折叠与翻折问题(答案参考)
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折叠与翻折问题
例1.将宽度为a 的长方形纸片折叠成如图1-1所示的形状， 观察图中被覆盖的部分△MEF. (1) △MEF 是什么三角形？ 拓展：设∠BFE=α，△MEF 的面积会随着α的变化吗？
同类练习：请分别求出α=45°与30°时，求 △MEF 的面积.
(3)如图1-2当点B 落在AD 上（即B'与M 重合）时，
连接BE,猜想四边形BFME 的形状并证明.
(4)如图1-3将矩形ABCD 对折，折痕为GH ，再沿AF 的点B'）,若a =
,则折痕AF 的长为多少？
变式1：如图1-4若四边形ABCD 是边长为2的正方形，
其其余条件不变，求GB'的长.
变式2：如图1-5，若G 、H 分别为矩形ABCD 边，CD 、AB 上，
α
a
M
B'
A'
B
C D A
F
E 图1-1 αM
B'A'B C D A F
E 图1-3
a H B'B
C
D A F
a H G
B'B C D A F
图1-4
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（如图中的点B'）,若a =,则折痕AF 的长为多少？
例2：矩形ABCD 中，AB=10，BC=8，P 为AD 边上的一点，
沿直线BP 将△ABP 翻折至△EBP 处（点A 落到点E 处）。
（1）如图2-1，当点E 落在CD 边上，则∠EBC 的正切值为 。
变式：∠EPD 的正切值为 。
变式1:(2）如图2-2，PE 、BE 分别与CD 相交于点O 、H ，且
OE=OD ，则AP 的长为 。
变式2：（3）如图，当点P 为AD 中点时，联结DE ，则图中与∠APB 相等的角的个数为 。
a
G
H
B'
B
C
D A
F
图2-1
E
D A
P
H
O
E D A P 图2-2
E
D
P
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例3：如图3-1，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=6,点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形ABCD 内的点F 处，联结CF ，求∠ECF 的余弦值
和CF 的长。
练习1：如图4，在RT △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，将△CMN 沿直线MN 翻折，使得点C 的对应点E 落在射线CD 上。如果∠B ＝α，那么∠AME 的度数为多少？（用含α的代数式表示）。
练习2：如图，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在边AC 上， 将△ABD 沿BD 翻折，点A 落在点E 处，联结AE 、CE 。
（1） 如图5-1,当点D 为AC 中点时，猜想△ACE 是什么三角形并证明。
图2-3 F D
A C 图3-1 E
D
A C H 图4
B C A D
图5-1 B
C
A D 图5-2
B
C A
D 图5-3
图形的翻折公开课教案
D E C B A 图一 C B 图二 【教学设计】 初三数学总复习——图形的翻折 上海市风华初级中学程慧 一、教学目标: 1、理解图形翻折的直观意义； 2、认识平面图形翻折的过程,在实例中理解轴对称的意义；根据要求能画出翻折后的图形； 3、知道翻折后图形的形状、大小保持不变； 二、教学重点与难点： 教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形 教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题。 三、教学方法和手段： 主要采用讨论式和启发式教学方法，利用多媒体辅助教学。 四、教学过程 一）复习引入 如图一，画出△ABC沿着直线DE翻折后的图形。 如图二，△ABC沿着某条直线翻折后，点A落在点M处，请画出折痕及翻折后的图形。【黑板演示，理清依线翻折与依点翻折的不同作图方法；引导学生归纳翻折后图形的性质】 翻折后图形的性质： 1、翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变，并且对应角、对应线段相等 2、折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的对称轴 3、翻折后，图形对应点的连线段被对称轴垂直且平分 二）画一画 1、如图1已知：在Rt△ABC中，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM翻折，点 A落在点D处，画出翻折后的图形。 2、如图2已知：Rt△ABC中，CM是斜边AB的中线，将△ABC 沿某直线折叠，使点C落 在M上，折痕与AC的交点为E，与直线BC的交点为F，连接EM，CF。画出翻 折后的图形。
M C B A B E C A B ′ G D F D 【关键是找出对称点，利用对称性画出翻折后的图形； 学生画，教师用多媒体演示，进行点评 总结】 三）例题精讲 例题：如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在'C 的位 置上，'BC 交AD 于G （1）求G 'C 的长度； （2） 若再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN （如图），EN 交AD 于点M ，求ME 的长。 【教师精讲，黑板板书】 四)课内巩固练习 1、在Rt △ABC 中，∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A 等于_________度。 2、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32 AB ，则AE 的长为 。 3、在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E ，那么EC 的长为 。 【 学生用实物投影分析】 450E D C A B 第3题 第2题 题
折叠问题练习题(含答案)
折叠问题练习题 1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则 2EG FH ==，22GH =． 因为二面角D －AC －B 为直二面角， 2 2 2 2 2cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-? 222(22)(2)(2)012.=++-= 又在EOF ?中，2OE OF ==， 22222222(23)1 cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-???． 120EOF ∴∠= ． （Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ． ∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ． ∴ EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ?EGM 中，90EGM ∠= ，2EG =，1 12 GM OE = =， ∴ tan 2EG EMG GM ∠==．∴arctan 2EMG ∠=． 