平面图

n 7 3) (K n ) , n 3.[x]是x的整数部分 6
平面图的几何对偶图（补充）
• 设G*是平面图G的对偶图，G*如下构造： G的平面嵌入G’的面集F是G*的顶点集合， 仅当G‘中的两个面有公共边的时候， 在G* 中对应的两个点连边。 若e是G’的桥，即 G’-e不连通，则在G*上画环，此环与e所在 的面对应的G*的顶相关联。 若平面图与对 偶图同构，称G为自对偶图。 • 见p65习题5，6.
平面图的Euler公式
• 定理：（Euler公式） 设G 是具有 n 个点m 条边r个面的连通平面图，则有 n – m + r =2
证明：对 r 用归纳法。 当r =1时 ，G 无圈又连通，从而是树，有 n =m+1，于是 n -m+r =（m+1）- m + 1= 2。
归纳假设：设r=k的连通平面图满足n-m+r=2. 设G是任意一个r=k+1的连通平面图。 当 r = k+1 时，此时 G 至少两个面，从而有圈 C。 删去 C 中一条边，记所得之图为 G ’ 。并设 G ’ 的点数、边数和面数依次为 n’ , m’ 和 r’, 易知 G ’ 仍连通，但只有 k 个面，由归纳假设有 n’ - m’ + r’ = 2。又因为n’ = n ， m’ = m - 1， r’ = r – 1， 所以有n -（m-1）+（r -1）= 2
平面图的Euler公式
问题1： 树是特殊的平面图。 树的顶点数，边数之 间有关系，而树的面数就是1. 它们能满足 n-m+r=2, 是否对一般的平面图也满足这个关系
问题2：如果一个平面图有不同的平面嵌入， 不同 的平面嵌入面数是否一样呢？（面数是平面图的最 重要的特征之一） • 下面的定理就回答了这个问题。
• 而n_1+…+n_k=n, m_1+…+m_k=m, • r_1+…+r_k=r+(k-1),理由是对每个连通分支 的外部面来说，对G只有一个外部面， 也 就是被重复多算了k-1次。 • 因此 n-m+r=k+1
定理：设 G 是具有n 个点的连通平面图,Ψ是 G 中所有面的集合，若对 任意的 f ∈Ψ 均 有 deg( f )≥l ≥3，则 m l (n - 2) l-2
• 定理： 设G 是有k(k大于等于2）个连通分 支的平面图， 各面的次数至少是l(l>=3)， 则边数m与顶点数n有如下关系 • m l (n _ K-1 ) l-2
推论：G是n（>=3)阶m条边的简单平面图， 则m<=3n-6. 证明(1)G是连通图： 由于G是简单平面图， 又n>=3,显然对每个面 f,都有d(f)>=3. 由公式 • 2m=\sum d(f)>=3r 又由欧拉公式得到 • n-m+r=2即 3n-3m+3r=6 于是 • 3n-6>=m
可平面嵌入和可球面嵌入等价
定理： 图G可平面嵌入的充要条件是G可球面嵌入。
证明：考虑球极平面投影，球面S与平面P相切， 过切点的直径的另外一段为Z,定义映射 f: SP 设p是平面P上的点， s是球面S上的点， 仅当z ,s, p三点共线的时候有f(s)=p, f(z)=无穷远。 f是可逆映 射.
定义：若图 G 可画在一个平面上使除顶点外边不交 叉，则称 G 可嵌入平面，或称 G 为可平面图。可平 面图 G 的边不交叉的一种画法称为 G 的一个平面嵌 入，G 的平面嵌入表示的图称为平面图。 例：
=
平面图 可平面图
=
不可平面图 可平面图
不可平面图
（1） G是非连通图，每个连通分支可嵌入平面，G 称为可平面图。反之，不然。 （2）若G是连通图， 但G有割点，从割点处割开， 每个小块是可平面，G就是可平面的。反之， 不然。 因此一般情况下讨论连通度大于2的情形。 （3）若G是一个平面图， G的任何一个子图都是平 面图。
因此, 可平面图只需要讨论2-连通图.
