控制工程基础第四章频率特性分析

- 20
180 90
(s
-1
)
G
ω
- 90
(s
-1 )
Bode图
4.惯性环节
传递函数： G ( s) =
1 (1 − jTω ) = 频率特性： G ( jω ) = 1 + jTω 1 + T 2ω 2 1 实频特性： u (ω ) = 1 + T 2ω 2 Tω 虚频特性： v(ω ) = − 1 + T 2ω 2
45 0
G
ω (s-1 )
Bode图
6.振荡环节
传递函数： G ( s) =
1 T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
1 (1 − T 2ω 2 ) + j 2ξTω 1 − T 2ω 2 实频特性： u (ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξTω ) 2 1 − T 2ω 2 虚频特性： v(ω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξTω ) 2 1 幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξTω ) 2
ϕ ( ω ) =∠ A( ω )
900 450 0
0
-45
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0
0.1
1
10
102
ω
-900
4.2.2 典型环节的频率特性图
1.比例环节
传递函数： G ( s ) = K 频率特性： G ( jω ) = K 实频特性： u (ω ) = K 虚频特性： v(ω ) = 0 幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) = K 对数幅频特性： L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg K 相频特性： ∠G ( jω ) = 0
ϕ (ω ) = ∠G ( jω )
,
u (ω )
v(ω )
⎧ G ( jω ) = u 2 (ω ) + v 2 (ω ) ⎪ ⎨ v(ω ) ϕ ω arctg ( ) = ⎪ u (ω ) ⎩
G ( jω ) = Re[G ( jω )] + Im[G ( jω )] = μ (ω ) + jν (ω )
本章重点
1.频率特性基本概念、代数表示法及其特点。 2.频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统 频率特性的两种图形的绘制。 3.频域中的性能指标。
本章难点
1.一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。 2.频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。
4.1
频率特性的基本概念
1. 频率响应:线性定常系统对正弦信号(谐波输入)的稳态响应称 为频率响应。
X iω s2 + ω 2
根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。
2.令s =jω
将传递函数中的s 用 jω 代替， [s]
⇒ [ jω ]
G ( s ) ⇒ G ( jω )
G ( jω ) 就是系统的频率特性。
(1)幅频特性： (2)相频特性: (3)实频特性: (4)虚频特性:
A(ω ) = X o (ω ) = G ( jω ) Xi
传递函数形式：
X ( s) = G ( s) = o X i ( s) K ∏ (τ i s + 1) s λ ∏ (T j s + 1)
m
j =1 i =1 n −λ m
Im
[G ( jω ) ]
ω
1 tg -1Tω Re
奈氏图 dB 20 lg G
40 20
ωT
20 dB dec ω (s-1 ) 10 ωT
对数幅频特性：L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg 1 + (Tω ) 2 90 相频特性： ∠G ( jω ) = arg tg (Tω )
3.相频特性:输出信号与输入信号的相位差(或相移)随ω变化的特性。
ϕ (ω ) > 0 表超前； (1) ϕ (ω ) 按逆时针方向旋转为正值， (2) ϕ (ω ) 按顺时针方向旋转为负值，ϕ (ω ) < 0 表滞后。
4.频率特性:通常将幅频特性和相频特性统称为频率特性。
A(ω )e jϕ (ω )
20 0 -20 -40 10 -1 0 -90 -180 10 -1 10 0 10 1 10 0 10 1
ξ
=0.1
ξ
=0.1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 微分 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 p p 方程 率特性在研究系统的结构与参数对系统 jω s 系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 传递 频率 特性 s jω 析方面的应用要比时域分析法更方便。 函数 5. 微分方程、传函、频率特性的关系如图。
φ
一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳态 分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信号的 角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位， 而随着角频率的改变而改变。
2.幅频特性∶输出信号与输入信号的幅值之比随ω变化的特性。
X o (ω ) A(ω ) = Xi
传递函数： G ( s) = T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
2 2 频率特性： G ( jω ) = (1 − T ω ) + j 2ξTω
2 2 u ( ω ) = 1 − T ω 实频特性：
虚频特性： v(ω ) = 2ξTω 幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) = (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξTω ) 2 对数幅频特性： L (ω ) = 20 lg (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξ Tω ) 2 相频特性： ∠G ( jω ) = arg tg
dB
40 20
20lg G
A(ω ) = G ( jω ) = 1
G - 20 - 40 - 60
0.1 1 1 10
10 100
ω
对数幅频特性： L (ω ) = 0 相频特性：
∠G ( jω ) = −τω
ω (s -1)
Bode图
4.3 系统的频率特性
