2011年数学建模获奖论文

2、模型假设与符号说明
2.1 模型假设 1、假设该城市的所有突发事件均发生在道路节点处； 2、假设所有连接相邻两节点的道路均为直线； 3、假设交巡警服务平台只能设置在道路节点处； 4、假设一个节点仅由一个交巡警服务平台管辖，不存在多个平台共管一个节点的 情况； 5、假设犯罪嫌疑人乘车逃跑时，最高车速与警车速度相同（=60km/h） ，二者均不 受人口密度影响； 6、在围堵问题中，假设警方仅有在到达节点时才能实施围堵，而且到达节点即意 味着围堵成功。 2.2 符号说明 为了便于对问题进行描述和求解，本文首先对用到的符号变量进行了定义说明，如 下表：
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承
诺
书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 日 年 月
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
表 1 符号说明一览表
符号
意义
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pi dij xi yi fi ri H v w gi
编号为 i 的节点 节点 i 与节点 j 之间的最短距离 节点 i 的横坐标 节点 i 的纵坐标 i 节点处平台的平均每天接到的案件数（0<i<21） i 节点处平均每天发生的报警案件数量 各平台工作量的均衡性指标 警车时速与嫌犯逃跑的最高车速，v=60km/h=1km/min 各个区工作量的差异指标 i 区的平台平均出动次数（i=A,B,C,D,E,F）
3
第三问考虑到各平台的工作量不均衡和某些地区出警时间过长，再增加 2 到 5 个平 台，需要给出这些平台的位置及增加平台后的新的管辖范围方案。我们首先考虑出警时 间过长的问题，对所有出警时间超过三分中的节点进行分析，以确定新增平台的数目和 分布范围。然后，针对工作量不均衡的问题，再设立目标函数在刚刚确立的范围内利用 LINGO 求使得工作量最为均衡的解，由此可以确立新增平台的精确位置，以及新增平 台后各平台的管辖范围划分和工作量分布。 3.2 问题二分析 问题二给出了某市所有 6 个区的交通网络及其相关信息，需要解决关于整个市的交 巡警服务平台的设置与调度问题。 第一问需要按照设置交巡警服务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务 平台设置方案的合理性并给出解决方案。我们建立了三个评价指标：6 个区服务平台的 平均工作量的标准差（越小越好） 、各个区内每个平台工作量的标准差、各个区出警时 间大于 3 分钟的节点个数。如果不合理，以各区发案总次数占全市发案总次数的百分比 为权重对各区分配平台，再通过问题一第三问的方式来确定各区分配平台的最佳位置。 第二问假设在 P 点发生了重大刑事案件，调动全市交巡警服务平台的警力资源，需 要给出最佳围堵方案。由假设 4，利用之前所得数据，我们可以求得 3 分钟时嫌疑犯的 位置范围， 并找出围堵嫌疑犯需占据的最佳节点位置及嫌疑犯到这些节点的最短时间 t1 。 同样，我们可以找出（3+ t1 ）min 后所有交巡警平台在的位置范围及其可能占据的所有 节点。如果此时能占据所有围堵最佳节点位置，则围堵成功， t1 即为围堵时间，同时可 根据此时所有平台的位置给出每个平台的出警路线；否则，围堵失败，确定嫌犯在此后 极小一段时间后最佳围堵位置。重复上述步骤，直到围堵成功，计算围堵时间及每个平 台的出警路线。
3、问题分析
本问题涉及的是交巡警服务平台的设置与调度问题。题目提供了某一城市的交通路 线示意图以及道路的相关信息数据，针对该城市的具体情况，我们需要处理日常交巡警 服务平台管辖范围的分配问题和大型突发事件发生时平台警力的围堵封锁问题。其中， 计算交通网络中各节点间的最短路程及其所经路径是解决以上所有问题的基础。 3.1 问题一的求解思路 问题一给出了城市 A 区的交通网络及其相关信息，需要解决关于 A 区的交巡警服 务平台的设置与调度问题。 第一问是分配各个交巡警服务平台的管辖范围。由假设一可知，一个平台的管辖范 围可以表示成其管辖的节点，因而，第一问即可转化为求解每个平台对应的节点。为了 给此问以及后续问题的求解打下基础，我们考虑首先利用改进的迪克斯特拉算法计算任 意两个节点间的最短距离和最短路径。