电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路

对正弦稳态电路，可采用相量形式表示为
U 1 [ R1 j ( L1 M )] I



U 2 [ R2 j ( L2 M )] I



U [ R1 R2 j ( L1 L2 2M )] I
R1
L1-M u1 R2 L2-M u2
u
U [ R1 R2 j ( L1 L2 2M )] I
jM

+

RL jXL
U1
U2
_
2`
1‘
2、电路方程

U 1 + ( R1 jL1 ) I1 + jM I 2


jM I1 ( R2 jL2 RL jX L ) I 2 0

3、原边等效电路
I1 1

2 I2

R1
jL1
R2
jL2
jM
+

RL jXL
无互感等效电路
R1 L1 R1
L1-M
u1
u1 u M
R2
u2 L2
u
R2 L2-M u2
di u u1 u2 ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) dt
R1
L1-M u1 R2 L2-M u2
u
di u u1 u2 ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) dt
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2’ _
1’
1
u21
+
2
L1为载流线圈
i1为施感电流
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
1、自感磁通链 线圈1中的电流产生的磁通在穿越自身的线圈时， 设为 11 所产生的磁通链。
2、互感磁通链 设为 21 11 中的一部分或全部交链线圈2时产生的磁通链。
+
2
线圈彼此耦合的情况:
线圈1中的电流i1产生自感磁通链ψ11和互感 磁通链ψ21, 同样线圈2中的电流i2也产生自感磁通 链ψ22和互感磁通链ψ12 （图中未标出）.
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
+
2
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21


I1
+

Z11
-
U1
(M )2 Y22
4、从副边看进去的含源一端口的一种等效电路
Z M Y11 U1 I2 2 Z 22 Z M Y11


I 2 0 得到此含源一端口在端子2-2‘的开路电压 jMY11 U 1


戴维宁等效阻抗 Zeq=R2 + jωL2 + (ωM)2Y11
M2 i1 L1 L2 i2
2
增强型
2’
削弱型
2’ 2
1’
1 i
1
M3
2 i2 L2
1’ 1
M4 i1 i2 L2
L1
增强型
1’
L1
削弱型
2’
1’
2’
四、互感电压
如果两个耦合的电感L1和L2中有变动的电流， 各电感中的磁通链将随电流变动而变动。设L1和 L2的电压和电流分别为u1、i1和u2、i2，且都取关 联参考方向，则有：
第十章 含有耦合电感的电路
§10.1 互感 §10.2 含有耦合电感电路的计算**
§10.3 空心变压器
§10.4 理想变压器
电感元件的电压和电流关系
L N

i1 i1
- e + - u +
d di L u = -e N dt dt
d e N dt
§10.1 互感
一、互感(互感系数)
L1 i1
M u12 M
L2
u21
di1 u 21 M dt
i2
di2 u12 M dt
五、互感电压的等效受控源表示法
当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下， 电压、电流方程可用相量形式表示:
U1 jL1 I1 jM I 2

U 2 jM I1 jL2 I 2

U 1 + ( R1 jL1 ) I1 + jM I 2


Z11 I1 Z M I 2


jM I1 ( R2 jL2 RL jX L ) I 2 0
jM ZM I2 I1 I1 R2 jL2 RL jX L Z 22
jL1
jM I 2





jL2
I1
jM I1


I2
U1
U2
六、耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的 比值的几何平均值定义为耦合因数，记为k
| 12 | | 21 | k
def
11
22
k
def
M 1 L1 L2
k的大小与两个线圈的结构、相互位置以及周 围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能 改变耦合因数的大小。
§10.2 含有耦合电感电路的计算
一、两个互感线圈的串联
1、反向串联 R1 L1 u1 u M
R2 u2 L2
di di u1 R1i ( L1 M ) dt dt di R1i ( L1 M ) dt di di u 2 R2i ( L2 M ) dt dt di R2i ( L2 M ) dt
= L1i1± M i2
2 21 22
= ± M i1 +L2i2
上式表明，耦合线圈中的磁通链与施感电流 成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加 的结果。
三、同名端
1、同名端的引入 ψ1 = L1i1± M i2 ψ2 = ± M i1 +L2i2 M前的符号是说明磁耦合中，互感作用的两种可能性。 “+”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，称为互 感的“增助”作用；
di1 u11 L1 dt di2 u12 M dt
u21是变动电流i1在L2中产生的互感电压。
所以耦合电感的电压是自感电压和互感电压叠
加的结果。 互感电压前的“+”或“-”号的正确选取是写出 耦合电感端电压的关键.
选取原则可简明地表述如下： 如果互感电压 “+”极性端子与产生它的电流 流进的端子为一对同名端，互感电压前应取 “+ ”号， 反之取 “-”号。
L1
N1
L2
N2
11
i1
21
1‘
*
i1
1
2‘ _
u21
*
+
i2
2
L1
N1
L2
N2
11
i1
21
1’ 1 i1 M i2
*
2
i1
1
2’ _
u21
*
+
i2
2
u1 1’
L1
L2
u2 2’
ψ1= L1 i1 + M i2 ψ2= M i1 + L2 i2
同名端的增加和削弱型的判断:
1
1 i1 L1 M1 i2 L2 2
R1
L1-M u1
u
R2
L2-M u2
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )
反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入 阻抗都比无互感时的阻抗小（电抗变小），这是由于 互感的削弱作用，它类似于串联电容的作用，常称为 互感的“容性”效应。
2、顺向串联 每一耦合电感支路的阻抗为：

