光纤通信第二章

2、光纤中光的传播 我们将光纤内的光线分成两类：一类是子午光线，见图2.2.2（
a）。另一类是斜光线，见图2.2.2（b）。子午光线是在与光纤轴线 构成的平面（子午面）内传输，斜光线则在传播的过程中不固定在 一个平面内。
n1 n2
（a) 子午光线
(b) 斜光线
图2.2.2 子午光线和斜光线
3、 数值孔径 数值孔径是光纤一个非常重要的参数，它体现了光纤与光源之间
对均匀光波导 得均匀波导的波动方程:
纤芯中:
ห้องสมุดไป่ตู้
包层中:
即:纤芯和包层有不同的介电常数,但有相同的磁导率.
3、波动方程及其解 选用圆柱坐标（r,,z)，使z 轴与光纤中心轴线一致，如图 2.2.6所示，则电场的z分量Ez 的波动方程为：
图2.2.6
为求解上式，采用分离变量法。假设待求场量有如下形式的解：
θ''' θ''
θ' 纤芯 n1[1-2Δ(r/a)γ]1/2 包层 n2
n''' n'' n'
图2.2.5 渐变折射率光纤中光线的传播方式
显然，光线由第一层向第二层入射时，也即由光密介质向光疏介质入
射时，有
，同理
。与阶跃型光纤不同的是，光在每层
传输后，方向都要发生变化，这样就不难解释为什么渐变折射率光纤
图2-2 光纤的基本结构图
虽然光纤的基本结构形式如图2-2 所示，但是按照折射率分布、
传输模式多少、使用的材料或传输的波长等的不同，光纤可分为很多
种类，下面将有代表性的几种，简单介绍一下
2b
2a
1. 按照折射率分布来分 一般可以分为阶跃型光纤和渐变型光纤两种
（1）阶跃型光纤
如果纤芯折射率（指数）沿半径方向保
光纤通信第二章
2020年5月22日星期五
光纤是用来导光的透明介质纤维。一般可分为三层同轴 圆柱形。它的剖面形式如图2-1所示。
由高透
明材料外层为
制成 包层
涂覆层
纤芯
起保护
作用
图2-1 光纤的剖面图
纤芯的折射率为 ，直径为2a； 包层的折射率为 ，直径为2b。纤芯折射率
基本结构如图2-2所示
>包层折射率
在n1>n2，随着入射角的增大，折射角也增大，当
时，折射光将沿
着分界面传播，此时对应的入射角称为临界入射角，记为 。
由（2.2.2）式可求得临界入射角：
，即
（2.2.3）
入射光
θ1 θ3
n1 (光密介质) n2 (光疏介质)
θ2
反射光 界面 θ1增加
折射光
入射光
θ1 θ3 n1 (光密介质) n2 (光疏介质)
1. 基本光学定义和定律 光在不同介质中的传播速度不同，描述介质对光这种作用的参数就是折 射率，折射率与光之间的关系为
（2.2.1） 式中，c是光在真空中的传播速度，c＝3×108m/s，是光在介质中的传 播速度，n是介质的折射率。空气的折射率近似为1。折射率越高，介质 材料密度越大，光在其中传播的速度越慢。
θ2
反射光 界面
折射光
入射光
反射光
θ1＝θC
θ1 n1 (光密介质)
n2 (光疏介质)
θ3 界面
折射光 θ2＝900
θ1>θC
入射光
n1
θ1 θ3
(光密介质)
n2 (光疏介质)
反射光 界面
图2.2.1 光由光密介质向光疏介质的入射
如果入射光的入射角，所有的光将被反射回入射介质，这种现
象称之为全反射，光纤就是利用这种折射率安排来传导光的：光纤 纤芯的折射率高于包层折射率，在纤芯与包层的分界面上，光发生 全内反射，沿着光纤轴线曲折前进，如图2.2.2所示。
Ez (r, ,z )= Ez(r)ej(v- z)。代入上式得
电场z分量可以写成Ez (r, ,z )= Ez(r)ej(v- z)代入上式得 圆柱坐标体系的波动方程为：
式中，k=2fc=/c,这样就把分析光纤中的电磁场分 布，归结为求解贝塞尔方程。
对HZ也可以推导出完全一样的方程。
上式在纤芯和包层两个区域中分别求解。 在内部区域：波导场解必须在r 0时，取有限值； 在外部区域：波导场解必须在r 时，衰减为零。
n(r)
n1
n2
a
b
r
（b）非均匀光纤的折射率剖面分布
图2-3 光纤的折射率剖面分布
2. 按照传输的总模式分 所谓模式，实际上是电磁场的一种场型结构分布形式。模式不同
，其场型结构不同。根据光纤中传输模式的数量，可分为单模光纤和 多模光纤。 （1）单模光纤
