潘海俊近代数学物理方法讲义

∗
β
(
t
)
=
⎧ α (2t ), ⎨⎩β (2t −1)
,
t ∈[0,1 2] t ∈[1 2,1]
两个圈α 与 β 的乘积是从 x0 出发，先沿着α 转一圈回到 x0 ，再沿着 β 转
一圈回到 x0 。这与复合映射如 f g 的次序正好相反。
( ) 定义：基点为 x0 ∈ X 的圈α t 的逆圈定义为： α −1 (t ) = α (1 − t ), t ∈ I
α : I → X with α (0) = α (1) = x0
定义：基点为 x0 ∈ X 的常值圈 cx0 是指连续映射 cx0 : I → X , t x0 for ∀t ∈ I
定义： X 中基点为 x0 的两个圈α 与 β 的乘积γ = α ∗ β 仍然是基点为 x0
的圈，定义为
γ
(t
)
=
α
譬如，考察 E 2 中的
{ } X1 = (0, y) −1 < y < 1
X2
=
⎧⎛ ⎩⎨⎜⎝
x,sin
π x
⎞ ⎟⎠
0
<
x
⎫ < 1⎬
⎭
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可以证明拓扑空间 X = X1 ∪ X 2（诱导拓扑）是连通的，但却不是道路连通的。
y
+1
y = sin π
x
+1
0
x
−1
图2
( ) ( ) 定义： X 中基点为 x0 的闭道路（或圈）是满足α 0 = α 1 = x0 的道路 α (t ) ，即
引言
前面我们提到，直观上，若一个拓扑空间可连续地变形为另一个拓扑空间， 则它们是等价的。一般，寻找由同胚确定的完全等价是比较困难的。我们可以适 当地放松要求，去寻找那些只保持部分拓扑特征的特殊形变。这一节我们研究的 同伦就是这样一个重要的方法，粗略地讲，同伦是由一个连续参数所确定的映射 变形，它最终可转换为空间的变形。由此方法得到的拓扑特征尽管很不完全，但 却是非常有意义的。在这一章我们将首先引入与拓扑空间相关联的基本群或第一 同伦群，建立基本群的一些性质，并且，对于可三角剖分的空间，我们将说明如 何确定基本群。
[ ] ( ) 如图 1a，通常我们用图 1b 表示α t 。
1
x1
α
t
α (t)
α
x0
x1
X
0
x0
图 1a
图 1b
( ) 这里唯一需要强调的是：道路指的是映射α t ，而非通常意义下映射的像
点构成的集合。
若拓扑空间 X 中任两点 x0 与 x1之间都存在某条道路α 将其连接，则称 X 是
道路连通的。在第一章我们引入了拓扑空间的连通性，这里定义的道路连通比起 连通概念来得更强。也就是说，尽管道路连通的空间必然是连通的，但是有些连 通的空间却未必是道路连通的。不过，对于大多数的拓扑空间，二者是一致的。
则称α 与 β 同伦，记为α ≈ β ，并称 H 是α 与 β 间的伦移[图 3]。
s 1
s 0t
H t 1
β αs α x0
X
图3
注意到，对于固定的 s ，当 t 变化时，
( ) H s,t 是 X 中以 x0 为基点的圈，这些
圈以一种连续的方式内插于圈α 与 β 之
1 s
( ) 间，正由于此，也有人将 H s,t 记为
x0
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圈，但是如果将同伦的圈视为等价的，那么，在 X 2 中只有一个同伦类，而在 X1 中，每个整数 n 都对应一个同伦类 hn ：一个圈若绕洞 n 次，则它属于 hn ：n > 0 意指顺时针方向，n < 0 为逆时针方向，而 n = 0 则不包含洞。因此，圈的同伦
类，而不是圈自身，使我们可将 X1和 X 2 区分开。这个例子表明对圈同伦类的
研究可以确定拓扑空间中的洞。后面会看到，可以赋予这样的圈同伦类一个群结
( ) 构，即在同伦类间定义某种乘法运算，使得同伦类的集合π1 X 成为一个群，
这就是基本群。这里我将仍然用这个例子说明这个群结构是如何出现的。首先，
由两个从同一点 x1 出发的圈α 和 β 的组合可产生另一个同样以 x1 为基点的圈 γ = α ∗ β ：它从 x1出发，先沿圈α 走，再沿 β 回到 x1；其次，圈的逆 β −1定 义为从 x1出发，沿着与 β 相反方向行进；最后，恒等圈定义为始终停留在 x1点
β1 α1
γ1 δ1 X1
α2 β2 X2
图1
作为开始，我们考虑一个简单的例子。图 1 中显示了 E 2 中的两个矩形区域 X1和 X 2 ：其中 X1包含一个洞，而 X 2 中则没有洞。直观上， X 2 中的任何一 个圈都可连续地收缩为一点，而 X1则不然。因此，空间 X 2 只有一种圈——可 收缩为一点的圈；而 X1中则有两种圈——一类如γ1 ，δ1 那样可收缩为一点，另 一类则如α1 ， β1那样包含一个洞，不能收缩到一个点。所以，我们可在圈之间
定 义 ： 设 α 与 β 是 基 点 为 x0 ∈ X 的 两 个 圈 ， 若 存 在 一 个 连 续 映 射
H : I × I → X ，使得对 I 中每一个 s ，t 都有
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H (t,0) = α (t ), H (t,1) = β (t ) H (0, s) = H (1, s) = x0
的圈。
考虑以 x1为基点的圈ε = β ∗ β −1。若圈本身构成群，则ε 必须是恒等圈， 而这显然不对。但是，我们发现，尽管ε 不是恒等圈，它与恒等圈却是同伦的， 图 2 表示了从ε 到恒等圈的连续变形。因此，我们推断，基本群的元素应该是圈
的同伦类，而不是圈自身。接下来，我们就把上面直观的图像用严格的数学语言 加以表述，使其精确化。
引入等价关系：若一个圈可由另一圈经一系列连续变形而得到，则称它们是等价 的（这种等价关系在数学上有一个名称：同伦）。
例如 X 2 中，α2 和 β2 是同伦的，表示为α2 ≈ β2 ； X1中则有α1 ≈ β1 以 及γ1 ≈ δ1，但是，α1 与γ1 并不同伦。我们看到，尽管 X1和 X 2 中有无限多个
x1
x1
x1
x1
图2
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圈同伦
[ ] 定义： X 中从 x0 到 x1 的道路是指从区间 I ≡ 0,1 到 X 的一个连续映射 α (t ) ，且α (0) = x0 、α (1) = x1，即
α Biblioteka Baidu I → X such that α (0) = x0 and α (1) = x1