定义： 设G 是一个平面图，G 将所嵌入的平面划分 为若干个区域，每个区域的内部连同边界称为 G 的 面，无界的区域称为外部面或无限面。每个平面图 有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一个面，构成 f 的边界的边数（割边计算两次）称为 f 的次数，记 为 deg(f )。
证明：由于面的次数不少于l, 也就是每个面的周界所含的边 数不少于l,则面边结合图的总的边数至少是rl,也就是面的 次数之和至少是rl,而平面图的面数之和为2m， 所以 rl<=2m 带入欧拉公式得结论。
注意：这个定理可以用来判断某些图不是平 面图。
例：证明 K5 和 K 3,3 是不可平面图。
证明：若 K5 是可平面图，则因 K5Biblioteka Baidu是至少三个点的简单图，由 推论，K5 应满足 m≤3n -6。而 K5 中 m=10， n = 5，代入不等 式得 10≤3×5 – 6 = 9 矛盾，所以 K5 是不可平面图。
相加为22，正好是 边数11的2倍
图不连通，其外部面的次数为5
定理：设具有m 条边的平面图G 的所有面的集合为 Ψ, 则
deg( f ) = 2m
f Y
证明 任取G 的一条边 e 。若 e 是两个面的公共边， 则在计算面的次数时，e 被计算两次。若 e 不是公 共边，则 e 是 G 的割边，由面的次数的定义，e 也 被计算两次。所以所有面的次数之和是边数的 2倍， 即结论成立。
• 对一般图， 厚度如何求是一个尚未解决的 问题，至今既未给出计算厚度的公式， 亦 未建立有效的算法。 对于厚度下界的估计 有下面的定理。
• 定理： 如 (G) 代表G的厚度，则
m 1) (G) , n 2, x是x的整数部分加1 3 n 6
m 2) 连通图G中无三阶圈，则 (G) , n 2 2n - 4
若G’是图G在S上的嵌入，不妨设Z不在G’的边 和顶点上， 由f的性质， G’在平面上的像即为G在 P上的嵌入。 反之，若G”是图G在平面P上的嵌入， 则由f的 性质， G”在S上的原像即为图G在S上的嵌入。
注意:
• 一个图可嵌入平面的充分必要条件是每个 连通分支可嵌入平面 • 如一个连通图有割点, 这从割点切开得到的 图是可嵌入的,则这个图是可平面的, 否则不 可平面
必要性：
推论：平面图G 是极大平面图的充分必要条件是 m=3n-6.
定理2: 设G是顶点数大于等于4的极大可平面图, 则 G的最小度数大于等于3. 证明：任取G中一个点v， 由于G是平面图， 则G-v 也是平面图。 设G’是G的平面嵌入，则v在G’的位置 必在G’-v的某个面f’的内部. 又G是极大平面图，f’的 边界上至少有三个顶点，且这些点必须与v都相邻， 故d(v)大于等于3. 由v的任意性知，G的最小度数至 少是3.
平面图的厚度
• 定义： 如果一个图不是平面图， 我们可以把它的 边嵌入到几个平面，使得每个平面上的边不交叉， 即把图的边集划分成 t
E (G) = Ei , Ei E j = , i j
i =1
且每个边导出的子图 G[ Ei ], i = 1,2,..,t 皆为平面图， t的最小值称为图G的厚度。 • 平面图的厚度为1. 非平面图，其厚度最少为2. 单 星妖怪的厚度为2. 其外面的五角星和连接内面五 角星的边成一平面图， 内五角星成一平面图。
• lr=2m, r=2m/n • 有公式 n-m+r=2,解得 • m=l(n-2)/(l-2)
极大平面图
定义: 一个图G是连通的可平面图,但任意不相 邻的两个顶点间加一条边都不可平面的, 则称 这个图是极大可平面图.
