线性代数复习题答案
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线性代数复习题答案
WORD 使用不熟练因此有些东西写不出来（打的我快吐了..）。答案仅供参考，错误在所难免，会数学的同学帮忙校验一下吧。祝大家门门考试全通过。 一、计算排列76843521的逆序数。
解：在排列76843521中
7排在首位，逆序数为0；
6的前面比6大的数有一个7，故逆序数为1； 8是最大数，逆序数为0；
4的前面比4大的数有7、6、8，故逆序数为3； 3的前面比3大的数有7、6、8、4，故逆序数为4； 5的前面比5大的数有7、6、8，故逆序数为3；
2的前面比2大的数有7、6、8、4、3、5，故逆序数为6； 1的前面比2大的数有7、6、8、4、3、5、2，故逆序数为7； 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+4+3+6+7=24
二、计算下列n 阶行列式的值：
D=
..................
...a
b b b a b b
b
a
解：
]
)1(/[1...
...............)1()1()1()1(...321......
...............b n a r a
b
b
b a b b
n a b n a b n a b n a rn
r r r a
b b
b a b b b a D -+-+-+-+-++++=
1
...1
312.....................)1(*1...
...............1...11)1(r rn r r r r a b b
b a b b b
b b b n a b r a b b
b a b
b
n a ----+-+
)
(...00............0...)(...
)1(b a b a b b
b
b
b
b n a ---+=)(b a -n-1
[a+(n-1)b]
三、设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=101110011A ,E 2X A X +=，E 为三阶单位矩阵，求矩阵X 。
解：∵AX=2X+E
∴（A-2E ）=E
又A-2E=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------101110011 由于(A-2E|E)= 21212
1
21212
1
2121
2
1
100010001100010001101110011----
-
-
−−−→−------初等行变换
∴X=21⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------111111111
（类题：已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=323513123A ,用初等变换法求A 的逆矩阵1A -。） A -1=
|
|1
A * A *
|A|=（3*1*3）+（2*5*3）+（1*3*2）-（3*5*2）-（2*3*3）-（3*1*1）
=9+30+6-30-18-3 =-6
A *=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----3031266947 A -1=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----302126694761
四、当λ为何值时非齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=+-+=++-λ
λλλ321
321321)1(2)1(2)1(x x x x x x x x x ， 有唯一解、无解、无穷多组解？并在有无穷多解时求其通解。
解：因系数矩阵A 为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0
|A|=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----++200020111)1(1111111111
31
2312
1λλλλλλr r r r r r r r =（λ+1）（λ-2）2 因此，当λ≠-1且λ≠2时，方程组有唯一解。 当λ= -1时，
B=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----++30002121211212112121211
22
313r r r r 知R(A)=2，R(B)=3，故方程组无解。
当λ=2时，
B=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000002111211121112111r 知R(A)= R(B)=1，故方程组有无限多个解，且通解为：
⎪⎩⎪⎨⎧=====++2331223212C x x C x x x x x ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00212101121321C C x x x （C ∈R ）
类题：当λ为何值时非齐次线性方程组
12312321231
x x x x x x x x x λλλλλ
⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩（本人表示打公式真费劲，所以照搬原始课件版，另一种解法见上题。
） 有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。
解：作初等行变换，对增广矩阵),(b A B =
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1111111~2λλλλλ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛------222
2111011011~λλλλλλ
λλλ