组合最优化问题资料
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xD
其中，f(x)为目标函数， g(x)为约束函数，x为决策 变量， D表示有限个点组成的集合．
一个组合最优化问题可用三参数(D , F , f )表示， 其中D表示决策变量的定义域，F 表示可行解集合 F x xD, g(x)0，F 中的任何一个元素称为该 问题的可行解，f 表示目标函数．满足
n
max ci xi
(1.1)
i 1
n
s.t . ai xi b (1.2)
i 1
xi 0 ,1, i 1, , n
(1.3)
其中xi 1表示装第i个物品，xi 0表示不装．此时， D 0 , 1n，F为D中满足(1.2)的可行解集．
例1.2 旅行商问题(TSP,traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i 和j之间的距离为dij，如何选择一条道路使得商人 每个城市走一遍后回到起点且所走路径最短．
TSP可分为对称和非对称距离两大类问题．
当 dij=dji ,i,j 时，称为对称距离TSP，否则称为 非对称距离TSP．对一般的TSP，它的一种数学模 型描述为：
min dij xij
衡量一个算法的好坏通常是用算法中的加，减， 乘，除和比较等基本运算的总次数同实例在计算 机计算时的二进制输入数据的大小关系来度量．
我们对实例的二进制输入长度和Hale Waihona Puke Baidu法的基本计
算总次数是粗略估计的，一般是给予一个上 限．一个求解实例 I 的算法的基本计算总次数 C( I )同实例I 的计算机二进制输入长度d( I ) 的关 系常用符号C( I ) f (d( I )) O(g(d( I )))表示，它 的含义是：求解实例 I 的算法的基本计算总次数 C( I ) 是实例输入长度d( I ) 的一个函数，这个函 数被另一个函数g(x) 控制，即存在一个函数g(x) 和一个正常数，使得C( I ) g(d( I )) ．其 中g(x)的函数特性决定了基本计算总次数 的性 能．
D 0 , 1nn1．
TSP问题解的另一种表示法为循环排列
D F s (i1, i2, , in ) | i1, i2, , in 是 1,2, , n 的一个排列
数学模型为：
n
min L
di ji j1
j 1
(记 in1 i1 )
1.2 计算复杂性的概念
由于有些优化算法所需的计算时间和存储空间难 以承受，因此算法可解的问题在实践中并不一定可 解。由组合最优化问题的定义可知，每一个组合最 优化问题都可以通过枚举的方法求得最优解。枚举 是以时间为代价的，有的枚举时间还可以接受，有 的则不可能接受。
例如对非对称距离TSP问题，可以用另一个方法 来表示它的可行解：用n个城市的一个排列表示商 人按这个排列序推销并返回起点。若固定一个城市 为起点，则需要n个枚举。以计算机秒可以完
成个城市所有枚举为单位，则枚举时城市数与计 算时间的关系如表所示。
城市数 24 25 26 27 28
29
30
计算时间 1s 24s 10min 4.3h 约4.9d 136.5d 约10.8年
参考书:
１．《 现代优化计算方法 》— 邢文训 谢金星
２．《 非数值并行算法 第一册 — 模拟退火算法》
— 康立山 谢云等
1.1 组合最优化问题
组合最优化是通过对数学方法的研究去寻找离散 事件的最优编排、分组、次序或筛选等，该问题可 用数学模型描述为：
min f ( x) s.t. g( x) 0
通过表可以看出，随着城市数的增多，计算时间 增加非常之快，当城市数增加到时，计算时间约 .年，已无法接受。所以，我们必须对计算复杂 性理论有所了解，这也是最优化的理论基础。只有 了解所研究问题的复杂性，才能有针对性地设计算 法，进而提高优化效率。主要简单介绍一下多项式 时间算法和指数时间算法。
一个算法常常是针对一个问题来设计的，而若 用计算机求解，则必须对问题中的参数赋予具体 值．问题中的参数赋予了具体值的例子称为问题 的实例．一个问题通过它的所有实例表现．
择走这条路．i j 的约束可以减少变量的个数，使 得共有n(n1)个决策变量. (1.5)要求商人从城市i
出来一次，(1.6)要求商人走入城市 j只有一次.