所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分） 如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ? ∠=，2,4AB AD ==将 CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。 （I ）证明：在ABD ?中，2,4,60AB AD DAB ?==∠= 222 2 2 22cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE ∴=+-?∠=∴+=∴⊥ 又 平面EBD ⊥平面ABD 平面EBD 平面,ABD BD AB =?平面ABD AB ∴⊥平面EBD DF ? 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知 ,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥ 从而DE D ⊥在Rt DBE ?中， 23,2DB DE DC AB ==== A B C D E F O O F A B C D E C D M H G O F A B E G H M A B C D E F O
中考数学专题复习 题型(九)折叠、旋转问题解析版
题型（九）折叠、旋转问题 1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为． 【答案】9 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm， 则CF= 2cm． 4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2 DE=，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形''' +=( ) CE CG CE，则'' DE F G，此时点' G在AC上，连接'
1 【答案】AA 5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30?和45?角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1） ，点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0?到60?的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号） 【答案】12．1－18． 6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 . . 7.（2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD 中，10AB AD ==，连接BD ， ∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为''BC E ?，当射线'BC 和射线'BE 都与线段AD 相交时，设交点分别F ，G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ▲ .
翻折问题参考答案
翻折问题 一．解答题（共1小题） 1．（2014?西城区一模）阅读下列材料： 问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标． 小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折 痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（﹣，0）， 所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1） 请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标； （2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； 参考小明的做法，解决以下问题： （3）将矩形沿直线y=﹣x+n折叠，求点A的坐标； （4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围． 考点：一次函数综合题． 分析：（1）如图1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长； （2）作OA的中垂线即可； （3）如图，设直线y=﹣x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，从而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以=，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得 A点的坐标． （4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围， 解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）； （2）如图所示：
几何翻折变换(折叠问题)(答案参考)
专题：几何翻折变换（折叠问题） 1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ =。 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11t6m = -- 。∴2 111 m t t6 66 =-+（0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P 1113 - ，6 11+13 ，6）。 2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=7 4 。 ∴ 7 AG7 4 tan ABG AB624∠===。 （3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=1 2 AD=4。 ∵tan∠ABG=tan∠ADE=7 24 。∴EH=HD× 7 24 =4× 77 = 246 。
中考数学专题图形的翻折
中考数学专题图形的翻折 1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′C′的位置。若∠EFB=65°，则∠AED′=___________°. 2.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若∠ADC=20°，则∠BDC的度数为______________. 3.如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠(点E、F是边CD上两点)，使点C与D在正方形内重合于点P处，则∠EPF=____________度。 4.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°.现将△ADE沿DE折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A，则∠BDA的度数为_________. 5.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平,A与A重合,若∠A=75°，则∠1+∠2=_______°. 6.如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是________________.