定理:设G是极大可平面图, 则G的每个面都是 一个三角形.
性质1： G是连通的 性质2： G不存在割边 性质3：设G为n（n3）阶极大平面图，则G的每个 面的次数均为3. 证明：充分性：设G’是G的平面嵌入， 且每个面皆3 次， 由公式所有的面的次数之和=2m, 则3r=2m,由 欧拉公式n-m+r=2, 则m=3n-6. 而平面图的边的上界 是3n-6,G’的边已经达到上界， 故G是极大平面图。
可平面图的判断
• 由于我们已经知道K5 和K3,3都不是平面图， 我们把它们的边的内点处添加一些新的点， 这些得到的图仍然不是平面图。 • 我们称这样得到的图是原来图的同胚图。 • 如果一个图含有一个与K5 或K3,3的同胚子图， 则这个图一定不是平面图。 • 问题是：这是不是必要条件呢？
• 定义: 在一个图的任意一边的中间加上一个 新点, 将原来的一条边变成两条边, 这样得 到的图叫原来图的细分. 如果两个图可由同 一个图细分得到, 称这两个图同胚. • 判定定理: G是可平面的当且仅当G中不含 与K5 和K3,3 同胚的子图. • 判定定理2： G为平面图的充要条件是G中 无可收缩成K5 或K3,3的子图。
（2） G有k个连通分支，对每个连通分支用 （1）的结果，然后推出m<=3n-6
定理：若 G 是简单平面图，则δ≤5. 证明
对点数 n =1，2，直接验证可知结论成立。
设n ≥3，若 δ≥6，则
6n
n V ( G )
d ( v ) = 2m

m ＞ 3n - 6
这与推论矛盾。 所以δ≤5。
平面图
问题：假定有三个仓库 x1，x2，x3 和三个车站 y1，y2，y3。 为了便于货物运输，准备在仓库与车站间修筑铁路，如 图(a) 所示, 其中边代表铁路。问是否存在一种使铁路不 交叉的路线设计方案，以避免修建立交桥。
x1 x2 x3 x1 x2 x3
?
y1 y2 y3
y1 y2 y3 但如果在 x2 与y1 之间也要修一条铁路，则可验证满足要求 的方案不存在。
对 K 3,3，因 K 3,3 没有长小于4的圈，所以若 K 3,3 是可平面图， 则对其相应的平面图中每个面的次数至少为4。由定理，K 3,3 应满足 l = 4 的不等式即 4 n n m≤ 4 （ 2 -2）=2 - 4 而K 3,3中m = 9， n = 6，代入上式得: 9≤2×6-4 = 8 矛盾，所以 K 3,3 是不可平面图。
例：设G是连通平面图，且它的每个面都为一个 l(l>=3)阶圈，则 m=l(n-2)/(l-2). 证明： 必须先证明：每条边均在两个面的公共边上。 反证：如G有一条边不是两个面的公共边， 则这条 边必不在回路上。于是它所在面不是由圈组成， 而 是由闭迹组成，矛盾。 由于G的的每个面均是l阶圈，而G的每个面均在两 个面上， 于是
• 如果两个面有共同的边界， 称这两个面相 邻。如果边不是割边， 它一定是某两个面 的共同边界。
例： f f
1
f
f
3
5
deg(f1) =1 deg(f2) =2
2
f
4
有5个面：f1，f2，f3，f4，f5 （ f5 为外部面）
deg(f3) = 3 deg(f4) = 6 deg(f5)= 10
定理2： 对具有k个连通分支的平面图G,有 n-m+r=k+1 证明：假设平面图G的k个连通分支G_i的顶 点数，边数，面数分别为n_i,m_i, r_i,i=1,2,…,k. 根据定理1 有n_i-m_i+r_i=2 , 则 (n_1+n_2+…+n+k)(m_1+…+m_k)+(r_1+…+r_k)=2k