然后在“就近出警”原则下，针对每一个节点， 将其划分给离它最近的平台管辖。 考虑到上述分配方法可能存在各平台工作量极不均衡 的现象，我们认为可以采用以下方法分配：由于题目要求尽量在 3 分钟以内达到事发地 点，所以对于模型一得到的出警时间大于 3 分钟的节点，采用原来的分配方案，剩余节 点的分配则以任意两平台工作量的差的平方和最小为目标，每个节点巡警车到达的时间 小于三分钟为约束，通过 LINGO 实现对原分配方案的优化。最后对比两个方案，得到 最优方案。 第二问需要提供对 13 条交通要道实现最快全封锁的平台警力调动方案。我们考虑 对每一个需要封锁的节点分配一个平台。引入 0-1 变量 cij，当 j 节点处平台调动至 i 节 点处路口时为 1，反之为 0。然后分别利用最后封锁节点的所需封锁时间和所有 13 个节 点封锁时间之和为目标函数，分别在一定约束下求其最小值，得到两个调度方案，最后 对两个方案进行对比，根据其优缺点选择实施的方案。
4、问题一的模型建立与求解
4.1 A 区现有交巡警服务平台管辖范围的分配
图 一
A 区交通网络及节点标号图
上图为根据题中所给数据做出的 A 区交通网络与节点标号示意图。 对于平台管辖范 围的分配问题，本文首先提出了“就近出警”的原则，即每个案发地点均由离它最近的
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交巡警服务平台管辖，由此将问题转化为求解 20 个平台中与每个节点距离最近平台的 问题。首先，本文确立了计算交通网络图中任意两个节点之间最短路径的改进的迪克斯 特拉（Dijkstra）算法，然后比较由该算法得到某一节点与 20 个平台间的最短路径，确 立管辖该节点的平台。 4.1.1 改进的迪克斯特拉算法求解任意两节点间的最短路径 迪克斯特拉算法是解决网络图中两节点之间最短路径的有效方法。对于节点 i 与节 点 j 的最短路径而言，设已知 m 个节点到 i 节点的最短路径（初始时 m=0） ，将这 m 个 节点与 i 节点纳入到集合 Si 中。则集合 Si 外的任何一个节点到 i 节点的最小距离可以取 该节点到上文 m 个节点的距离与这 m 个节点分别到节点 i 的和的最小值。取这些节点 到 i 点的最小距离的最小值对应的节点，将其作为第 m+1 个节点，然后继续循环，直至 找到第 j 个节点。 然而，传统的迪克斯特拉算法一次只能计算一对节点间的最小距离，针对该问题中 节点数目过大的情况该算法则会显得过于繁琐冗长；同时，该算法虽然得到了两节点间 最短距离的数值，但没有给出该最短距离对应的路径。 因此，我们对传统的迪克斯特拉算法作出以下改进：针对上述第一个缺陷，本文求 解时不再以固定的两节点为目标，而是求解每一个节点对节点 i 的最短路径，循环直至 求到最后一个节点；针对路径的问题，本文在原算法的程序中建立了一个记录路径的元 胞数组，每次求得最短距离的同时利用其记录该距离对应的路径。 针对本题中所给情况，以第 i 个节点为例，利用改进的迪克斯特拉算法，计算其余 各点与其最短路程及路径的步骤如下： Step1 设已经找到对第 i 个节点最短路径的点的集合为 Si，最后一个归入集合 Si 的 节点为 pk，节点 i 和节点 j 之间的最短距离为 dij。为了保存最短路径，设节点 i 到节点 j 的最短路径为数组 Cij，Cij={i,a,b,…,j}表示由节点 i 到节点 j 的最短路径经过 a、b 等节 点。 则初始时刻： Si pi
2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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交巡警服务平台的设置与调度
摘要 本文运用 0-1 整数规划处理了交巡警服务平台的设置与调度问题，用改进的迪克斯 特拉算法计算了该市所有节点两两之间的距离及所经路径。 对于问题一中平台管辖范围的分配问题， 本文首先通过对迪克斯特拉算法 （Dijkstra） 的改进求出了交通网络图中任意两个节点的最短路程和相应路径。 然后根据 “就近出警” 原则进行分配，得到一种管辖范围的分配方案，该方案能保证除节点 28，29，38，39， 61，92 外，其他节点的出警时间均小于三分钟。之后对此模型进行优化。