7.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC 的中点E处，则梯形的周长为____________. 8.平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_______________. 9.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。若 AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是______________cm2. 10.如图，在△ ABC中， AB=AC=5， BC=6，点E、F 分别在AB、BC 边上，将△BEF 沿直线EF翻折 后，点B落在 对边AC的点B′处，若△BFC与△ABC相似，那么BF=__________. 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3；点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处；当△AEF是直角三角形时，BD的长为_____________. 12.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，延长AD到E，使得AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=_______________. 13.如图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥BD，那么线段DE的长为_____________.
矩形翻折问答整编及答案解析
重庆南开中学初2015级九年级(下)半期考试 数 学 试 题 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑． 1．2的相反数是( ) A ．2 B ． 21 C ．-2 D ．2 1- 2．计算3 2 2· x x -的结果是( ) A ．5 2x - B ．5 2x C ．6 2x - D ．6 2x 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 4．如图，点O 在直线AC 上，BO ⊥DO 于点O ，若?=∠1451，则3∠的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 5．若a(a ≠0)是关于方程022 =-+a bx x 的一个根，则b a +的值为( ) A ．2 B ．-2 C ．0 D ．4 6．如图，已知DE ∥BC ，且=DB AD ：2:1，则△ADE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1:4 B ．2:3 C ．4:6 D ．4:9
7．下列说法正确的是( ) A ．调查重庆市空气质量情况应采用普查的方式 B ．若A 、B 两组数据的平均数相同，A 组数据的方差2 A S =0.03， B 组数据的方差2 B S =0.2，则8组数据比A 组数据稳定 C ．南开中学明年开运动会一定会下雨 D ．为了解初三年级24个班课间活动的使用情况。李老师采用普查的方式 8．如图， O 是正方ABCD 的外接圆，点E 是弧AB 上任意一点，则DEC ∠的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．48° D ．50° 9．关于x 的方程 11 =+x a 的解是负数，则口的取值范围是( ) A ．a 图形的翻折--知识讲解 【学习目标】 1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形． 【要点梳理】 要点一、轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴． 要点诠释： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定． 要点二、轴对称 1．轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点．要点诠释： 1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变． 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．要点三、轴对称与轴对称图形的性质 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段． 要点四、对称轴的作法 在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．要点诠释： 在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它 们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂 直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【典型例题】 类型一、判断轴对称图形 1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（） 中考数学总复习专题---翻转折叠问题 【专题点拨】 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。 【解题策略】 有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算. 【典例解析】 类型一：三角形折叠问题 例题1：（·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得 ∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（） A．4 B． C．3D．2 【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠AB C， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴=， ∴=， ∴CD=，BD=BC﹣CD=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴=，即=， ∴DM=，MB=BD﹣DM=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴=， ∴BE===． 故选B． 变式训练1： （·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）． 类型二：平行四边形折叠问题 例题2：（·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B ＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______． 翻折图形题一 一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE和AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____（不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=____0.5_____． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE和BC交于点F，则CF的长为____2____． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=____15_____． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=___25/4______． 7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=____5根号3/3_____cm，∠DCE=___30°__． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_____60____度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_． 二．选择题（共9小题） 10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（A） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（C）cm． 第18题――图形翻折 图形翻折 1、如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是 ． 2、如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=50°，则∠BDF 的度数是 ． 3、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为 4、如图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是 ． 5、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 ． 6、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在oBC 若BC=6，则折痕在△ABC 内的部分DE 的长为__________ 7、已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，点D 是边上一点，连BD ，若沿直线BD 翻折，点A 恰好落在边BC 则AD ：DC= ． 