复变函数与积分变换第二章复习资料

即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) f (z).
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例6 如果 f (z) 在区域 D内处处为零, 则 f (z) 在 区域 D内为一常数. 证 f (z) u i v v i u 0,
2
y2
0,
那末称 ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
共轭调和函数：
在 D 内满足方程 u v , u v 的 x y y x
两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
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三、解析函数与调和函数的关系
定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调 和函数.
f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
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二、函数的解析的充要条件
定理一 设函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域
D 内, 则 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条 件是 : u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 并且在该 点满足柯西－黎曼方程
z
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2、对数函数
定义 指数函数的反函数称为对数函数。即， 把满足ew z(z 0)的函数w f (z) 称为对数函数,记作w Lnz
Lnz ln z iArgz ln z i(arg z 2k )
(k 0, 1, 2, ) 主值：lnz ln z iargz ln z i arg z
z0
z
那末就称 f (z) 在z0可导.这个极限值称为 f (z) 在 z0
的导数,
记作
f (z0 )
dw dz
z z0
lim
z0
f (z0
z) z
f
(z0 ) .
2
2.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函
数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
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四、初等函数
1、指数函数
定义2.5 对于复数z x iy, 称
ez ex cos y i sin y
为指数函数. 上式中当x 0, 对任意的y,有
eiy cos y i sin y
称为欧拉公式.
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性质：
(1) ez在全平面解析,且 ez ez ;
(2)e2ki cos 2k i sin 2k 1 故函数 ez的周期为2ki (3)极限lim ez不存在
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z)与z (w)是 ( w )
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
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3. 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析. 如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
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三、解析函数与调和函数的关系
调和函数：
如果二元实变函数 ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
2
x 2
x
y
x
y
不满足柯西－黎曼方程,
故 w z 在复平面内处处不可导, 处处不解析.
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(2) f (z) ex (cos y i sin y)
u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
u v , u v . x y y x
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例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
(2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
3
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f
(ຫໍສະໝຸດ Baidu
z
)
g
(
z) g2(
f z)
(
z
)
g(
z
)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
第二章 解析函数
一、函数的可导，解析与求导数 二、函数的解析的充要条件 三、解析函数与调和函数的关系 四、初等函数
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一、函数的可导，解析与求导数
1.导数的定义:
设函数 w f (z) 定义于区域 D, z0 为D中的一
点,点 z0 z 不出 D 的范围,
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在,
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例5 解方程 ez 1 3i 0. 解 因为 ez 1 3i,
所以 z Ln(1 3i)
ln1
3i
i
3
2k
ln
2
i
3
2k
(k 0, 1, 2,)
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性质
(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x 所以 u 常数, v 常数, 因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
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参照以上例题可进一步证明: 如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价. (1) f (z) 恒取实值; (2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
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例3 由下列条件求解析函数f (z) u iv
u x2 xy y2
f (i) 1 i
解 v 2x y v 2xy y2 ( x)
y
2
2 y '(x) v u 2 y x
x y
'(x) x
(x) x2 c
2
v( x, y) 2xy y2 x2 c 22