对于 28，29， 38，39，92 这 6 个点依然按照“就近出警”原则分配，其余无平台的节点按以下方案分 配：以任意平台之间工作量的之差的平方和最小为目标，出警时间小于 3 分钟为约束条 件，进行优化求解，得到了既能保证巡警车在三分钟内赶到最多的节点，又能使各平台 工作量尽可能均衡的管辖范围分配方案。通过对比发现，优化后的分配方案明显优于原 方案。 针对 A 区封锁时的警力调度问题， 本文建立了相关的约束条件， 然后分别在平均封 锁时间最短和完成封锁时间最短两个目标下进行规划，得到两个不同的警力调动方案。 方案一所有节点封锁所需平均时间为 3.553min，最后封锁时间为 10.006627min，警力调 动较小； 方案二所有节点封锁所需平均时间为 5.7945min， 最后封锁时间为 8.015457min， 警力调动较大。通过比较发现，两方案各有优劣，适用于不同情况下的封锁问题。 对于 A 区新增平台的选址问题，采用二次规划的方法，首先，以新增平台数目最小 为目标，以所有节点出警时间小于 3min 为约束条件，求解得到新增平台的数目。然后， 考虑各平台工作量分布的均衡性，以此作为目标函数，根据第一步规划确立的新增平台 数目，求得得到了新增平台的选址方案即分别在第 29、38、61、88 号节点设立 4 个平 台，同时，计算得到了新方案下各平台的管辖范围和工作量。 对于评价该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，本文建立了三个评价指标： 6 个区平均工作量的标准差、每个区内各个平台的出警次数的标准差、每个区内 3min 以内不能到达的节点个数。通过这 3 个评价指标，本文给出了优化方案。新的分配方案 通过以下方式确立： 以各区发案总次数占全市发案总次数的百分比为权重对各区分配平 台，再通过问题一第三问的方式来确定各区分配平台的最佳位置。 为了求解最佳围堵方案，本文首先计算得到了案发后 3min 嫌犯的最大活动范围， 并且得到与该范围内节点直接相连的节点组，然后比较嫌犯到达这个节点组内某一个节 点的最短时间与各平台警力达到该节点组内所有节点的最长时间，当后者小于前者时， 则围堵成功。 否则封堵与该节点组直接相连的更远的节点组， 此时求得的围堵时间最小、 围堵方案最佳。最终求得的围堵时间为 18.29min。 关键词：迪克斯特拉算法 最短路径 0-1 整数规划 二次规划
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1、问题重述
“有困难找警察” ，是家喻户晓的一句流行语。警察肩负着刑事执法、治安管理、 交通管理、服务群众四大职能。为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交 通要道和重要部位设置交巡警服务平台。每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相 同。由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平 台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。 已知某市设置交巡警服务平台的相关情况，建立数学模型分析研究下面的问题： （1） 由该市中心城区 A 的交通网络和现有的 20 个交巡警服务平台的设置情况示意 图，以及相关的数据信息，为各交巡警服务平台分配管辖范围，使其在所管辖的范围内 出现突发事件时，尽量能在 3 分钟内有交巡警（警车的时速为 60km/h）到达事发地。 对于重大突发事件，需要调度全区 20 个交巡警服务平台的警力资源，对进出该区 的 13 条交通要道实现快速全封锁。实际中一个平台的警力最多封锁一个路口，给出该 区交巡警服务平台警力合理的调度方案。 根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况，拟 在该区内再增加 2 至 5 个平台，确定需要增加平台的具体个数和位置。 （2）针对全市（主城六区 A，B，C，D，E，F）的具体情况，按照设置交巡警服 务平台的原则和任务，分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性。如果有明 显不合理，给出解决方案。 如果该市地点 P（第 32 个节点）处发生了重大刑事案件，在案发 3 分钟后接到报 警，犯罪嫌疑人已驾车逃跑。为了快速搜捕嫌疑犯，给出调度全市交巡警服务平台警力 资源的最佳围堵方案。