小学六年级奥数专题训练

小学六年级奥数专题训练：博弈问题1

2012-08-10 15:10 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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例1：一个木盒中有101个塑料球，甲乙两人轮流从中取球，但每人每次只能从中取走1个球或2个球，谁能先取得木盒中最后一个球就谁胜。

例2：有两堆相等的棋子，甲乙两人轮流在其中任意一堆里取，多取不限制，但是不能不取。谁取到最后一枚棋子为胜。如果甲先取，他一定能获胜吗？

例3：在一张有40个小方格的棋盘上（如图1），甲持黑子置于A处，乙持白子置于B 处，随后两人轮流走，每次可沿一条横线或一条纵线至少走一格，并要遵守如下规则：

（1）不可和对方的棋子处在同一条线上；

（2）走时不能越过对方所在棋子的线。轮到谁无路可走就算失败。怎样才能取胜？

例4：甲乙两人轮流地往一张圆桌面上放一枚伍分硬币，规定任何硬币不能重叠。谁放完一枚之后而使得对方无法再往桌子面上放硬币时，谁就是胜利者。

设想甲放第一枚硬币，问：甲有没有一种稳操胜券的策略？

1、两人轮流从1开始，依次报数，每人每次只能报1个数或2个数，谁先报到30获胜。

怎样才能取胜？

2、有200枚棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取1枚或2枚，取到最后1枚的为胜。

必胜的策略是什么？

3、黑板上有一排数：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20

甲乙两人轮流划掉任意相邻的两个数。如果甲划过之后乙再也划不成了，甲就算胜了。

甲有必胜的方法吗？

4、有1996个球，甲乙两人进行取球比赛，规则是两人轮流取，每人每次最少取1个，

最多取4个，取到最后一个球的人为胜。如果甲先取，如何取法才能保证取胜？

5、有三行棋子如图两人轮流取，每人每次必须在同一

行中至少取走1枚，谁最后取完为胜。试问：要想获

胜应先取还是后取？

6、一盘糖果，一共有1997粒，两人轮流从中取糖果，每次最多取7粒，可以少取，但

不能不取，取得最后一粒糖果为胜，是先取者胜，还是后取者胜？怎样取法才能保证获胜？

小学六年级奥数专题训练：博弈问题2

2012-08-10 15:09 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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【1】有1001根火柴放在盒子里，甲、乙两人轮流各取1根或2根，取到最后一根者为胜。必胜的最佳对策是什么？

【2】在黑板上写下一列连续的自然数：2、3、4、…、1999、2000，甲先擦去其中一个数，然后乙再擦去一个数。如此轮流地擦下去。若最后剩下两个质数时，甲取胜；若最后剩下两个数不互质时，乙取胜。这个游戏中谁取胜的可能性最大？

【3】两人轮流在圆桌面上摆硬币，每次摆一枚，各个不能互相重叠，也不能有一部分在桌面的边缘以外。这样经过反复多次以后，谁先摆不下硬币就算输。谁有必胜的策略？取胜的策略是什么？

【4】请你参加一种游戏：有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中2个、4个或8个，谁最后把棋子取完，就算获胜。如果你先取，那么第一次你取多少个？先取的人有一个必胜的方法，如果你已想出这个办法，请写出来。

【5】桌子上有a颗棋子，甲、乙两人轮流拿棋子，他们规定：假如甲先拿，可以拿任意颗棋子，但不能拿光。接着乙拿，乙拿的棋子数最多只能比甲拿的多一个。接着甲拿，最多只能比乙刚才拿的数目多一个。接着乙拿，最多只能比甲刚才拿的数目多一个。如此下去，最后一步谁把棋子拿光就算胜者。

【6】两人按自然数轮流报数，每人每次只能报1或2个数，比如第1个人可以报1，第2个人可以报2或2、3；第1个人也可以报1、2，第2个人可以报3或3、4，这样继续下去，谁报到30，谁就胜。请问谁有必胜的策略？

【7】甲、乙两人在计算机上玩如下游戏，两人轮流从数中减去该数的一个非零数字得一个数，然后再从新数中减去它的一个非零整数，重复以上过程直至一人无数可减时，则此人为负，试，最终是先开始游戏的人获胜还是后开始的人获胜？有无必胜的对策？

【8】n个“一”排成一行，甲、乙轮流改写“－”为“＋”，每次只准改一个或相邻的两个，先得全部“＋”者胜，若甲先改，请问甲是否有必胜的策略？

【9】m、n是自然数，甲、乙二人轮番在m×n的方棋盘的每个格内放棋子，甲先放第一个棋子，乙只能在与上述棋子相邻的某格内放棋子（相邻格指有一条公共边的两个格），甲再放时又必须在与乙所放的棋子相邻的某格内放棋子，以后轮番放棋子时也遵守这个规则，谁无法放棋子时谁失败，为避免失误，你愿意先放还是后放？

