勾股定理常见题型

有关勾股定理常见题型

东北师范大学教育科学学院

摘要：勾股定理在初中数学中是一个非常重要的定理，常用于解直角三角形试题，涉及到边的计算、角的计算、直角三角形的判定、翻折、爬行、图形变换、实际应用等题型，熟练掌握有关勾股定理的常见题型的解法对我们学生学好勾股定理这一节的内容有着很大的帮助。 关键词：勾股定理 题型

勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的

平方.结合直角三角形图形，用字母可表示为：222a b c +=，如下图，a 、b 为直角边，c 为

斜边。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，

将初中几何与代数很好的联系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法。

（一） 边的计算

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a =6，b =8，则c = ．

解：因为222a b c +=，所以c=10。

评论：直接由勾股定理所以得

2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边上的高CD 的长为（ ）

A ．125

B ．552

C ．52

D ．57

解：由勾股定理知：AB=5，又因为S △ABC =

21A C ×BC=21A B ×CD 即：21×3×4=21×5×CD,所以CD=125

评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。

3、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）

A ．13

B ．13或119

C ．13或15

D ．15

解：当12对应的边为斜边时，此时由勾股定理得第三边为119

当12对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由222

a b c +=得第三边的长为13 评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。 4．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）

A 、121

B 、120

C 、132

D 、不能确定

解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边

由勾股定理知：222a b c +=，即：112＋b 2 = c 2

所以（b+c ）（c －b ）=121

因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。

又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。所以b=60，c=61

评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。

（二） 直角三角形的判定

5、 在△ABC 中中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，给出如下的命题：

①若∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 为直角三角形；②若∠A ＝∠C 一∠B ，则

△ABC 为直角三角形；③若45c a =，35

b a =，则△ABC 为直角三角形；④若a ：b ：

c ＝5：3：4，则△ABC 为直角三角形；⑤若（a ＋c ）（a －c ）＝b 2，则△ABC 为直角三角形；⑥若(a ＋c)2＝2ac ＋b 2，则△ABC 为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,B Ｃ＝15, 则△ABC 为直角三角形。 上面的命题中正确的有（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解：对①，因为三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C ＝180°，因为∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，所以∠C=180°×21

所以∠C=90°则△ABC 为直角三角形，①正确。对②，因为

∠A+∠B+∠C ＝180°，而∠A ＝∠C 一∠B ，所以∠C 一∠B+∠B+∠C ＝180°所以∠C=90°，即△ABC 为直角三角形，②正确。对③，设a=5k ，因为45c a =，35b a =，则c=4k ， C 2＋b 2 = a 2 所以为△ABC 直角三角形. ③正确，同理易知④正确，对⑤，因为（a ＋c ）（a

－c ）＝b 2 所以a 2 –c 2 = b 2 ，所以△ABC 为直角三角形．⑤正确，对⑥，因为(a ＋c)

2＝2ac ＋b 2，所以a 2 +c 2+2ac=2ac ＋b 2 所以a 2 +c 2=b 2 正确，对⑦，因为ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,

ＡＣ＝15，所以AB 2 +AC 2=BC 2所以正确。答案选B

评论：直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从边来判定需结合勾股定理。一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。

（三） 翻折 6、矩形纸片ABCD 中，AD =4c m ，AB =10c m ，按如图18-1

方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则

DE =_______c m ． 解：设DE 为x ，因为DE 是由BE 翻折过来的， 所以DE=BE=x,则AE=10－x ，在Rt △ABD 中： AD 2 +AE 2=DE 2 所以：42 +（10－x ） 2= x

2 解得x=5.8 c m

评论：翻折和旋转是初中数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变，抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺利解决。本题的不变量是DE 和BE 的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度。

（四） 爬行

7．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm ，底面半径等于4cm ，在 B C A

C 'E

D F 图18-1