局部波数在磁异常解释应用中的方法技术

(
) ( )
（ ４ ）
表１ 倾斜断面、 倾斜薄板和水平圆柱体模型局部波数表达式一览
名称 ｋ ｘ ｋ ｘ ｘ ｋ ｋ ｘ ｘ－ ｘ １ ／ （ ｋ ｋ ） ｝ 单一模型的埋深｛ ｘ ｘ－ ｘ ｘ ＝ ０ 构造指数｛ ｋ （ ｋ ｋ ）－ １ ｝ｘ ｎ ｘ／ ｘ ｘ－ ｘ ＝ ０＝ ｋ
９ ］ 求得模型的深度以及构造指数 ［ 。
第 ３ ５卷第 ６期 ２ ０ １ １年 １ ２月
物 探 与 化 探
Ｇ Ｅ Ｏ Ｐ Ｈ Ｙ Ｓ Ｉ Ｃ Ａ Ｌ＆Ｇ Ｅ Ｏ Ｃ Ｈ Ｅ Ｍ Ｉ Ｃ Ａ ＬＥ Ｘ Ｐ Ｌ Ｏ Ｒ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ５ ， Ｎ ｏ ． ６ Ｄ ｅ ｃ ． ， ２ ０ １ １
局部波数在磁异常解释应用中的方法技术
磁异常边缘参数反演主要有线性特征法、 解析 信号法、 欧拉反褶积法、 Ｗｅ ｒ ｎ ｅ ｒ 反褶积法以及局部 波数法。线性特征法是利用具有明显走向和倾向特 征的抛物面来拟合磁性体对应的磁异常水平梯度的 异常， 并求出所有网格节点上的特征值， 由最大曲率 特征值所分布的平面位置来确定磁性体的边界， 再 利用总梯度模及其二阶导数项， 就可以求出磁性体 顶面的埋深
２ ２ ｋ （ ｘ ， ｚ ） ＝（ ｎ １ ） ｈ （ ｈ ） ， ｘ ｋ＋ ｋ／ ｋ ＋ｘ
， 其表达式为
２ ２
Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ － ２ ｘ ｚ ｘ （ ｘ ， ｚ ） ｘ θ ｚ ＝ ｋ （ ｘ ， ｚ ）＝ 。（ ２ ） ｘ ２ ｘ Ｔ ＋ Ｔ２ ｘ ｚ
扩边的导数计算结果， 图１ ｂ 为最小曲率扩边的导数 计算结果。由该图比较可以看出： 最小曲率扩边的 导数计算结果精度明显高于余弦扩边的导数计算结 果。通过图 １还可以看出， 虽然采用了较好的网格 数据扩边方法， 但随着导数阶次的增高， 其导数值的 计算结果精度依然受到高频干扰的影响。正是这些 高频干扰的影响造成了一阶和二阶局部波数计算结 果的畸变， 也使反演得到的埋深 ｈ ｋ 以及构造指数的 精度下降， 故还需要讨论高频干扰的消除方法。 ２ ． ２ 向上延拓 利用向上延拓提高局部波数反演结果的精度。 高频干扰的消除方法一般是加低通滤波器， 使用低 通滤波器可以压制边部计算结果的高频干扰， 从而 提高计算精度。由于导数阶次不同， 其受高频干扰 也不同， 因而其低通滤波器也不同。常用的一阶导
［ ３ ］
采用理论推导与理论模型
相结合的方法， 分析了磁异常总梯度模极大值确定 磁源边界产生偏差的原因， 并提出了减小误差的办 法。欧拉反褶积法是一种快速的反演方法， 它不需 要对地质模型作任何的假设， 也无需对磁测数据进 行化极处理， 因此其适用的范围广泛。欧拉反褶积 法最初由 Ｔ ｈ ｏ ｍ ｐ ｓ ｏ ｎ 提出并用于二维反演， 随后被 Ａ ． Ｂ ． Ｒ ｅ ｉ ｄ 等
ｈ （ 薄板顶点深度） ｔ １
ｈ （ 圆柱体中心深度） ｈ ２
中磁异常三阶混合导数计算为例， 分别选用余弦扩
１ ２ ］ １ ３ ］ 边［ 和最小曲率扩边 ［ 进行试算。图 １ ａ为余弦