4.3.1 绘制系统奈氏图 1.奈氏图的一般形状
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G(s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 ] xo (t ) = L [G ( s ) 2 2 s +ω
u (ω ) ω =0
Re
v (ω)
ω = ω1 ω
2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图和对数相频特性 图，统称为频率特性的对数坐标图，又称为Bode图。
dB
(1) 纵坐标单位为分贝，线性分度
A( ω ) =20 lg G( jω )
第四章 频率特性分析
基本要求
1.掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应 函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求 法。 2.掌握频率特性的奈氏图和Bode图的组成原理，熟悉典型环节的奈氏 图和Bode图的特点及其绘制，掌握一般系统的奈氏图和Bode图的 特点和绘制。 3.掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能 的关系。 4.了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。
0 0
Im
[G ( jω ) ] ( K , j 0) Re
奈氏图
dB 20lg K
0.1 1 10
ω (s
-1
)
0.1
1
10
ω ( s -1 )
Bode图
2.积分环节
1 G ( s ) = 传递函数： s
Im
[G ( j ω ) ] -90 1 ) (0 , -j ω Re
ω
频率特性： G ( jω ) = 实频特性： u (ω ) = 0 虚频特性： v(ω ) = −
4.2
4.2.1
典型环节的频率特性
频率特性图概述
1.奈奎斯特图：在 [G ( jω )] 平面上取Re及Im轴，以ω作参变量，当 ω 从0→∞变化时, G( jω ) 端点的轨迹为频率特性的极坐标图，称为 Nyquist图。
Im
j v (ω )
[G ( jω )]
ω=∞ ϕ (ω )
u (ω ) G ( jω ) A ( ω)
1 Ts + 1
Im
[G ( jω ) ] K
K 2
Re
ω
奈氏图
dB - 20 - 40
45 - 90
幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) =
1
2 2
ω (s -1 )
1+ T ω L (ω ) = 20 lg G ( jω ) = −20 lg 1 + (Tω ) 2对数幅频特性：
G ωT
Bode图
ω
3.微分环节
传递函数： 频率特性： 实频特性： 虚频特性：
G(s) = s
Im
ω
[G ( j ω ) ] ( 0 , jω ) 90
Re
G ( jω ) = j ω
u (ω ) = 0
v(ω ) = ω
奈氏图
dB
20 20 lg 0.1
G
1 10ω
[20]
幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) = ω 对数幅频特性： L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg ω 相频特性： ∠G ( jω ) = 90o
ω =0
ξ =2
Re
ξ =0.1 ξ =0.7
100 ξ =0.1
0 -20 -40 10-1 0 -90 -180
ξ =0.3
ξ =1
[-40]
101
ξ = 0. 7 ξ = 0.5
ξ =0.3 ξ =0.7
100 1 10
ωn
0 0.5
ξ = 0. 3
-0.5
1
1.5
10 -1
奈氏图
Bode图
7.二阶微分环节
1 1 =−j ω jω
1
40 20
1
奈氏图
dB 20 lg G
ω
ω
幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) =
ω
0.1 1 10 180 90
G
[-20]
对数幅频特性：L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = −20 lg ω 相频特性： ∠G ( jω ) = −90o
- 90 - 180
2ξTω 1 − T 2ω 2
8.延时环节
传递函数： 频率特性： 实频特性： 虚频特性： 幅频特性：
Im
1
[G(j
ω)]
G ( s ) = e −τs
G ( jω ) = e − jτω = cosτω − j sin τω
ω
很小
Re
u (ω ) = cosτω
v(ω ) = − sin τω
奈氏图
3.用试验方法求取
根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号 ϕ (ω ) 的频 j ωt 率ω，并测出与此相应的稳态输出的幅值 X o (ω ) 与相移xi e 。然 后，作出幅值比 X o (ω ) / X i 对频率ω的函数曲线，此即幅频特性曲 线；作出相移 ϕ (ω ) 对频率ω的函数曲线，此即相频特性曲线。 最后，对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性。
[-20]
ω (s -1 )
相频特性： ∠G ( jω ) = − arg tg (Tω )
Bode图
5.一阶微分环节
传递函数： G ( s) = Ts + 1 频率特性： G ( jω ) = 1 + jTω 实频特性： u (ω ) = 1 虚频特性： v(ω ) = Tω 幅频特性： A(ω ) = G ( jω ) = 1 + T 2ω 2
40 20
1 dB = 20 lg G ( jω )
(2) 横坐标单位为rad/s或1/s，对数分 度。 (3) 10倍频程(dec)：若ω2=10ω1， 则称从ω1到ω2为10倍频程。每10 倍频程对数差1。但习惯上仍标真数 值，即横坐标按10倍频程均匀分 度。
0
-20 -40
0.1
1
10
102
ω
频率特性： G ( jω ) =
对数幅频特性： L (ω ) = −20 lg (1 − T 2ω 2 ) 2 + (2ξ Tω ) 2 相频特性： ∠G ( jω ) = − arg tg
2ξTω 1 − T 2ω 2
0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1
1 － 2ξ
20
ω = ∞ Im
4.1.1 频率响应与频率特性
xo (t )响应的特点 设输入 xi (t ) = X i sin ω t ，
(1)输出与输入为同频率的谐波信号； (2)输出响应中振幅和相位差都是输入 信号频率ω的非线性函数，表示为
Xi Xo
xi( t )
xo(t )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))