一维热传导方程的前向 、紧差分格式
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中南林业科技大学
本科课程论文
学院：理学院
专业年级：09信息与计算科学一班
课程：偏微分方程数值解法
论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式
指导教师：陈红斌
2012年7月
学生姓名：唐 黎学 号：
分 工：程序编写，数值例子
学生姓名：何雄飞学 号：
分 工：格式建立，资料收集
学生姓名：汪 霄学 号：
3网格剖分 ..........................................2
4．1.1向前 格式建立 .............................2
...............................4
4.1.4 数值例子 ......................................7
4.1.3 收敛性与稳定性
收敛性
设 为定解问题（3.1-1）~（3.1-3）的解， 为差分格式（）（）的解，则当 时，有
，
其中 由（3.6-1）定义
证明记
将（3.3-1）~（3.6-1）分别于（3.5-1）~（3.5-3）相减，得到误差方程
当 时，有
证明完毕.
稳定性
如果在应用差分格式(3.5-1)~(3.5-3)时，计算右端函数 有误差 ，计算初值 有误差 ，则实际得到的是如下差分方程的解。
2 物理背景
热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数 表示物体在 时刻, 处的温度,并假设 关于 具有二阶连续偏导数,关于 具有一阶连续偏导数. 是物体在 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为 ,密度为 .根据 热传导定律,热量守恒定律以及 公式得
................................10
..................................12
......................................13
总结..................................................17
在(3.3-1)~(3.3-3)中略去小量项
(3.4)
并用 代替 ，得到如下差分格式
(3.5-1) (3.5-2)
(3.5-3)
称 为差分格式的局部截断误差。记
(3.6-1)
则有
(3.6-2)
4.1.2 差分格式的求解
记 ，称 为步长比。差分格式(3.5-1)可写为
上式表明第k+1层上的值由第k层上的值显示表示出来。若已知第k层的值 ，则由上式就可直接得到第k+1层上的值 。有时也称(3.5-1)为古典显格式。可把古典显格式写成矩阵形式
参考文献 ...........................................18
附录 ...............................................19
1 引言
本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题：
其中 为正常数， 为已知函数，
目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler差分格式、向后Euler差分格式、Crank-Nicolson格式、Richardson格式 ．本文将给出前向Euler格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子．
如果物体是均匀的,此时 以及 均为常数.令 ,上式方程化为
若考虑物体内有热源,其热源密度函数为 ,则有热源的热传导方程为
其中 .
3 网格剖分
取空间步长 和时间步长 ，其中 都是正整数．用两族平行直线 和 将矩形域 分割成矩形网格，网格节点为 ．记 ．以 表示网格内点集合，即位于开矩形 的网点集合； 表示所有位于闭矩形的网点集合； 是网格界点集合.
的解，则有
下面来考虑 的情况。此时必存在 当 时，
于是
设
则（3.9）为
可以验证其解为
由此易知
由于当 时，
所以不论初始误差多么小，均会使解有较大的误差。我们得到如下结论。
定理3.1.4 当 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)是不稳定的。
由定理，当步长比 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)是不稳定的；当步长比 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)是不稳定的。我们把这种稳定性称为条件稳定性。实际计算时选取步长比必须满足 ，即
4.1.4 数值例子
应用向前Euler 格式(3.5-1)-(3.5-3)计算定解问题
上述定解问题的精确解为 .
部分节点处数值解、精确解和误差的绝对值
数值解
精确解
|精确解-数值解|
20
(0.5,0.1)
1.8219e+000
1.8221e+000
2.3008e-004
40
(0.5,0.2)
2.0134e+000
引进如下记号:
， ，
， ，
分别称为无穷范式（一直范式）2范数（ 范数，平均范数），差商的2范数（差商的 范式）和 范式.
定义 上的网格函数
其中
在结点处考虑Fra Baidu bibliotek分方程(3.1-1),有
(3.2)
将
和
代入(3.2),得到
(3.3-1)
注意到初边值条件(3.1-2)和(3.1-3),有
(3.3-2)
(3.3-3)
2.0138e+000
3.4361e-004
60
(0.5,0.3)
2.2251e+000
2.2255e+000
4.1249e-004
80
(0.5,0.4)
2.4591e+000
2.4596e+000
4.6788e-004
100
(0.5,0.5)
2.7178e+000
分 工：文档编辑，资料整理
学生姓名：毛博伟学 号：
分 工：公式编辑，查找资料
学生姓名：倪新东学 号：
分 工：数据分析，查找资料
学生姓名：何凯明学 号：
分 工：数据分析，查找资料
1引言 ..............................................1
2物理背景.............................................1
(3.8)
令
将(3.5-1)~(3.5-3)与(3.8)相减，可得摄动方程组
(3.9)
当 时，有
(3.10)
上式说明当 和 很小时，误差 也很小。
摄动方程组(3.9)和差分方程(3.5-1)~(3.5-3)的形式完全一样。上述结果可叙述如下。
当 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)关于初值和右端项在下述意义下是稳定的：设 为差分方程组
本科课程论文
学院：理学院
专业年级：09信息与计算科学一班
课程：偏微分方程数值解法
论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式
指导教师：陈红斌
2012年7月
学生姓名：唐 黎学 号：
分 工：程序编写，数值例子
学生姓名：何雄飞学 号：
分 工：格式建立，资料收集
学生姓名：汪 霄学 号：
3网格剖分 ..........................................2
4．1.1向前 格式建立 .............................2
...............................4
4.1.4 数值例子 ......................................7
4.1.3 收敛性与稳定性
收敛性
设 为定解问题（3.1-1）~（3.1-3）的解， 为差分格式（）（）的解，则当 时，有
，
其中 由（3.6-1）定义
证明记
将（3.3-1）~（3.6-1）分别于（3.5-1）~（3.5-3）相减，得到误差方程
当 时，有
证明完毕.
