中考数学 反比例函数 培优 易错 难题练习(含答案)及答案
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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.
(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;
(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;
(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.
【答案】(1)解:k=4,S△PAB=15.
提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,
设AP与y轴交于点C,如图1,
把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),
把点B(4,1)代入y= ,得k=4.
解方程组,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),
则点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
设直线AP的解析式为y=mx+n,
把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
求得直线AP的解析式为y=x+3,
则点C的坐标(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC•AR+ OC•PS
= ×3×4+ ×3×1= ,
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)解:过点P作PH⊥x轴于H,如图2.
B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,
设P(m,),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,联立,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,
联立,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,
∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),
∴H(m,0),
∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,
∴MH=NH,
∴PH垂直平分MN,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(3)解:∠PAQ=∠PBQ.
理由如下:
过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),直线AQ的解析式为y=px+q,则有
,
解得:,
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.
当y=0时, x+ ﹣1=0,
解得:x=c﹣4,
∴D(c﹣4,0).
同理可得E(c+4,0),
∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,
∴DT=ET,
∴QT垂直平分DE,
∴QD=QE,
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE,
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,
∴∠PAQ=∠PBQ.
【解析】【分析】(1)过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,设AP 与y轴交于点C,如图1,可根据条件先求出点B的坐标,然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式,即可求出k,然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标,从而得到OA=OB,由此可得S△PAB=2S△AOP,要求△PAB的面积,只需求△PAO的面积,只需用割补法就可解决问题;(2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.可用待定系数法求出直线PB的解析式,从而得到点N的坐标,同理可得到点M的坐标,进而得到MH=NH,根据垂直平分线的性质可得PM=PN,即△PMN是等腰三角形;(3)过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ
交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.可设点Q为(c,),运用待定系数法求出直线AQ的解析式,即可得到点D的坐标为(c﹣4,0),同理可得E(c+4,0),从而得到DT=ET,根据垂直平分线的性质可得QD=QE,则有∠QDE=∠QED.然后根据对顶角相等及三角形外角的性质,就可得到∠PAQ=∠PBQ.
2.如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线y= (k≠0)(x>0)相交于点A、C,与x轴相交于点B、D,连接AC.已知点A、B的刻度分别为5,2(单位:cm),直尺的宽度为2cm,OB=2cm.
(1)求k的值;
(2)求经过A、C两点的直线的解析式;
(3)连接OA、OC,求△OAC的面积.
【答案】(1)解:∵AB=5﹣2=3cm,OB=2cm,
∴A的坐标是(2,3),
代入y= 得3= ,
解得:k=6
(2)解:OD=2+2=4,
在y= 中令x=4,解得y= .
则C的坐标是(4,).
设AC的解析式是y=mx+n,
根据题意得:,
解得:,
则直线AC的解析式是y=﹣ x+
(3)解:直角△AOB中,OB=2,AB=3,则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3;
直角△ODC中,OD=4,CD= ,则S△OCD= OD•CD= ×4× =3.
在直角梯形ABDC中,BD=2,AB=3,CD= ,则S梯形ABDC= (AB+DC)•BD= (3+ )×2= .
则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=
【解析】【分析】(1)首先求得A的坐标,然后利用待定系数法求得函数的解析式;(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式;(3)根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解.
3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反
比例函数y2= (c≠0)的图象相交于点B(3,2)、C(﹣1,n).