8、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点， 折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S ∶2S 的值是 N A C B E B E C A B ′ G D F 9、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是 . 10、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ? ∠=将 梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作' B 点，连 结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ? ∠= ，则:EO FO = . 11、等边△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形 使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则 ∠CMN = 度． 12、有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9,AD=6,将纸片折叠，使得AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为 ． A B A D B D B D C E C E C 13、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =10，AD =6， 将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再 将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于 F ， 那么△CEF 的面积是 。 14、如图1，在等腰直角△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上， 060=∠ADB ，将△ADC 沿AD 翻折后点C 落在点C /，则AB 与 BC /的比值为________. 15、△ABC 中，BC=2，∠ABC=30°，AD 是△ABC 的中线，把△ABD 沿AD 翻折到同一平面，点B 落在B′的位置，若AB′⊥BC ，则B′C=__________． 图2 '第12题图 翻折问题 ?解答题（共1小题） 1. （2014?西城区一模）阅读下列材料： 问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置.已知OB=10 ,BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD （含端点）交于点E,与边OB （含端 点）或其延长线交于点F,求点A的坐标. 折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n）, F （^, k 0）,所以在Rt△ EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt△ AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1） 请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标； （2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； 参考小明的做法，解决以下问题： （3）将矩形沿直线y= - -x+n折叠，求点A的坐标； （4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围. 考点：一次函数综合题. 分析：（ 1）如图1，在Rt△ EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt△ AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长； （2）作OA的中垂线即可； （3）如图，设直线y=-吉x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△ AEF ◎△ OEF 可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由/ EAF=90。可知/ 1+ / 3=90°从而求得/ 1 = / 2,得出△ DEA GAF所以詈愕，由FG=CB=6 FA GF 解得DA=3，从而求得A点的坐标. （4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围， 小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设 初二图形的翻折专题 1.如图，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，连结AE， △ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____． 2.如图1，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形， 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE 最小，则这个最小值为_________． 3.如图，将正方形ABCD沿MN折叠，使点D落在AB边上， 对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折 痕MN的长为_________． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为AD边上一点， 将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD， 则AP的长为_______． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把矩形ABCD沿直线 MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AE＝2AM，那么EN 的长等于． 6. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＜BC ，点M 、N 分别在 AD 、BC 上，沿直线MN 将四边形DMNC 翻折，点C 恰好与 点A 重合．如果此时在原图中△CDM 与△MNC 的面积比是 1∶3，那么MN DM 的值等于___________． 7. 如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上， 则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 8. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠C ＝90°，点D 是BC 的 中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折 痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么DE CF 的值为____________． 9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处， 连结AC ′．直线AC ′与CB 的延长线相交于点F ． 如果∠DAB ＝∠BAF ，那么BF ＝______________． 2020中考数学 几何难点突破：图形的翻折、旋转问题例1. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿 着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处， 且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交 于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数 式表示）． 图1 答案：． 例2. 如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，则PE＋PF的最 小值是______． 图1 答案：PE＋PF的最小值为6－3＝3． 例3. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD ＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至 D'，那么线段DD'的长为． 图1 答案：12 5 例4. 如图1，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB ＝100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA= 度． 图1 答案：80°． 例5. 如图1，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、 Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm． 图1 答案:1或2． 例6. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2．当∠ B＝60°时，如图2，AC等于（）． ；(B)2；(C) ；． 图1 图2 答案：A 翻折图形题一 一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____ （不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ= ____0.5_____ ． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为____2____ ． