1.1引言

定理1.2 在所有的n级排列中(n>1), (n>1),奇排列 定理1.2 在所有的n级排列中(n>1),奇排列 ! 与偶排列的个数相等， 与偶排列的个数相等，各为 n 个.
2
证明:设在n!个 级排列中（n>1） 证明:设在n!个n级排列中（n>1）,奇排列共 n! 偶排列共有q n!． 有p个,偶排列共有q个，则p+q= n!． 现对每一个奇排列施行一次对换， 现对每一个奇排列施行一次对换，即 奇排列施行一次对换
《线性代数》
张日权 rqzhang@stat.ecnu.edu.cn
第一章 行列式
§1·1 1 §1·2 2 §1·3 3 §1·4 4 §1·5 5 排列与逆序 n阶行列式的定义 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行（ 行列式按行（列）展开 Cramer法则 Cramer法则
§1·1 排列与逆序 1
引例： 引例：用1、2、3三个数字，可 三个数字， 以组成多少个没有重复数 以组成多少个没有重复数 没有重复 字的三位 数？ 解： 123， ， 231， ， 132， ， 312， ， 213， ， 321
三级 排列
为什么举 这个例子
总数=6＝ ！（个 总数=6＝3！（个） =6
定义．由自然数1,2,3,…,n组成的一个有序 定义．由自然数1,2,3, ,n组成的一个有序 1,2,3, ,n组成的一个 数组称为一个n级排列, 简称排列． 数组称为一个n级排列, 简称排列． 称为一个 特别地，123 n称为自然排列 自然排列． 特别地，123…n称为自然排列． n级排列的三要素： 级排列的三要素： • 由n个自然数组成 • n个数不能重复 • 不能有大于n的数 不能有大于n 例： ① 54321 ② 3142 ③ 214 ④ 13243
逆序
在一个排列中， 在一个排列中，如果两个数的前后位置与 它们的大小顺序相反（ 它们的大小顺序相反（即排在前面的数大 于排在后面的数），则称这两个数构成排 于排在后面的数），则称这两个数构成排 ）， 逆序。 列的一个逆序 列的一个逆序。 即：对n级排列j1j2…ji…jk…jn，若ji>jk， 级排列j j j j 则称j 构成一个逆序 逆序， 则称ji与 jk构成一个逆序，记为 jijk。
k(k −1) =1+ 2 +⋯+ (k −1) = 2
因此: k=4n或k=4n+1时 该排列为偶排列 因此:当k=4n或k=4n+1时，该排列为偶排列 当k=4n+2或k=4n+3时，该排列为奇排列 k=4n+2或k=4n+3时 该排列为奇排列
对换
在一个n级排列j 在一个n级排列j1j2…ji…jk…jn中，若仅将 j j j 其中两个数j 对调,其余不动， 其中两个数ji,jk对调,其余不动，可得一个 新的排列j 新的排列j1j2…jk…ji…jn,对排列所施行的 j j j 对换， 这样一次对调称为一个对换 记为(j 这样一次对调称为一个对换，记为(ji,jk). • 相邻两个数码的对换称为相邻对换. 相邻两个数码的对换称为相邻对换. 相邻对换 例如 23154 23154
( jk ) 奇排列 j1⋯ ji ⋯ jk ⋯ jn ji, j1⋯ jk ⋯ ji ⋯ jn 偶排列 → 由此可得 个偶排列， 由此可得p个偶排列，
由于偶排列的个数共有q 由于偶排列的个数共有q个，故 p ≤ q 同理，对q个 ．同理， 偶排列各做一次对换，可得q个奇排列， 偶排列各做一次对换，可得q个奇排列，而奇排列共
则 若 j i＜ j k j i＞ j k
τ ( j1 j2 ⋯ ji−1 jk ji jk+1 ⋯ jn ) = l +1 τ ( j1 j2 ⋯ ji−1 jk ji jk+1 ⋯ jn ) = l −1
与
因此 τ ( j1 j2 ⋯ ji−1 ji jk jk+1 ⋯ jn )
τ ( j1 j2 ⋯ ji−1 jk ji jk+1 ⋯ jn ) 奇偶性不同
(3,5) (3,1)
25134 21354
相邻对换
定理1 1 定理1·1 即：若
一次对换改变排列的奇偶性
