复变函数与积分变换课程教学大纲

《复变函数与积分变换》课程教学大纲

课程名称：复变函数与积分变换课程代码：ELEA3035

英文名称：Function of Complex Variable and Integral Transformation

课程性质：专业必修课程学分/学时：2学分/36学时

开课学期：第3学期

适用专业：电气工程及其自动化

先修课程：高等数学

后续课程：自动控制原理、信号与系统、检测技术与仪表

开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪

大纲执笔人：周纯大纲审核人：余雷

一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）

课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。

教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。

本课程的具体教学目标如下：

1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。

2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。

3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。

教学目标与毕业要求的对应关系：

二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。重点内容： ；难点内容：∆

1、复数和复变函数（4学时）（支撑教学目标1）

1.1复数

知识点：复数的概念，共轭复数及复数的四则运算

1.2复平面及复数的三角表达式

知识点：复平面，复数的模与幅角及三角表达式，复数模的三角不等式，利用复数的三角表达式作乘除法，复数的乘方和开方。

1.3平面点集

知识点：邻域和开集，区域、简单曲线，连通域，无穷远点

1.4复变函数

知识点：复变函数的概念，复变函数的极限与连续性

要求：掌握复数的概念（复数是向量）及其各种不同的表示方法，了解各个表示方法的特点和适合使用的场合；复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义；能够在复平面上找到由代数或三角表示复数的坐标所在；共轭复数及其运算性质；复变函数的概念，复变函数的极限和连续的概念（与实函数做比较）。

了解：复平面的概念，平面点集的概念，复变函数的极限和连续的概念。

理解：复变函数的概念，共轭复数及其运算性质。

掌握：复数的概念及其各种表示法，复数的四则运算、乘方、开方运算及其几何意义。

重点内容：复数的四则运算及乘幂与开方的运算，复数的表示法，复变函数的概念。

教学难点：复变函数的极限与连续性。

2、解析函数（6学时）（支撑教学目标1）

2.1解析函数的概念

知识点：复变函数的导数，解析函数的概念与求导规则，函数解析的充要条件

2.2解析函数与调和函数的关系

知识点：调和函数，共轭调和函数

2.3初等函数

知识点：指数函数，对数函数，幂函数，三角函数在复数域下的概念及解析性

要求：掌握函数解析的充要条件，柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。

了解：调和函数的定义，初等函数的定义及解析性。

理解：复变函数导数的概念、运算性质及求导方法，解析函数的概念。

掌握：函数解析的充要条件，用柯西-黎曼条件判别函数解析性的方法，解析函数与调和函数的关系。

重点内容：解析函数的概念，函数解析的充要条件，解析函数与调和函数的关系。

教学难点：解析函数的概念，函数解析的充要条件。

3、复变函数的积分（6学时）（支撑教学目标1）

3.1复变函数的积分

知识点：复变函数积分的定义，基本性质，计算方法

3.2柯西-古萨定理

知识点：柯西积分定理，复合闭路定理，利用原函数求解析函数的积分

3.3柯西积分公式

知识点：柯西积分公式，高阶导数公式

要求：掌握复变函数积分的定义，基本性质和基本的计算方法；原函数的概念，如何利用原函数求解析函数的积分。柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。

了解：柯西积分定理、柯西积分公式、复合闭路定理的证明。

理解：复变函数积分的概念和性质，原函数的概念，利用原函数求解析函数的积分。

掌握：柯西积分定理，柯西积分公式，高阶导数公式及复合闭路定理的计算。

重点内容：柯西积分定理，柯西积分公式，复合闭路定理及其应用。

教学难点：复合闭路定理及其应用。

4、级数（6学时）（支撑教学目标1）

4.1复级项数的基本概念

知识点：复数项级数的概念，复变函数项级数的概念及其收敛的判定

4.2幂级数

知识点：阿贝尔定理，收敛半径的求法

4.3泰勒级数

知识点：泰勒展开定理，直接法，间接法将函数展开成泰勒展开式

4.4罗朗级数

知识点：罗朗定理，将函数在不同环域内展开成罗朗级数要求：掌握复数列极限的概念，复数列收敛的充要条件，复函数项级数收敛