第八章ppt-线性方程组迭代法

a
n
ij
x j ) / aii
(i 1,2,...,n);
4、如果 max | yi xi |
输出yi (i 1,2,...,n), 停机；
5、xi yi (i 1,2,...,n), 返回3。 算法的缺点：收敛速度 慢。
数值计算方法
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三、Gauss – Seidel（高斯—塞德尔）迭代法
a nn
1 (k ) (k ) a 21 x1 ... a 2 n x n 按此格式迭代求解的 b2 a 22

xi
( k 1)
n 1 i 1 (k ) (k ) a ij x j aij x j bi ( i 1,2, , n) a ii j 1 j i 1
数值计算方法
第八章 线性方程组的迭代解法
第一节 基本迭代方法 第二节 向量和矩阵的范数 第三节 迭代法的收敛性
数值计算方法
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§8.1 线性方程组迭代解法
一、基本思想
若方程组Ax = b可写成等价形式 x = Bx + f， 则给定一个初始向量x(0)，可以得到迭代公式 x(k+1) = Bx(k) +f， k = 0，1，… (8-2) 若上式确定的向量序列 {x(k)} 收敛于 x ，则 x 显然是 (8-1) 的解，从而为方程组Ax = b的解。 形如 (8-2) 的逐次逼近的方法称为简单迭代法， B称 为该迭代法的迭代矩阵。
j i 1
(k ) a x ij j ] , i 1,2,, n
n
例2 分别给出以下线性方程组的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式：
解
1 x (1 x 2 3 x3 ) 原方程等价于 1 5 1 x 2 ( 2 2 x1 x3 ) 4 x 1 (3 4 x 6 x ) 3 1 2 11
n
定义8.2.1 设任一向量x R n , 按某一确定的
则称 || x || 为向量x的范数。
数值计算方法
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定义8.2.1中的三个条件描述了向量范数的三个性质， 分别称为非负性、齐次性和三角不等式。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 , ..., xn )T
依此类推
(1) (1) (1) (0) (1) 第n步由x1(1) , x2 ，x3 ， ..., xn , x 得 x 1 n n 。
数值计算方法
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( k 1 ) (k ) (k ) (k ) (k ) x1 1 ( a12 x 2 a13 x 3 a14 x4 a1n x n b1 ) a11 ( k 1 ) ( k 1 ) (k ) (k ) (k ) x2 1 ( a 21 x1 a 23 x 3 a 24 x4 a2n xn b2 ) a 22 ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) (k ) (k ) x3 1 ( a 31 x1 a 32 x 2 a 34 x4 a3n xn b3 ) a 33
x(k 1) ( D L)1Ux(k ) ( D L)1b
Gauss-Seidel 迭代阵， 简记为BGS
B
f
数值计算方法
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Gauss-Seidel迭代法的分量形式为：
xi( k 1)
i 1 1 [bi aij x (jk 1) aii j 1
1 2 ……
数值计算方法
写成矩阵形式： 把A分解成
D diag(a11, a22 ,, ann ),
A D L U，其中
0 0 a 21 0 L , U a a 0 n ,n 1 n1
数值计算方法
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二、Jacobi （雅可比）迭代法
a11 x1 a12 x2 ... a1n x n b1 a21 x1 a22 x2 ... a 2 n x n b2 a 0 ii ... ... ... ... an1 x1 an 2 x2 ... a nn x n bn
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返回
例3 用高斯-塞德尔迭代法求解例1中的方程组
数值计算方法
解
仍取 x
(k ) (k ) x ( k 1) 0 . 1 x 0 . 2 x 1 2 3 0.72 ( k 1) ( k 1) (k ) x 0 . 1 x 0 . 2 x 2 1 3 0.83 ( k 1) ( k 1) ( k 1) x 0 . 2 x 0 . 2 x 0.84 3 1 2 (0) T
建立Gauss-Seidel迭代格式
(0,0,0) ， 迭代8次可得
x(8) (1.09998,1.19999,1.3)T
在本例中Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收敛快。这个 结论在多数情况下成立，但高斯-塞德尔的收敛更快是有条件的。 注：两种方法都存在收敛性问题。 有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛； 而Jacobi法收敛时， Gauss-Seidel法也可能不收敛。
建立Gauss-Seidel迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) ( k 1) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k 1) 6 x ( k 1) ) 3 1 2 11
对Jacobi迭代法进行修正 设初值
(0) (0) x1( 0 ) , x2 ,..., xn
第1步 由迭代公式解得 x1(1)；
(0) (0) (1) 第2步 由x1(1) , x2 ,..., xn 代入迭代公式得 x2 ； (1) (0) (0) (1) 第3步 同理由x1(1) , x2 , x3 ,..., xn 得x3 ；
数值计算方法
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而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距 离用
x y | OP | 表示。而平面上任意两点
2 2
P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用
| P1 P2 | ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
表示。推广到n维空间，则称为向量范数。