由此得出结论， 根据一阶和二阶水平局部波数， 不需要先验信息就可以求出单一规则二度体几何形 体场源特征点的埋深， 即ｋ ｋ 其倒 ｘ ｘ－ ｘ 为极大值时， 数就为几何体特征点的埋深， 表达式为 ｈ ／ （ ｋ ） 。 ｋ ＝１ ｘ ｘ －ｋ ｘ （ ８ ）
倾斜薄板
２ ２ ２ ｈ ／ （ ｈ ｘ ） ｔ ｔ＋ ２ ２ ３ ｈ ／ （ ｈ ｘ ） ｔ ｔ＋ ２ ２ ｈ ／ （ ｈ ｘ ） ｔ ｔ＋
ｋ （ ｘ ， ｚ ）＝ ｘ ｘ
′ （ ｘ ， ｚ ） θ ＝ ｘ
２ ３ ２ ３
Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ ２－ ２ ２ ｘ ｚ ｘ ｚ ｚ ｚ ｘ ２ ２ 。 ２ ２ Ｔ ＋ Ｔ ２ ｘ ｚ ｚ
１ ０ ］ 需要先验信息就可求出磁性体的埋深的特点 ［ 。
。解析信号法是 Ｒ ｏ ｅ ｓ ｔ 等人
［ ２ ］
提出。
解析信号振幅在磁性差异处出现极大值， 根据这些 极大值可以确定磁源边界位置。然而， 除了薄板、 垂 直接触带等特殊情况外， 在一般情况下， 磁异常总梯 度模极大值位置与磁源边界位置都存在一定偏差， 所以， 黄临平和管志宁
·７ ８ ０ ·
物 探 与 化 探
３ ５卷
则一阶水平局部波数 ｋ （ ｘ ， ｚ ） 定义为解析信号相位 ｘ （ ｘ ， ｚ ） 的变化率 θ
［ １ ０ ］
１ ． ２ 计算埋深的基本公式 根据倾斜断层、 倾斜薄板和水平圆柱体的磁异 常正演公式， 就可以求得其一阶水平局部波数、 二阶 水平局部波数和其差值的表达式分别为
［ ５ ］ ［ ４ ］
因此在确定磁性体位置上比磁场值更直接， 并在磁 测资料解释中快捷简单， 对于前期的勘探工作具有 重要意义。 笔者重点研究提高局部波数法中导数的计算精 度和提高反演结果精度的方法技术。
推广应用于三维反演， 后来出现了利
用欧拉反褶积法估计二度磁性体深度与位置。该方 法提出了多个大小不同的滑动窗口进行多次覆盖的 算法， 对高精度磁测剖面逐点反复计算， 并根据统计 学原理从大量计算结果中剔除坏解， 保留合理的解， 反演二度体的深度和位置
２ ｋ ２
２ ｋ
２
[
２ ２ ／ ｚ Ｔ ， ２ Ｔ／ （ ｘ ｚ ）
]
（ ３ ）
ｎ 其中， ｋ 为构造指数
［ １ ０ ］
（ 下标 ｋ ＝ｃ ， ｔ ， ｈ ） ， ｎ ０ 、 ｎ ｃ＝ ｔ
则二阶水平局部波数 ｋ （ ｘ ， ｚ ） 定义为 θ ′ （ ｘ ， ｚ ） 的变 ｘ ｘ
９ ］ ， 其表达式为 化率 ［
公式中 λ的取值越大， （ ｕ ） 随着频率 ｕ增大而下 φ １ 降的速度越快。快速下降可以使高频成分较彻底的 压制， 但同时低频有益成分也受到一定程度的压制 而畸变， 即低频成分畸变也很厉害。因此， λ值的选 择就成为使用低通滤波器效果好坏的一个影响因 子。图 ２为不加低通滤波器和加低通滤波器（ λ＝ ． ２ ５ ） 之后 Ｔ ／ ｘ ｚ 的计算结果， 图 ３为不加低通 ０ 滤波器和加低通滤波器（ ０ ． ２ ５ ） 之后 ｋ ｋ λ＝ ｘ ｘ－ ｘ的 计算结果。由图 ２和图 ３看出， 加低通滤波器可以 消除高频干扰的影响， 从而提高局部波数的计算精 度。虽然提高了精度， 但ｋ ｋ ｘ ｘ－ ｘ 的图形仍然会出现 一些高频干扰， 使得极大值位置的判断较难， 更无法