j1 j2 ⋯ ji ⋯ jk ⋯ jn j1 j2 ⋯ jk ⋯ ji ⋯ jn →
( ji, jk )
则 τ ( j1 j2 ⋯ ji ⋯ jk ⋯ jn )与τ ( j1 j2 ⋯ jk ⋯ ji ⋯ jn ) 奇偶性不同
不是 排列 5级 级 排列 4级 级 排列 不是 排列
n级排列的总数＝ n!个 级排列的总数＝ n!个
• 排列的记号： 排列的记号： j1 j2 j3…jn j ——— 一个n级排列 一个n
所有n ｛j1 j2 j3…jn｝ ——— 所有n级排列 j • 例如：｛j1 j2 j3｝表示所有3级排列 例如：｛j 表示所有3 ：｛ =1时 代表三级排列231 当j1=2,j2=3,j3=1时，j1 j2 j3代表三级排列231 =2时 代表三级排列312 当j1=3,j2=1,j3=2时，j1 j2 j3代表三级排列312
例1. 求下列排列的逆序 （1）3241 逆序：32、31、21、 逆序：32、31、21、41 （2）52341 逆序：52、53、54、51、21、31、 逆序：52、53、54、51、21、31、41 （3）1234567 逆序： 逆序：无
逆序数
一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 序数 。记为 τ ( j1 j2 ⋯ jn ) • 例如 （1）3241 （2）52341 逆序：32、31、21、41， 逆序：32、31、21、41，故 τ (3241) = 4 逆序：52、53、54、51、21、 逆序：52、53、54、51、21、 31、41， 31、41，故 τ (52341) = 7
n(n −1) = 2
排列 偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列 偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列
判断排列135…(2k-1)246…(2k)的奇偶性 的奇偶性. 例3. 判断排列 的奇偶性 解:
奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列
τ (135⋯(2k −1)246⋯(2k))
因此，p=q. 有p个，故有p ≥ q，因此，p=q. 又 故
么？
p+q=n!
n ! p=q= 2
逆序： （3）1234567 逆序：无，故 τ (1234567) = 0
wk.baidu.com序数的计算方法:
τ ( j1 j2 ⋯ jn ) =
后面比j j1 后面比j1小的数的个数
后面比j + j2后面比j2小的数的个数 + … 后面比j + jn-1后面比jn-1小的数的个数 例2.求排列 n(n-1) 21 的逆序数。 2.求排列 n(n-1)…21 的逆序数。 解： (n(n −1)⋯21) = (n −1) +⋯+ 2 +1 τ
先证j 相邻两个数时结论成立 证：先证ji、 jk为相邻两个数时结论成立
( ji , j j1 j2 ⋯ ji−1 ji jk jk+1 ⋯ jnk )→ j1 j2 ⋯ ji−1 jk ji jk+1 ⋯ jn 设
且
τ ( j1 j2 ⋯ ji−1 ji jk jk+1 ⋯ jn ) = l
为任两个数时结论成立. 再证 ji,jk为任两个数时结论成立.设 ( jk ) j1⋯ ji−1 ji ji+1⋯ ji+m jk jk+1⋯ jn ji, j1⋯ ji−1 jk ji+1⋯ ji+m ji jk+1⋯ jn → 依次与j 相邻对换， 将ji依次与ji+1,…,ji+m做相邻对换，得排列 ,j j1j2…ji–1 ji+1…ji+m ji jk jk+1…jn j 1 j j 再将jk依次与ji、 ji+m… ji+1做相邻对换,得排列 做相邻对换, 再将j 依次与j j1 j2 …ji–1 jk ji+1…ji+m ji j 1 j jk+1 m+1） 2m+1次相邻对换 共做了m+ …jn m+（ j 共做了m+（m+1）=2m+1次相邻对换 故一次对换改变排列的奇偶性