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____ ． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB= ____15_____ ． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF= ___25/4______ ． 7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE= ____5根号3/3_____ cm，∠DCE=___30°__ ． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A 落在BC上的A1处，则∠EA1B= _____60____ 度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_ ． 折叠问题中的角度运算 1、三角形纸片ABC中,∠A=55°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内(如图),则∠1+∠2的度数为_____度。 分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得． 解：∠A+∠B+∠C=180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°①， ∠C+∠CED+∠CDE=180°，∠CED+∠CDE=180°-∠C=180°-50°=130°②， ∠B+∠A+∠CED+∠CDE+∠1+∠2=360°③， 把①②分别代入③得75°+55°+130°+∠1+∠2=360°，得∠1+∠2=100° 2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处。若∠A=22°，则∠BDC等于______。 分析：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，∴∠B=90°－∠A=68°。 由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC， ∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°。 3、如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于______。 分析：根据折叠前后角相等可知． 解：∵∠1=50°，∴∠AEF=180°-∠BFE=180°-(180°-50°)÷2=115°． 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 4、如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=56°，则∠EGF应为______. 分析：本题根据平行线的性质和翻折的性质，求解即可． 解答：解：因为折叠，且∠1=56°，所以∠C′FB=180°-2×56°=68°， ∵D′E//C′F，∴∠EGF=∠C′FB=68°． 5、如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B=55°，则∠BDF的度数为______。 解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线． 图形的翻折问题 上海市桃李园实验学校 戚元彬 近几年上海中考试题中，图形的运动成为一个命题热点。图形的翻折是图形的运动形式之一，翻折问题是中考的热点，也是中考的一个难点。 一 认识翻折问题 1.关注“两点一线” 在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。这是解决问题的基础。 2. 联想到重合与相等 遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。 二 解决翻折问题 我们把翻折问题分为两类：“依线翻折”和“依点翻折”。 1. 依线翻折 关键是找出对称点，并画出来。 例1. 已知：在Rt △ABC 中， ∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线， 将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与 AB 垂直,那么∠A 等于_________度。 分析：本题是依直线CM 进行翻折的。首先需要作出A 点关于CM 的对称点D ，这样“两点一线”就明确了。其次联想到“重合”，从而得到相等的线段和角：CA=CD ，∠1=∠2。根据已知CD ⊥AB ，AC ⊥CB ，可想到∠A=∠3，又CM 是斜边的中线，于是∠1= ∠A.，所以∠1=∠2=∠3，故∠A=30°。 2. 依点翻折 关键是找出折线，并画出来。 例2.. 已知：Rt △ABC 中，∠A<∠B ， CM 是斜边AB 的中线，∠B=60°， 将△ABC 沿某直线折叠，使点C 落 在M 上，折痕与AC 的交点为E ， 那么∠CEM =____度。 分析：本题是依已知点C 、M 翻折的，图中没有折线。首先需要作出折线：CM 的垂直平分线，并标出点E 。这样“两点一线”已经明确了。接下来马上联想到重合的线段和重合的角。由于CM 是斜边AB 的中线，所以可得到∠BCM=60°，于是∠ECM=30°。而∠ECM 与∠CME 重合，所以相等，故∠CEM=180°－30°－30°=120°。 同学们，现在请你们尝试解决下面的几个题目： 1.如图，AD 是△ABC 的中线， ∠ADC=45°，把△ABC 沿 AD 对折， 点C 落在C ′的位置，如果BC= 2 ， 那么BC ′=________． D B B C ′ A 立体几何的动态问题之二 ———翻折问题 立体几何动态问题的基本类型： 点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等 一、面动问题（翻折问题）： （一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论 .DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即 五结论： 1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变； 折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角； 3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现： （一）翻折过程中的范围与最值问题 1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中， ， CD=CB= 且AD AB ⊥， 现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ . 解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A 运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠= 【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误 1 2 进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是 D A B E C D A B C 4) ''D H DH 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕 翻折形成两个同底的圆锥C A.( ,)63 ππ B. (,]62 ππ C. ( ,]32 ππ D. 2( ,)3 3 ππ 分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。 方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理： 222254cos 243 FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==- ，有344CH ≤≤ 11cos ,22CFH ?? ∴∠∈-???? 异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,] 32ππ 方法三：向量基底法： 111 ()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC =+==+ 111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ?? <>= <>∈-???? 方法四：建系： 3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成 A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则 （ B ） A. A DB α'∠≤ B. A DB α'∠≥ C. A CB α'∠≥ D. A CB α'∠≤ 方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较。 方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。 4、 （14 年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程 B图形的翻折--知识讲解
2018年中考数学专题复习：翻转折叠问题
翻折图形题一(含答案)
中考数学图形翻折
翻折问题参考答案
初二图形的翻折专题
2020中考数学 几何难点突破-旋转、翻折问题(含答案)
翻折图形题一(含答案)
图形的折叠问题的习题带答案
图形的翻折问题(精)
立体几何的动态问题翻折问题