光纤中只传输单一模式时，叫做单模光纤。单模光纤的纤芯直 径较小，约为8 ~10 um，通常，纤芯中折射率的分布认为是均匀分布 的。由于单模光纤只传输基模，从而完全避免了模式色散，使传输 带宽大大加宽。因此，它适用于大容量、长距离的光纤通信。单模 光纤中的射线轨迹如图2-4（a）所示
（a）单模光纤 图2-4 光纤中的光线轨迹
（2）多模光纤
在一定的工作波长下，可以有多个模式在光纤中传输的，称为 多模光纤。其纤芯可以采用阶跃折射率分布，也可以采用渐变折射 率分布，它们的光波传输轨迹如图2-3（b），（c）所示。多模光 纤的纤芯直径约为50 um，由于模色散的存在使多模光纤的带宽变 窄，但其制造、耦合、连接都比单模光纤容易。
光波是电磁波，只有通过求解由麦克斯韦方程组导出的 波动方程，分析电磁场的分布(传输模式)的性质，才能更准 确地获得光纤的传输特性。
波动方程法是基于电磁场理论的。
光纤是圆柱形的，但基本步骤与平板波导是相同的
（1） 写出纤芯和包层的Maxwell方程组，并定出边界条件（纤 芯和包层的交界处，电场和磁场的切向分量均连续）； （2） 找出Maxwell方程组通解，把通解和边界条件联立以得到 本征值方程； （3） 解出本征值方程以求出每个模式的模式分布及传输常数的 值；
设空气的折射率为 ，在空气与光纤端面上运用斯奈尔定律，有
式中 与临界入射角 之间的关系为
（2.2.4） （2.2.5）
由（2.2.4）式和（2.2.5）式可得
对空气，有 ≈1，故有
（2.2.6）
显然， 越大，即纤芯与包层的折射率之差越大，光纤捕捉光线的能
力越强，而参数
直接反映了这种能力，我们称为光纤的数值孔
径NA(Numerical Aperture) 称 为最大接收角， 为临界传播角。
（2.2.7）
例2.2.1 n1＝1.48、n2＝1.46的阶跃光纤的数 值孔径是多少？最大接收角是多少？ 解：
数值孔径还可以表示成
4、 传播时延和时延差 光线在纤芯中的传输速度。对于子午光线而言，它在纤芯中按
锯齿状路径传播，设Lp为光线路径在包层和纤芯界面交点P、Q间 的距离，如图2.2.4所示，α为光线与z轴的夹角，则光线在z方向行进 的距离为
（2.2.12）
5、渐变型光纤中光射线分析
用几何光学分析法也可以解释渐变型光纤中光线的传播方式。渐变
型光纤的纤芯折射率不是常数，在中心轴线处最高，然后沿径向逐渐减
小。我们可以将光纤纤芯分成若干个同心圆柱层，每层的折射率看作常
数，为简单起见，在图2.2.5中只画出了三层同心圆柱，它们的折射率满
足：
。
的耦合效率。图2.2.3示出了光源发出的光进入光纤的情况。
空气n0＝1
光源
包层n2
θc
θ0
纤芯n1 αc
包层n2 光纤端面
图2.2.3 光源出射光与光纤的耦合
光源与光纤端面之间存在着空气缝隙，入射到光纤端面上的光，一 部分是不能进入光纤的，而能进入光纤端面内的光也不一定能在光纤 中传输，只有符合特定条件的光才能在光纤中发生全内反射而传播到 远方。由图可知，只有从空气缝隙到光纤端面光的入射角小于 ，入 射到光纤里的光线才能传播。实际上 是个空间角，也就是说如果光 从一个限制在2 的锥形区域中入射到光纤端面上，则光可被光纤捕捉 。
中光线会向轴线方向发生弯曲现象，而且越靠近轴线弯曲程度就越高
。不同入射角相应的光鲜，虽然经历路程不同，但是最终会聚在一点
，渐变折射率光纤对光的这种作用也称为自聚焦。
θ'''
θ''
n'''
n''
n'
θ'
纤芯 n1[1-2Δ(r/a)γ]1/2
包层 n2
图2.2.5 渐变折射率光纤中光线的传播方式
几何光学的方法对光线在光纤中的传播可以提供直观的 图像，但对光纤的传输特性只能提供近似的结果。当光纤的 尺寸与光的波长相当时，用几何光学分析法分析光纤中光的 特性便受到了限制。
（2.2.10）
在所有可能存在的子午光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向
直线传播的光线，其 ＝0。路径最长的一条光线则是沿全内反射临界
角行进的光线，其
，它们的时延差为最大值,单位距
离时延差最大值为