稳定性
如果在应用差分格式(3.5-1)~(3.5-3)时，计算右端函数 有误差 ，计算初值 有误差 ，则实际得到的是如下差分方程的解。
2 物理背景
热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数 表示物体在 时刻, 处的温度,并假设 关于 具有二阶连续偏导数,关于 具有一阶连续偏导数. 是物体在 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为 ,密度为 .根据 热传导定律,热量守恒定律以及 公式得
................................10
..................................12
......................................13
总结..................................................17
在(3.3-1)~(3.3-3)中略去小量项
(3.4)
并用 代替 ，得到如下差分格式
(3.5-1) (3.5-2)
(3.5-3)
称 为差分格式的局部截断误差。记
(3.6-1)
则有
(3.6-2)
4.1.2 差分格式的求解
记 ，称 为步长比。差分格式(3.5-1)可写为
上式表明第k+1层上的值由第k层上的值显示表示出来。若已知第k层的值 ，则由上式就可直接得到第k+1层上的值 。有时也称(3.5-1)为古典显格式。可把古典显格式写成矩阵形式
参考文献 ...........................................18
附录 ...............................................19
1 引言
本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题：
其中 为正常数， 为已知函数，
目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler差分格式、向后Euler差分格式、Crank-Nicolson格式、Richardson格式 ．本文将给出前向Euler格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子．
如果物体是均匀的,此时 以及 均为常数.令 ,上式方程化为
若考虑物体内有热源,其热源密度函数为 ,则有热源的热传导方程为
其中 .
3 网格剖分
取空间步长 和时间步长 ，其中 都是正整数．用两族平行直线 和 将矩形域 分割成矩形网格，网格节点为 ．记 ．以 表示网格内点集合，即位于开矩形 的网点集合； 表示所有位于闭矩形的网点集合； 是网格界点集合.
的解，则有
下面来考虑 的情况。此时必存在 当 时，
于是
设
则（3.9）为
可以验证其解为
由此易知
由于当 时，
所以不论初始误差多么小，均会使解有较大的误差。我们得到如下结论。
定理3.1.4 当 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)是不稳定的。
由定理，当步长比 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)是不稳定的；当步长比 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)是不稳定的。我们把这种稳定性称为条件稳定性。实际计算时选取步长比必须满足 ，即
4.1.4 数值例子
应用向前Euler 格式(3.5-1)-(3.5-3)计算定解问题
上述定解问题的精确解为 .
部分节点处数值解、精确解和误差的绝对值
数值解
精确解
|精确解-数值解|
20
(0.5,0.1)
1.8219e+000
1.8221e+000
2.3008e-004
40
(0.5,0.2)
2.0134e+000
引进如下记号:
， ，
， ，
分别称为无穷范式（一直范式）2范数（ 范数，平均范数），差商的2范数（差商的 范式）和 范式.
定义 上的网格函数
其中
在结点处考虑Fra Baidu bibliotek分方程(3.1-1),有
(3.2)
将
和
代入(3.2),得到
(3.3-1)
注意到初边值条件(3.1-2)和(3.1-3),有
(3.3-2)
(3.3-3)
2.0138e+000
3.4361e-004
60
(0.5,0.3)
2.2251e+000
2.2255e+000
4.1249e-004
80
(0.5,0.4)
2.4591e+000
2.4596e+000
4.6788e-004
100
(0.5,0.5)
2.7178e+000
分 工：文档编辑，资料整理
学生姓名：毛博伟学 号：
分 工：公式编辑，查找资料
学生姓名：倪新东学 号：
分 工：数据分析，查找资料
学生姓名：何凯明学 号：
分 工：数据分析，查找资料
1引言 ..............................................1
2物理背景.............................................1
(3.8)
令
将(3.5-1)~(3.5-3)与(3.8)相减，可得摄动方程组
(3.9)
当 时，有
(3.10)
上式说明当 和 很小时，误差 也很小。
摄动方程组(3.9)和差分方程(3.5-1)~(3.5-3)的形式完全一样。上述结果可叙述如下。
当 时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)关于初值和右端项在下述意义下是稳定的：设 为差分方程组