【10】在n×n的方格盘中，把其中n－1个方格染成黑色，其余中不染色，染完后，允许按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，规则是：只要是某个未染色的方格与两个黑色方格相邻（如果两个方格有一条公共边，就称这两个方格相邻），就把这个方格染黑，证明：按照这种规则操作下去，不能把整个棋盘全染成黑色。

小学六年级奥数专题训练：博弈问题3

2012-08-10 15:06 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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例1 100名同学按编号1~100号从右到左顺次排成一行，然后“1、2”报数，凡是报1的就出队，剩下的50人向右看齐再从头开始1、2报数，报1的再出队……这样继续下去，问报了几轮后只留下1人，他是几号？规定从排头报到尾算一轮。

练习：

1．甲、乙两人轮流报数，必须报大于6的自然数，把两个人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜，如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？

2. 将例１中的100人改成３０人，最后站出来的人是第几号？如果是１９９４人，最后站出来的人是第几号？

例2 将例1中的“1、2”报数改为“1、2、3”报数，凡报1、2的出队，问站在哪号位置上最后一个出队？

练习：１９９１名同学从左到右按编号从１到１９９１排成一排，然后从左到右１～３报数，凡报２的同学留下，其余的同学都离开；留下的同学按原顺序向左看齐后再１～３报数，凡报２的同学留下，其余的同学都离开。……直到留下的同学的人数比３少为止。问最后留下的同学原是多少号？

例3 将例1中凡报1的出队，改为报2的出队，直到留下两个人为止，问这两个人的号码是多少？

例4 哥哥拿着一副扑克牌对妹妹说：“我会变魔术，你想要哪张牌我就给你剩下哪张牌”。妹妹说：“我要大王”。哥哥洗好牌后让妹妹从下往上取出所有第奇数张牌，取完后哥哥手里还剩下27张牌，规定从下取到上算一轮；哥哥又让妹妹从下往上取出手里牌的第奇数张牌……，这样继续下去，经过几轮后哥哥手里只剩下一张牌，妹妹一看果然是大王，你能帮妹妹算一算一共进行了几轮吗？开始时哥哥把大王放在了从上往下数的第几张？3轮后还剩下几张牌？

例5 植树节到了，老师要从二（1）班的45名同学中抽取若干人去平谷山区植树。老师让这45名同学从左到右排成一排1、2、3报数，凡是报1的同学向前走1 步；报3的同学向后退一步；报2的同学原地不动。这时全班45名同学由1行变成了3行，老师又要这3行同学从左到右1、2、3报数。老师最后说：“在两次报数中都报1，都报2或者都报3的同学去植树，其余的同学在校内劳动”。你知道有多少人去植树了吗？小聪非常想去植树，报数前他应该站在哪些位置上？

例6 1994名学生从左至右按编号从1到1994排成一排，先今奇数号位上的学生离队，余下的学生顺序不变，向左靠拢后，再令偶数号位的学生离队（重新编队后的），余下的学生的顺序不变，向左靠拢，……如此反复，则最后留下的一个学生原编号是几？

练习：1994名学生从左至右按编号从1到1994排成一排，先今偶数号位上的学生离队，余下的学生顺序不变，向左靠拢后，再令奇数号位的学生离队（重新编队后的），余下的学生的顺序不变，向左靠拢，……如此反复，则最后留下的一个学生原编号是几？

小学六年级奥数专题训练：博弈问题4

2012-08-10 15:04 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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例１有１３０名战士被敌人俘虏了，敌人都今他们围成一个圆圈，编上号码１、２、３、……１３０，敌人先把１号，３号，５号～１２９号杀了，敌人是杀一个隔一个转着圈杀，最后只剩下一个人，问这个人是多少号？

例２有一副扑克牌共５４张，小明拿着它从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第１张牌舍去，把下一张牌放在这摞牌的最下面。再把原来的第３张牌舍去，把下一张牌放在这摞牌的最下面……反复这样地做，直到手中只剩下一张牌，那么剩下的这张牌是原来那一摞牌的第几张？

例３８０枚棋子围成一个圆圈，依次编上号码１、２、３、……８０，顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止，如果剩下的这枚棋子的号码是３０，那么第一个被取走的棋子是多少号？

例４８５名同学排成一圈，进行１、２、３报数，凡报１、２的出队，报３的留下，报数一圈一圈地循环进行，直到只剩下一个人为止，问这个人与第一个报1的同学之间有多少名同学