倾斜断层
２ ２ ｈ ／ （ ｈ ｘ ） ｃ ｃ＋ ２ ２ ２ ｈ ／ （ ｈ ｘ ） ｃ ｃ＋ ２ ２ ｈ ／ （ ｈ ｘ ） ｃ ｃ＋
水平圆柱体
２ ２ ３ ｈ （ ｈ ｘ ） ｈ／ ｈ＋ ２ ２ ４ ｈ （ ｈ ｘ ） ｈ／ ｈ＋ ２ ２ ｈ （ ｈ ｘ ） ｈ／ ｈ＋
ｈ （ 断面顶点深度） ｃ ０
（ ９ ） （ １ ０ ）
６期
崔莉等： 局部波数在磁异常解释应用中的方法技术
·７ ８ １ ·
图１ 余弦扩边（ ａ ） 和最小曲率扩边（ ｂ ） 方法计算出的
３ Ｔ 剖面 ２ ｘ ｚ
图２ 加低通滤波器前（ ａ ） 、 后（ ｂ ） 三阶混合导数
３ Ｔ 计算结果对比 ２ ｘ ｚ
， ２ ， ３ ， ４ ， ３ ， ４ 崔莉１ ， 王万银２
（ １ ． 惠州工业科技学校，广东 惠州 ５ １ ６ ０ ０ １ ； ２ ． 长安大学 重 磁 方 法 技 术 研 究 所， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ５ ４ ； ３ ． 长安大学 地质工程与测绘学院， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ５ ４ ； ４ ． 长安大学 西部矿产资源与地质 工程教育部重点实验室， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ５ ４ ）
( ) ( )
（ ５ ） （ ６ ） （ ７ ）
′ （ ｘ ， ｚ ） 定义为 若θ ′Biblioteka Baidu（ ｘ ， ｚ ） ＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ θ
ｋ （ ｘ ， ｚ ） ＝（ ｎ ２ ） ｈ （ ｈ ＋ｘ） ， ｘ ｘ ｋ＋ ｋ／ ｋ （ ｘ ， ｚ ）－ｋ （ ｘ ， ｚ ） ＝ｈ （ ｈ ＋ｘ） ， ｘ ｘ ｘ ｋ／
３ ２
计算埋深。这主要是低通滤波因子中 λ的取值较 难掌握， 使得消除高频干扰的效果难以把握。 向上延拓可以消除随机干扰的影响， 并具有明 确的物理意义。为了展示向上延拓的效果， 选用不 同模型不同埋深进行试算， 模型的点距为 １ ０ｍ ， 剖 面长度为 １０ ０ ０ｍ 。设计一个倾斜薄板， 其特征点位 ０号测点， 埋深为 ２ ０ ０ｍ ， 延拓不同高度得到 于第 ５ 的１ ／ （ ｋ ｋ ） 结果如图 ４所示。这里延拓高度从 ０ ｘ ｘ－ ｘ ～ １ ０ ０ｍ间隔为 ２ ０ｍ ， 延拓不同高度时 １ ／ （ ｋ ｋ ） ｘ ｘ－ ｘ 的极小值均在 ５ ０号点附近， 但延拓高度为 ０时极小
１ ４ ］ 数滤波因子 ［ 为 ２ ３ （ ｕ ） ＝ｅ ｘ ｐ （ －４ ｕ ） ， φ πλ １ 那么， ｎ 阶导数滤波因子为 ｎ （ ｕ ） ＝［ （ ｕ ） ］ 。 φ φ ｎ １
２ 技术措施
