递归算法详解

递归算法详解

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

递归

冯文科一、递归的基本概念。

一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。

二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。

在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很

a与前面临近几项之间简单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及

n

的关系。

要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。

比如阶乘数列

1、2、6、24、120、720……

如果用上面的方式来描述它，应该是：

a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求

n

这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。

递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。

以上面求阶乘数列的函数)

f为例。如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因

(n

此需要计算)2(

*

3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计算)1(

2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出

*

2

)2(=

=f

f，再返回上一步，得

)1(

*

1

)1(=

f，返回上一步，得2

)3(=

=

f，从而得最终解。

3

=f

)2(

6

*

2

3

*

用图解来说明，就是Array

下面再看一个稍复杂点的例子。

【例1】数列}{n a 的前几项为

1、111+、11111++、111

1111+++

、……

输入n ，编程求n a 的精确分数解。

分析：

这个题目较易，发现11=a ，其它情况下有1

11-+=n n a a 。如要求实数解的话，这基本已经可以写出递归函数了。但由于题目要求精确的分数解，还需做一些调整。设p q a n =-1，则由递归关系，有q

p p p q

a a n n +=+=+=-11111，再约分化简，即得n a 。但发现一个问题：求出1-n a 时，需要返回两个整数：分子q 与分母p ，而通常的函数只能返回一个整数。

这个问题一般有两类解决办法，一种是让求值函数返回一个结构体变量，这样就可以返回两个变量了（其实还可以不只两个呢）；另一种是在求值函数的参数表中加入两个指针变量或引用变量，通过参数给带回数值。但由于后一种做法会使程序结构不清晰——返回值是由参数表得到的，因此我们使用前一种方法。

另外，在通过p q a n =-1得出q

p p a n +=后，n a 就已经是最简分数了，无须化简。证明如下： 若p

q 是最简分数，即说明q p ,的最大公约数为1，即对任何q r ≤<1，都有r q mod 与r p mod 不全为0，不防记a r q =mod 、b r p =mod ，则有

只要a 与b 不全为0，且r b r a <<,，就有a 与r b a mod )(+不全为0。因此对任何的q r ≤<1，有r p mod 与r q p mod )(+不全为0。

而对于p r q ≤<的情况而言，记a r p =mod ，则有

由于r q r a <<<≤0,0，因此同样有r p mod 与r q p mod )(+不全为0。

所以对任意p r ≤<1，都有r p mod 与r q p mod )(+不全为0，因此它们的最大公约数为1，即q

p p +是最简分数。虽然这是个要求1-n a （即p q ）是最简分数的结论，但由于数列第二项为2

1，是最简分数，因此可以证明第三项也是最简分数，同时也证明对所有的n a ，求出的

q p p +就是最简分数，无须化简。 具体代码如下：

)90(≤≤N N N -0i 1+i 2+i N N N i N i 12+i )1(2+i , MAX*sizeof(char)); t[n]='\0';

for(i=0;i

{

t[q[i]]='Q';

cout<

t[q[i]]='.';

}

cout<

}

bool test(int i, int k)

{

int j;

j=0;

while(j

j++;

1 3 5 7 9

0 2 4 6 8

六、练习

【练习】为给定的表达式建立表达式树，并求值。给定的表达式中，所有数字都是1位正整数，出现的符号可能为＋、－、*、/、（、）。

分析：

这是一个与一般数据结构书上讲的用栈计算的方法本质不同的方法。

在详细说明这个算法之前，需要首先明确这个算法用到的概念

1、单元：一个单元可能是用括号括起来的一个表达式，或是一个整数；

2、项：一个项是指由*与/连接起来的若干单元；

3、表达式：一个表达式是指由＋或－连接起来的若干项。

要建立表达式树，需要三个函数互相调用的函数：一个是getunit，用于建立一个单元；一个是getexpr，用于建立一个项，另一个就是build，用于建立一个表达式。

getunit函数较易，如果字符串首字母是（的话，那么从它后面的字符开始用build建立一个表达式，这个表达式就是一个单元；否则，就处理一个整数；

getexpr函数是建立在getunit之上的，它先用getunit建立一个单元，然后不停地考察之后地连接符号是不是*或/，若是，则不停地重复读连接符、建立另一个单元、建立连接的操作，直到连接符号不是*或/为止。

build函数是用于最终建立表达式的，它先用getexpr建立一个项，再用符号将剩余的各项连接成二叉树。

代码如下：

if(n>0){ hanoi(n-1,x,z,y); hanoi(n-1,y,x,z); }.w[10]中