U =1.52 / -75.96°A I R1 R2 j ( L1 L2 2M )

K
A

j7.5Ω
3Ω j6Ω
B
j12.5Ω

I
+
5Ω -
U
- j6Ω
当开关闭合时,如何处理? 计算AB两点间的电压 A

3Ω
B
j18.5Ω

B
5Ω
-
I
+
j13.5Ω
U
K
j7.5Ω

3Ω
I
+
j6Ω
U1
U2
_
2`
1‘
令Z11 = R1+jωL1，称为原边回路阻抗 Z22 = R2+jωL2+RL+jωXL，称为副边回路阻抗 ZM = jωM Y11= 1/Z11
Y22= 1/Z22
Z11 = R1+jωL1 ZM = jωMY11= 1/Z11

Z22 = R2+jωL2+RL+jωXL Y22= 1/Z22
Z1 R1 j ( L1 M )
u
R1 u1
L1
M
R2
u2
L2
Z 2 R2 j ( L2 M )
而
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )
二、并联
1、同侧并联

关键:找3条支路的节点
1 jωM × 1


I3

1
I1
jM
同(异)名端为共端的T型去耦等效
i1
+ u – * L1 M i2
*
L2
+ u –


I1
I2
j(L2－M) jM
j(L1－M)
关键:找3条支路的节点
例：电压U=50V，求当开关K打开和闭合时的电流。
K j7.5Ω

3Ω j6Ω
I
+
j12.5Ω

5Ω -
U
解：当开关打开时
两个耦合电感是顺向串联
22 L2i2
12 M12i2 21 M 21i1 互感磁通链 上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。 由于互感具有互易性质，即M12= M21 ， 当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
U1 U1 I1 2 Z11 Z M Y22 Z11 (M ) 2 Y22



Z M Y11 U1 I2 2 Z 22 Z M Y11


U1 U1 I1 2 Z11 Z M Y22 Z11 (M ) 2 Y22 Z M Y11 U1 I2 2 Z 22 Z M Y11


I3

U
jL1
R1 0
I2
jL2
R2
I1

I2
jω(L1-M)
R1 0
jω(L2-M)
R2
U
去耦等效电路(无互感的等效电路)
2、异侧并联

I3

1
I1
jM


I3
1 -jωM

பைடு நூலகம்

U
jL1
R1 0
I2
jL2
R2
I1

I2
jω(L1+M) R1
jω(L2+M) R2
U
0
去耦等效电路(无互感的等效电路)
“-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。
采用同名端标记方法。
为了便于反映“增助”或“削弱”作用和简化图形表示，
同名端示意图：
1 2
1
2
1’
2’
1’
2’
1
2
1
2
1’
2’
1’
2’
电流从同名端流进（或流出）各自的线圈时， 互感起增助作用。
2、同名端
对两个有耦合的线圈各取一个端子，并用相同 的符号标记，这一对端子称为“同名端”。 条件:当一对施感电流从同名端流进（或流出）各自的 线圈时，互感起增助作用。
+
2
耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁 通链两部分的代数和， 如线圈1 和2 中的磁通链分别为1和 2 1 11 12 则有
2 21 22
二、互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种 磁通链都与产生它的施感电流成正比， 即有自感磁通链： 11 L1i1
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt
令自感电压 互感电压
di1 u11 L1 dt di2 u12 M dt
u 22
di2 L2 dt
di1 u 21 M dt
di2 u 22 L2 自感电压 dt di1 u 21 M 互感电压 dt 说明 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，
1、原边回路（或初级回路） 一个线圈作为输入，接入电源后形成的一个回路。 2、副边回路（或次级回路）
另一线圈作为输出，接入负载后形成另一个回路。
3、心子
空心变压器的心子是非铁磁材料制成的。
二、空心变压器的电路模型
1、电路模型 负载设为电阻和电感串联。

I1 1
2 I2

R1
jL1
R2
jL2


电流 I 为



U I R1 R2 j ( L1 L2 2M )
R1 u
L1-M u1 R2 L2-M
u2
每一条耦合电感支路的阻抗分别为：
Z1 R1 j ( L1 M )
Z 2 R2 j ( L2 M )
电路的输入阻抗:
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )




Z11 (M )2 Y22 是原边的输入阻抗 第一个式子中的分母
其中 (M )2 Y22 称为引入阻抗，
它是副边的回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与Z22相反，即感性（容性）变为容性 （感性）。
原边等效电路

U1 I1 Z11 (M ) 2 Y22
j12.5Ω

5Ω -
U
两个耦合电感相当于异侧并联 利用去耦法，原电路等效为
- j6Ω 3Ω

I
+
j13.5Ω

j18.5Ω
5Ω -
U
I 7.79 / -51.50°A

§10.3 空心变压器(不讲)
一、变压器的结构
变压器是电工、电子技术中常用的电气设备，它 是由两个耦合线圈绕在一个共同的心子上制成。