局部波数法计算中要计算磁异常的高阶导数， 而高阶导数的计算一般在频率域中进行， 这就需要 研究导数计算的稳定性和精度。通过实践， 认为频 率域中计算导数会受数据扩边及高频干扰消除方法 的影响， 在此重点讨论这两个方法技术。 ２ ． １ 最小曲率扩边和补空方法 最小曲率扩边和补空方法是提高导数计算结果 精度的技术措施之一。以 ２为基的快速 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 变 换要求磁异常数据的个数为 ２的幂次方， 如果磁异 常数据量不满足 ２的幂次方就需要进行扩边处理； 另外， 对空白区还需要进行补空处理。设计一个倾 斜薄板， 其特征点位于第 ６ ４号测点， 模型的点距为 １ ０ｍ ， 剖面长度为 １２ ８ ０ｍ ， 埋深为 ２ ０ ０ｍ ， 以频率域
［ １ ］
是以向下无限延深薄板的磁异常理论为基础来求地 质体接触面的水平位置、 上顶埋深、 磁化强度的大小
［ ８ ］ ． Ｗｅ ｒ ｎ ｅ ｒ 提出， 当时该 及方向。该方法最早是由 Ｓ ９ ］ 方法主要用于分析瑞典的矿化岩墙。 Ｈ ａ ｒ ｔ ｍ ａ ｎ等 ［
发表了应用这种方法的结果， 他在该文章中通过模 型试算证明了 Ｗｅ ｒ ｎ ｅ ｒ 反褶积方法可以快速的反演 磁性体的埋深。 ２ ０世纪 ９ ０年代局部波数法得到了广 泛 的 关 注， 近十年来该方法得到了快速的发展。局部波数 法适用于特定的场源模型， 即倾斜的断层、 倾斜的薄 板和水平圆柱体， 利用二维磁测数据的导出参数， 可 以反演异常体的特征点和埋深。该方法利用了局部 波数的振幅通常不依赖于磁化强度和磁倾角并且不
＝ １ 、 ｎ ２分别为单一倾斜断面、 倾斜薄板和水平 ｈ＝ 圆柱体的构造指数； ｋ 分别是一阶和二阶水平 ｘ和 ｋ ｘ ｘ 局部波数。对于不同的二度体倾斜断面， 倾斜薄板 和水平圆柱体， 其一阶和二阶水平局部波数的函数 表达式均是相同的， 分别为式（ ５ ） 和式（ ６ ） 。表 １给 出了三种规则模型的局部波数表达式， 由该表达式 ＝ ０ （ 特征点位置） 对称， 且在 看出， 局部波数关于 ｘ 该点达到极大值， 并可以根据该特征点的有关参数
［ ６ － ７ ］
１ 基本原理
１ ． １ 定义
１ １ ］ 定义二度体磁异常 Ｔ （ ｘ ， ｚ ） 解析信号的相位为［
。 Ｗｅ ｒ ｎ ｅ ｒ 反褶积法
Ｔ ／ ｚ （ ｘ ， ｚ ） ＝ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ， θ Ｔ ／ ｘ
（ １ ）
收稿日期： ２ ０ １ ０－ ０ ５－ １ ０ ； 修回日期： ２ ０ １ １－ ０ ３－ １ ８
摘 要： 研究了提高频率域中导数计算结果的精度以及局部波数反演结果的稳定性和精度， 对比了余弦扩边方法和 最小曲率扩边方法在频率域中计算导数的精度。通过对比表明， 最小曲率扩边结果的精度高于余弦扩边结果的精 度， 提出了向上延拓某一高度来进行局部波数的反演技术。此技术不但能够解决高频干扰， 提高导数计算精度， 而 且利用不同延拓高度的反演结果能够得到一个平稳的反演结果， 从而提高了局部波数反演的精度。理论模型试算 验证了方法技术的精度， 实际资料处理验证了方法技术的稳定性， 达到了满意的效果。 关键词： 磁异常解释； 局部波数； 最小曲率； 余弦扩边； 向上延拓； 导数计算 中图分类号：Ｐ ６ ３ １ ． ２ 文献标识码：Ａ 文章编号： １ ０ ０ ０－ ８ ９ １ ８ （ ２ ０ １ １ ） ０ ６－ ０ ７ ７ ９－ ０ ６