(1.5)和(1.6)表示每个城市经过一次．仅有(1.5)和 (1.6)的约束无法避免回路的产生，(1.7)约束商人 在任何一个城市子集中不形成回路．此时
定义1.1 假设问题和解决该问题的一个算法已 经给定，若给定该问题的一个实例 I，存在多项式 函数 g(x)，使得成立，我们称该算法对实例 I 是多项式时间算法；若存在 g(x) 为多项 式函数且 对该问题任意的一个实例 I，都有 成立．则称 该算法为解决该问题的多项式时间 算法．
当不存在多项式函数 g(x) 使成立时，称相应 的算法是指数时间算法．
i j
(1.4)
n
s.t . xij 1 i 1,2, , n
j 1
(1.5)
n
xij 1 j 1,2, , n
i 1
(1.6)
nn
xij n
(1.7)
i 1 j1
xij 0 ,1, i, j 1, , n, i j (1.8)
其中(1.8)中的决策变量 xij=1 表示商人行走的路线 包含从城市i 到城市j 路径，xij=0 表示商人没有选
相比较而言，随着变量的增加，多项式函数增 长的速度比指数函数增长的速度要慢得多，因此， 我们更喜欢多项式函数 。例如，随着n的增加， nkk 的整数的增长速度远比an a 1为实 数增 长的速度慢。
复杂性分析的一个研究方向是对算法进行评价。 对于解决一个问题的算法，如何评估这个 算法 的性能？复杂性分析是评价算法的一个指标。复 杂性分析是通过从最坏实例的条件下，确定 是否存在多项式函数 g(x)，即可以叙 述为：对 一个求解问题的算法，是否存在多项 式函数 g(x) 和常数，使得对问题的任意一个实例I，都有 成立。
f (x)min f (x) xF 的可行解x 称为该问题的 最优解．组合最优化的特点是可行解集合为有限 点集．
例1.1 o-1背包问题(knapsack problem)
设有一个容积为b的背包，n个体积分别为ai (i1,2,,n)，价值分别为ci (i1,2,,n)的物品，如 何以最大的价值装包？这个问题称为o-1背包问 题．用数学模型表示为：
其中，f(x)为目标函数， g(x)为约束函数，x为决策 变量， D表示有限个点组成的集合．
一个组合最优化问题可用三参数(D , F , f )表示， 其中D表示决策变量的定义域，F 表示可行解集合 F x xD, g(x)0，F 中的任何一个元素称为该 问题的可行解，f 表示目标函数．满足
n
max ci xi
(1.1)
i 1
n
s.t . ai xi b (1.2)
i 1
xi 0 ,1, i 1, , n
(1.3)
其中xi 1表示装第i个物品，xi 0表示不装．此时， D 0 , 1n，F为D中满足(1.2)的可行解集．
例1.2 旅行商问题(TSP,traveling salesman problem)
一个商人欲到n个城市推销商品，每两个城市i 和j之间的距离为dij，如何选择一条道路使得商人 每个城市走一遍后回到起点且所走路径最短．
TSP可分为对称和非对称距离两大类问题．
当 dij=dji ,i,j 时，称为对称距离TSP，否则称为 非对称距离TSP．对一般的TSP，它的一种数学模 型描述为：
min dij xij
衡量一个算法的好坏通常是用算法中的加，减， 乘，除和比较等基本运算的总次数同实例在计算 机计算时的二进制输入数据的大小关系来度量．
我们对实例的二进制输入长度和Hale Waihona Puke Baidu法的基本计
算总次数是粗略估计的，一般是给予一个上 限．一个求解实例 I 的算法的基本计算总次数 C( I )同实例I 的计算机二进制输入长度d( I ) 的关 系常用符号C( I ) f (d( I )) O(g(d( I )))表示，它 的含义是：求解实例 I 的算法的基本计算总次数 C( I ) 是实例输入长度d( I ) 的一个函数，这个函 数被另一个函数g(x) 控制，即存在一个函数g(x) 和一个正常数，使得C( I ) g(d( I )) ．其 中g(x)的函数特性决定了基本计算总次数 的性 能．
D 0 , 1nn1．
TSP问题解的另一种表示法为循环排列