例５３０多个小朋友围成一圈练习数数，按顺时针方向一圈一圈循环报数，如果报１和报１００的是同一个人，问共有多少个小朋友？

例６１００个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行１～１５报数，如果报数一圈一圈地循环进行下去，问：⑴有没有人１～１５这１５个数都报过？⑵第１个小朋友报过几个数？⑶数字１至多有几个人报过？⑷是否有小朋友同时报过６和１５？

作业

１．１８个小朋友围成一圈，进行１～４２报数，如果报数一圈一圈地循环下去，问报１和报几的小朋友是同一个人？至少写出３个数。

２．把１～１０００这１０００个数依次均匀排成一个首尾相接的大圆圈，从１开始，留１划掉２，再留３划掉４，接下去把余下的数每隔一个划掉一个，转圈划下去，直到最后剩下一个数为止。问最后剩下的这个数是几？

３．２８５名同学围成一圈，顺次从１编到２８５号，从１号开始“１、２、３”报数，凡报１、２的离开，报３的不动，直到剩下一个人为止，问这名同学一开始站在多少号位置上？

４．７８个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行１～１８报数，如果报数一圈一圈地循环进行下去，问至多有多少个小朋友报过数字１？有没有人同时报过８和１８？为什么？

５．５００块积木围成一个大圆圈，依次编上号码１，２，……５００，从某块积木开始顺时针方向每隔一块拿掉一块，直到剩下一块积木为止，剩下的这块积木的号码是５０号，那么第一个被取走的积木是多少号？

小学六年级奥数专题训练：博弈问题5

2012-08-10 15:03 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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有3堆火柴，根数分别为12、9、6.。甲乙两人轮番从其中一堆中取出1根或几根火柴，取到最后一根者获胜。先取者还是后取者有必胜策略，如何取胜？

（1）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到30，谁就为胜方。

（2）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到30，谁就为胜方。

解决最个问题的一般策略是用倒推法。

以（1）为例，要抢到30，必须抢到27；要抢到27，必须抢到24。如此倒推回去，可得到一系列关键数30、27、24、21、18、……9、6、3。

根据以上分析，抢30游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到3的倍数，后报数者有必胜策略。

练习：

1、桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根

者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？

2、甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。

谁将获胜？怎样获胜？

3、有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但

不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

4、有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少

取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？

5、黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个

数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？

小学六年级奥数专题训练：博弈问题5

2012-08-10 15:03 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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有3堆火柴，根数分别为12、9、6.。甲乙两人轮番从其中一堆中取出1根或几根火柴，取到最后一根者获胜。先取者还是后取者有必胜策略，如何取胜？

（1）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到30，谁就为胜方。

（2）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到30，谁就为胜方。

解决最个问题的一般策略是用倒推法。

以（1）为例，要抢到30，必须抢到27；要抢到27，必须抢到24。如此倒推回去，可得到一系列关键数30、27、24、21、18、……9、6、3。

根据以上分析，抢30游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到3的倍数，后报数者有必胜策略。

练习：

1、桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根

者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？

2、甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。

谁将获胜？怎样获胜？

3、有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但

不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

4、有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少

取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？

5、黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个

数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？

小学六年级奥数专题训练：博弈问题6

2012-08-10 15:00 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理

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1．对于324和612，把第一个数加上3，同时把第二个数减3，这算一次操作，操作_____次后两个数相等.

2. 对自然数n,作如下操作：各位数字相加，得另一自然数，若新的自然数为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，当得到一个一位数为止，现对1,2,3…,1998如此操作,最后得到的一位数是7的数一共有_____个.

3. 在1,2,3,4,5,…,59,60这60个数中,第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数时，这个数是_____.

4. 把写有1,2,3,…，25的25张卡片按顺序叠齐，写有1的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；…按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一张卡片时，卡片上写的是_____.

5. 一副扑克共54张,最上面的一张是红桃K.如果每次把最上面的4张牌,移到最下面而不改变它们的顺序及朝向,那么,至少经过_____次移动,红桃K才会出现在最上面.

6. 写出一个自然数A,把A的十位数字与百位数字相加,再乘以个位数字,把所得之积的个位数字续写在A的末尾,称为一次操作.

如果开始时A=1999,对1999进行一次操作得到19992，再对19992进行一次操作得到199926，如此进行下去直到得出一个1999位数为止，这个1999位数的各位数字之和是_____.

7. 黑板上写有1987个数:1,2,3,…，1986，1987.任意擦去若干个数,并添上被擦去的这些数的和被7除的余数,称为一个操作.如果经过若干次这种操作,黑板上只剩下了两个数,一个是987,那么,另一个数是_____.

8. 黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是

_____.

9. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.

10. 用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.