a12 a1n 0 . an1,n 0
Ax b ( D L U ) x b Dx ( L U ) x b
x D1( L U ) x D1b
B
x(k 1) D1( L U ) x(k ) D1b
…
…
…
…
( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) xn 1 ( a n1 x1 an 2 x2 an 3 x3 a nn 1 x n 1 bn ) a nn
( k 1) 1 ( k 1) (k ) 1 x D ( Lx Ux ) D b 写成矩阵形式： ( D L) x( k 1) Ux( k ) b
x ||, 且满足 : 1)非负性： || x || 0，当且仅当x 0时， || x || 0; 2)奇次性： || kx ||| k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意x , y R , 都有 || x y |||| x || || y || ，
法则对应于一非负实数 ||
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(8-1)
数值计算方法
迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法(高斯消元法) 比较, 具有: 程序简单,存储量小的优点。特别适用于 求解系数矩阵为大型稀疏矩阵的方程组。 2. 需要讨论的问题： 怎样建立迭代格式，迭代过程是否收敛，误 差分析，如何加快收敛速度等等。 常用迭代方法： 雅可比迭代，高斯-赛德尔迭代，松弛迭代等。
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Baidu Nhomakorabea
§8.2 向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭
代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向
量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量——向量和 矩阵的范数。

在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|
表示。而任意两点x1，x2之间距离用
| x1-x2 |表示。
1 (k ) (k ) a12 x 2 ... a1n x n b1 a11


x2
( k 1)
方法称为雅可比迭代 ... ... ... ... 法,简称J法。 1 ( k 1) an1 x1( k ) ... ann 1 xn1( k ) bn 可以缩写为： xn
建立迭代格式：
x1
( k 1)
x 1 a x ... a x b 12 2 1n n 1 1 a11 1 a x ... a x b x2 21 1 2n n 2 a22 ... ... ... ... 1 a x ... a x b x n a n1 1 nn 1 n 1 n nn
数值计算方法
10x1 x 2 2 x 3 7.2 例1 用雅可比迭代法解线性方程组 x1 10x 2 2 x 3 8.3 x x 5 x 4.2 解 生成雅可比迭代格式： 3 1 2 x1( k 1) 0.1 x 2 ( k ) 0.2 x 3 ( k ) 0.72 T ( 0) 取 x ＝ 0 0 0 , 迭代结果见下表 ( k 1) (k ) (k ) x 0 . 1 x 0 . 2 x 0.83 T 2 1 3 准确解 x * ＝ 1 . 1 1 . 2 1 . 3 ( k 1) (k ) (k ) x 0 . 2 x 0 . 1 x 0.84 1 2 3
数值计算方法
k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
0.72 0.83 0.84 0.971 1.07 1.15 …… ……. …… 11 1.099993 1.199993 1.299991 12 1.099998 1.199998 1.299997 从上表可以看出，迭代序列收敛于x*，若取x(12)作为近似解， 则误差不超过 10-5 数值计算方法
5 1 3 x1 1 2 4 1 x 2 2 4 6 11 x 3 3
数值计算方法
数值计算方法
建立Jacobi迭代格式如下
1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 1 x 3 x ) 2 3 1 5 1 ( k 1) (k ) (k ) x ( 2 2 x x ) 2 1 3 4 x ( k 1) 1 (3 4 x ( k ) 6 x ( k ) ) 3 1 2 11
数值计算方法
f
Jacobi 迭代阵，简记为BJ
数值计算方法
Jacobi迭代法的算法
1、输入aij (i, j 1,2,...,n), bi (i 1,2,...,n), ; 2、输入初始向量 xi (i 1,2,...,n); 3、计算yi (bi
1i n j 1, j i