D F s (i1, i2, , in ) | i1, i2, , in 是 1,2, , n 的一个排列
数学模型为：
n
min L
di ji j1
j 1
(记 in1 i1 )
1.2 计算复杂性的概念
由于有些优化算法所需的计算时间和存储空间难 以承受，因此算法可解的问题在实践中并不一定可 解。由组合最优化问题的定义可知，每一个组合最 优化问题都可以通过枚举的方法求得最优解。枚举 是以时间为代价的，有的枚举时间还可以接受，有 的则不可能接受。
例如对非对称距离TSP问题，可以用另一个方法 来表示它的可行解：用n个城市的一个排列表示商 人按这个排列序推销并返回起点。若固定一个城市 为起点，则需要n个枚举。以计算机秒可以完
成个城市所有枚举为单位，则枚举时城市数与计 算时间的关系如表所示。
城市数 24 25 26 27 28
29
30
计算时间 1s 24s 10min 4.3h 约4.9d 136.5d 约10.8年
参考书:
１．《 现代优化计算方法 》— 邢文训 谢金星
２．《 非数值并行算法 第一册 — 模拟退火算法》
— 康立山 谢云等
1.1 组合最优化问题
组合最优化是通过对数学方法的研究去寻找离散 事件的最优编排、分组、次序或筛选等，该问题可 用数学模型描述为：
min f ( x) s.t. g( x) 0
通过表可以看出，随着城市数的增多，计算时间 增加非常之快，当城市数增加到时，计算时间约 .年，已无法接受。所以，我们必须对计算复杂 性理论有所了解，这也是最优化的理论基础。只有 了解所研究问题的复杂性，才能有针对性地设计算 法，进而提高优化效率。主要简单介绍一下多项式 时间算法和指数时间算法。
一个算法常常是针对一个问题来设计的，而若 用计算机求解，则必须对问题中的参数赋予具体 值．问题中的参数赋予了具体值的例子称为问题 的实例．一个问题通过它的所有实例表现．
择走这条路．i j 的约束可以减少变量的个数，使 得共有n(n1)个决策变量. (1.5)要求商人从城市i
出来一次，(1.6)要求商人走入城市 j只有一次.
(1.5)和(1.6)表示每个城市经过一次．仅有(1.5)和 (1.6)的约束无法避免回路的产生，(1.7)约束商人 在任何一个城市子集中不形成回路．此时
定义1.1 假设问题和解决该问题的一个算法已 经给定，若给定该问题的一个实例 I，存在多项式 函数 g(x)，使得成立，我们称该算法对实例 I 是多项式时间算法；若存在 g(x) 为多项 式函数且 对该问题任意的一个实例 I，都有 成立．则称 该算法为解决该问题的多项式时间 算法．
当不存在多项式函数 g(x) 使成立时，称相应 的算法是指数时间算法．
i j
(1.4)
n
s.t . xij 1 i 1,2, , n
j 1
(1.5)
n
xij 1 j 1,2, , n
i 1
(1.6)
nn
xij n
(1.7)
i 1 j1
xij 0 ,1, i, j 1, , n, i j (1.8)
其中(1.8)中的决策变量 xij=1 表示商人行走的路线 包含从城市i 到城市j 路径，xij=0 表示商人没有选
相比较而言，随着变量的增加，多项式函数增 长的速度比指数函数增长的速度要慢得多，因此， 我们更喜欢多项式函数 。例如，随着n的增加， nkk 的整数的增长速度远比an a 1为实 数增 长的速度慢。
复杂性分析的一个研究方向是对算法进行评价。 对于解决一个问题的算法，如何评估这个 算法 的性能？复杂性分析是评价算法的一个指标。复 杂性分析是通过从最坏实例的条件下，确定 是否存在多项式函数 g(x)，即可以叙 述为：对 一个求解问题的算法，是否存在多项 式函数 g(x) 和常数，使得对问题的任意一个实例I，都有 成立。
f (x)min f (x) xF 的可行解x 称为该问题的 最优解．组合最优化的特点是可行解集合为有限 点集．
例1.1 o-1背包问题(knapsack problem)
设有一个容积为b的背包，n个体积分别为ai (i1,2,,n)，价值分别为ci (i1,2,,n)的物品，如 何以最大的价值装包？这个问题称为o-1背包问 题．用数学模型表示为：