材料力学第11章试题及答案 压杆稳定

π × 50 2 N = 471.4kN 4
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 80 = 214.4MPa π FBcr = σ cr A = 214.4 × × 40 2 N = 269.4kN 4 ∴托架的临界力为 7 7 Fcr = FBcr = × 269.4 = 118.8kN 6 6 6 6 F= × 70kN = 158.7kN (2) FB = 7 7 F 269.4 n = Bcr = = 1.7 < nst = 2 ∴ 拖架不安全。 158.7 FB
11-1
11-5
图示铰接杆系 ABC 由两根截面和材料均相同的细长杆组
成。若由于杆件在 ABC 平面内失稳而引起毁坏，试确定载荷 F 为最 大时的 θ 角（假设 0 < θ < π / 2 ）。
FN = F 2 cos 45o = F
(
)
2
手轮
对 CD 杆，由 ∑ M C = 0 ： 可得 F = 7 FB 6
第十一章
11-2
压杆稳定
F B
θ
两端固定的矩形截面细长压杆，其横截面尺寸为
A
90
h = 60 mm ， b = 30 mm ，材料的比例极限 σ p = 200 MPa ，弹性模量
E = 210 GPa 。试求此压杆的临界力适用于欧拉公式时的最小长度。
β
C
解： 由于杆端的约束在各个方向相同，因此，压杆将在惯性矩最小的 平面内失稳，即压杆的横截面将绕其惯性矩为最小的形心主惯性轴转 动。
故 λ0 < λ < λp ，为中柔度杆，
σ cr = a − bλ = 304 − 1.12 × 80 = 214.4MPa ′ > σ cr ，即此结构的强度受拉 ∴ 比较拉杆和压杆的临界应力可知 σ cr
杆控制，即结构的许用载荷为
′ = σ cr ′ A = 235 A = 235 [ F ] = Fcr
π 2 EI
2 l BC
=
π 2 EI 2 l AC sin 2 β
λmax =
由此得到
l≥
μl
imin
≥π
tanθ = cot 2 β
即
σp
30 × 10 −3 × π 2 3 × 0.5 210 × 109 m = 1.76m 200 × 10 6
θ = arctan cot 2 β
(
)
πimin μ
E
σP
=
πb
E
2 3μ σ p
=
故此压杆适用于欧拉公式时的最小长度为 1.76m。
11-6
图 示 为 由 五 根 直 径 d = 50 mm 的 圆 形 钢 杆 组 成 边 长 为
a = 1 m 的正方形结构，材料为 Q235 钢，比例极限 σ p = 200 MPa ，屈
服应力 σ s = 235 MPa ，弹性模量 E = 200 GPa 。试求该结构的许用载 荷 [F ] 。 解： 1．受力分析 由结构和载荷的对称性，可知：AB、AD、BC、DC 四杆的轴力相 同，且为压杆，BD 杆为拉杆 由结点 C 的平衡可求得压杆中的轴力
丝杆
由结点 B 的平衡可求得拉杆中的轴力 ′ = 2 FN cos 45o = F FN
FB sin θ × 600 − F × (600 + 300 ) = 0
C A来自百度文库
600 B l
300
2．求结构的临界载荷 对拉杆， ′ = σ s = 235MPa σ cr
对压杆，
对 AB 杆，其柔度为 μl l 4l 4 × 800 λ= = = = = 80 i 40 πd 4 64 d
i min =
欧拉公式适用于 λmax
I min = A ≥ λp ，即
hb 3 12 = b bh 2 3
E
解： 最合理的情况为 AB、BC 两杆同时失稳，此时 F 最大。 π 2 EI π 2 EI FcrAB = F cosθ = 2 = 2 l AB l AC cos 2 β FcrBC = F sin θ = 两式相除得到
11-2
500
F d
πd 2 4
E
λp = π
λ0 =
σp
=π
200 × 103 = 99.3 200
查表得： a = 304 MPa ，b = 1.12 MPa ， λp = 100 ， λ0 = 62 ∴ λ0 < λ < λp ，AB 杆为中柔度压杆， 故有
C
FN
θ
F
a − σ s 304 − 235 = = 61.6 b 1.12 μl μa 1 × 1 × 103 = = 80 λ= = i d 4 50 / 4
11-8
图示托架，AB 杆的直径 d = 4 cm ，长度 l = 80 cm ，两端铰
支，材料为 Q235 钢。 (1) 试根据杆 AB 的稳定条件确定托架的临界力 Fcr ； (2) 若已知实际载荷 F = 70 kN ，杆 AB 规定的稳定安全因数
n st = 2 ，试问此托架是否安全？
解： (1)有几何尺寸可得 sin θ = 7 4