有限元课程设计

《有限元法》课程设计报告

班级：10级工程力学2班

姓名：刘海波

学号：1002060221

指导教师：谢献忠

湖南科技大学土木工程学院

2013年 6月 12日

（一）问题描述

题2：图示薄板左边固定，右边受均布压力P=100Kn/m 作用，板厚度为0.3cm ；试采用如下方案，对其进行有限元分析，并对结果进行比较。

1） 三节点常应变单元；（2个和200个单元） 2） 四节点矩形单元；（1个和50个单元）

（二）有限元计算模型

因为该题荷载和边界都关于横向对称，故从中间取一半

进行分析。网格划分方案如下图所示，将作用在单元上的均布载荷按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。因取一半，故下方需在节点位置加上竖向链杆支座。

4

（三）基本理论

1.三角形单元的线性位移模式

单元应变矩阵

对于平面应力问题，弹性矩阵[D ]为

y

x v y

x u 6

54321αααααα++=++={}⎪⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=x v y u y v x u xy y x ∂∂∂∂∂∂∂∂γεεε[][]m j i B B B B ={}[][]{}

e

B D δσ=[][][]

B D S =[]⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡--=210

011

12μμ

μ称对E D []⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡∆=i i i i i b c c b B 0

021

总刚方程 [K ]{δ}={R } 2.矩形单元

位移模式

单元刚度矩阵

如果单元厚度t 是常量，则

[]()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=ηηξξξηξξηηηξ∂ξ∂∂η∂∂η∂∂ξ∂i i i i i i i i i i i i i b a a b ab N b N a N a N b ab B 111001410

01[][][][]⎰⎰=tdxdy B D B k T

e [][][]⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mm mj mi jm jj ji im ij ii m j i T m T j T i e

k k k k k k k k k t B B B D B B B k {}{}⎰⎰⎰****++=tdxdy p f tds q f G f R T

T T c e T e }{}{}{}{}{)}({δξηαηαξααξηαηαξαα8

7

6

5

4

3

2

1

+++=+++=v u {

}[]{}e

B B B B δε4321=[]⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4443

42

41

3433323124232221

14131211k k k k k k k k k k k k k k k k k [][][][]⎰⎰=tdxdy

B D B k j

T

i

ij

[][][]()

⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+

⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

=⎰⎰--j i j i j i j i j i j i j

i j i j i j i j i j i j

T

i

ij

a b b a b a a b Et d d S B tab k ηηξξμξξηηηξμξμηξημ

ημξξξηημηηξξμη

ξ311213112121311213111421

11

1

（四）计算结果及分析

两单元的计算结果及200单元的计算结果见Matlab中

每个单元的应变

2单元的应力δxδy Τxy sigm =

1.0e+009 *

0.0605 -0.3760

0.2419 1.1627

-0.4013 -0.2759

100单元的位移分析：（放大1000倍后）结果数据过多，见matlab

矩形单元也进行了分析

放大1000倍的变形位移ans = -0.0000 0.0000

-0.0511 0.0112

-0.0000 0.0000

-0.0468 -0.0000

-0.0000 -0.0000

-0.0511 -0.0112

(五)多方案计算比较

取一半分析时，是三角形单元，2单元的没有100个单元的精度高,网格划分越多，结果也越精确，矩形双线性单元比三角形单元具有更高的精度。从定性分析来看，编程结果也基本符合实际物体受力。

（六）建议与体会

经过这些天的编程，我学到了很多关于matlab的技巧，对有限元也有了进一步的理解，当把所学的用程序表达出来时，虽然在所学过程中遇到了困难，花费了不少时间，当看到最后的编程成果时，内心还是充满了成就感的，这些天的编程使我对三角形单元有了熟练