（2.2.11）
上式常用来估算阶跃光纤中多径传输所导致的光脉冲展宽。对于渐 变折射率光纤，光折射率分布为抛物线时，单位距离最大时延差的计 算公式为
Ez (r, ,z )= Ez(r) Ez() Ez(z)
设光沿光纤轴向(z轴)传输，变化规律是简谐函数，其传输常数为， 即
Ez(z)＝exp(- jz)
由于光纤的圆对称性，所有的场分量必然是方位角的周期函数，即
Ez() ＝exp(jv)
v为整数。现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式，电场z分量可以写成
需要时间
r
（2.2.8）
Q
Lp
0 α
P
zp
n1
z
n2
图2.2.4 子午光线在光纤中的传播
定义：沿z轴方向传播一定距离L的时间为光线的传播时延，用τ表示 ，则有
（2.2.9） 可见，光线的传播时延在纤芯折射率 一定时，仅与光线与z轴的夹 角 有关，如果在纤芯中有两条束缚光线，与z轴的夹角分别为 和 ，显然，它们沿z轴方向传输相同距离时，在纤芯中走过的路径是不一 样的，因而传播时延也不相同，用Δτ表示两条路径光线传播的时延差， 有
在均匀介质中，光是直线传播的，当光由一种折射率介质向另一种折射 率介质传播时，在介质分界面上会产生反射和折射现象，见图2.2.1。
由斯奈尔定律可知，入射光、反射光以及折射光与界面垂线间的角度满 足下列关系
（2.2.2）
式中， 、 和 分别称为入射角、折射角和反射角。
将折射率较大的介质称为光密介质，折射率较小的称为光疏介质。当光由 光密介质进入光疏介质时，折射角大于入射角；反之，折射角小于入射角。
持一定，包层折射率沿半径方向也保持一定 ，而且纤芯和包层折射率在边界处呈阶梯型 变化的光纤，称为阶跃型光纤，又可称为均 匀光纤。它的结构如图2-3（a）所示。
n(r) n1 n2
ab
r
（a）均匀光纤的折射率剖面分布
图2-3 光纤的折射率剖面分布
（2）渐变型光纤
如果纤芯折射率沿着半径加大而逐渐减小，而包层折射率是均匀 的，这种光纤称为渐变型光纤，又称为非均匀光纤。它的结构如图23（b）所示。
纤芯中的表达式为：
包层中的表达式为：
式中，u称为导波模的径向归一化相位常数， w称为导波模的径向归一化衰减常数， V称为光纤的归一化频率，它与光纤的结构参数和
工作波长有关。 它们的表达式为
为第一类贝塞尔(Bessel)函数 为第二类贝塞尔函数。下图画出了这两类贝塞尔函数的曲线
（a）第一类贝塞尔函数曲线
4. 按传输的波长来分 短波长光纤 长波长光纤 超长波光纤
0.7~0.9um 1.1~1.6um
>2um
短距离 ，小容量 中长距离，大容量 超长距离， 大容量
5. 按套塑结构来分 松套光纤 紧套光纤
光的波粒二象性
电磁波
麦克斯韦方程式
（结论精确，计算复杂抽象）
粒子流
几何光学 （简单直观）
几何光学分析法是用射线光学理论分析光纤中光传输特性的方法。 这种分析方法的前提条件是光的波长要远小于光纤尺寸。
1、麦克斯韦方程 麦克斯韦方程是分析光纤中光特性的基础，假设:波导芯和包层
都是线性的,均匀的和各向同性的介质。且介质材料中没有电流和电 荷存在。考虑单色光,(ρ=0,j=0)其形式为
ε:介电子数（电容率） μ：磁导率
式中为E电场强度矢量，D为电位移矢量，H为磁场强度矢量，B为磁感 应强度矢量。
2、亥姆霍兹方程 将(1)式同时取旋度:
（b）多模均匀光纤
（c）多模非均匀光纤
3. 按光纤的材料来分
（1）石英系光纤 这种光纤的纤芯和包层是由SiO2掺有适当的杂质制成。这
种光纤的损耗低，强度和可靠性较高，目前应用做广泛。 （2）石英芯、塑料包层光纤
这种光纤的芯子是用石英制成，包层采用硅树脂。 （3）塑料光纤
这种光纤的芯子和包层都由塑料制成。
（b）第二类贝塞尔函数曲线
图2.2.7 贝塞尔函数曲线
4、边界条件 在没有电荷或电流分布的介质分界面上，电场强度和磁场强度的
切向分量连续，电位移矢量和磁感应强度的法向分量连续，用下标t和 n分别表示介质分界面上的切向分量和法向分量，则边界条件可以写成
5、特征方程 利用r＝a，Ez1=Ez2的边界条件可求得关于 的特征方程