界算法：线性规划松弛、拉格朗 日松弛等的目标值。
目 标 值
最优值
例子1: 线性规划松弛: 在7.1.1中,将整数约束松弛 为实数, 称其为7.1.1的线性规划松弛: Z LP min cT x 7.1.2 Ax b, s.t. n x R .
( SC )
松弛问题:
( LRSC )
松弛模型:
( LRSC )
n m zLRSC min d j x j i j 1 i 1 j 1 n s.t.x j {0,1}, 0
d j c j i aij
i 1
m
以上问题很容易求得最优解
1, x* 0,
dj 0 other
7.2
IP :
拉格朗日松弛理论
Z IP min c x
T
s.t.
Ax b, (难约束) Bx d（简单约束） , n x Z .
n S {x Z | Ax b, Bx d}
原 整 数 规 划 问 题
7.1 基于规划论的松弛方法
整数规划模型:
Z IP min cT x Ax b, s.t. n x Z .
7.1.1
松弛的定义（7.1.1）: 问题 RP :
Z R min zR ( x)
xSR
满足下列性质时,称为7.1.1的一个松弛(relaxation).
注: 1. 定理7.1.1: ZLP ZIP 2. 此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为 较大整数的情形. 3. 此类算法分两阶段: 第一阶段为求松弛后线 性规划问题的最优解; 第二阶段为将解整数化, 并考虑可行性.
例2: 对偶规划松弛方法: 7.1.2的对偶形式为:
Z DP max y b T A y c, s.t. n y R .
T
7.1.3
其中Y为决策变量.
注: 由对偶理论知,7.1.2和7.1.3有相同的最优值,
至于采用其中的哪个模型求解7.1.1的下界, 需比较哪个计算简单.
例3. 代理松弛法:
当(7.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束
n K K
( a
j 1 k 1
ik j
) x j bik
k 1