MATLAB在量子力学中的应用

《MATLAB语言》课程论文

MATLAB在量子力学中的应用

姓名：***

学号：***********

专业：通信工程

班级：2011级通信工程

指导老师：***

学院：物理电气信息学院

完成日期：2012-12-11

MATLAB 在量子力学中的应用

（魏祎 12011243989 2011级通信班）

[摘要]量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持有旺盛的生命力，硕果颇传。虽然《大学物理》中介绍的量子力学只是一些最基本的概念，但之中涉及了许多复杂的数值计算问题，解微分方程的问题，图像显示问题，例如一维无限深势阱问题，一维运动粒子的波函数曲线问题，对其手工求解较为复杂，而MATLAB 语言正是处理这些复杂问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用，另外利用其可以减少工作量，节约时间，加深理解对量子力学的理解，同时可以培养应用知识的能力。

[关键词]量子力学 MATLAB 语言 一维无限深方势阱 波函数 概率密度

一、问题的提出

MATLAB 语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制理论）最具影响力、也是最有活力的软件。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用，它是一种集数值运算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能。在量子力学中，可以利用其帮助初学者理解量子力学与经典力学截然不同的思维方式和观念，理解微观粒子的波粒二象性。下面将以一维势阱问题，波函数和概率密度曲线问题为例讲述MATLAB 在量子力学中的应用。

二、用MATLAB 语言求解一维无限深势阱问题

如图1所示，设想一粒子处在势能为p E 的力场中，并沿x 轴作一维运动。粒子的势能p E 满足下述边界条件：

(1) 当粒子在a x <<0范围内时，p E =0；

(2) 当0≥x 及a x ≤时，∞→p E 。

这就是说粒子只能在宽度为a 的两个无限高势垒壁之间自由运动，就像一小球被限制在无限深的平底深谷中运动那样，我们理想化了得势阱曲线叫无限深方形势阱。因为粒子只限于沿x 轴方向运动，故这个势阱为一维无限深的方形势阱，简称一维方势阱。

有上述边界条件已知，粒子在势阱中得势能p E （x ）与时间无关，且p E =0.因此，由一般的薛定谔方程（1），粒子在无限深方势阱中得定态薛定谔方程为

082222=+ϕπψh

mE dx d （1） 式中m 为粒子的质量，E 为粒子的总能量。如令k 为

228h mE k π=（2）

则上式可写成

0222=+ψψk dx

d （3) 根据边界条件，x=0时，0)0(=ψ，则可以利用MATLAB 求解微分方程。 利用MATLAB 语言求解此方程程序如下：

y=dsolve('D2y+k^2*y','y(0)=0','x')% %求方程（16）

p E

图1 一维无限深方势阱中得粒子

运行结果：

y =

C1*sin(k*x)

又根据边界条件，x=a 时，ka C a sin )(1=ψ，此时式（16）的解为

0sin )(1==kx C a ψ （4）

一般说来，A 可不为零，故0sin =ka ，有

πn ka =

n=1,2,3…，上式也可写成

a

n k π= 将上式与式（4）相比较，可得势中粒子可能的能量值为

22

2

8ma h n E = （5） 式中n 为量子数，表明粒子的能量只能取离散的值，当n=1时，势阱中粒子

的能量为2

2

18ma h E =，n=2,3,4…时， 41E ，91E ，161E 。这就是说，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。

下面在来确定常数1C ，由于粒子被限制在0≥x 和a x ≤的势阱中，因此，按归一化条件，粒子在此区间内出现的概率总和为1，即

⎰⎰==a a

dx 0

20*1||ψψψ （6）

或

1sin

0221=⎰dx x a

n C a π （7） 令dx a

d a x )(,πθπθ==,则上式左侧积分为 a A a A d a n a C a 2202

21212)(sin ==⎰ππθθππ （8） 于是，可得

a

C 21= 这样，式（7）所表现得波函数即为

x a

n a x πψsin 2)(=，a x ≤≤0 （9） 由此可得，能量为E 所表示的粒子在势阱中得概率密度为

)10(sin 2|)(|22x a

n a x πψ= 下面用MATLAB 语言求解电子的各能级能量、波函数曲线和概率密度曲线。 程序如下：

function E=shor(m,a)%建立函数文件

n=1:10;%量子数n

h=6.63*1e-34;%普朗克常量

E=n.^2*h^2/(8*m*a^2);%n 能级的能量值

x=0:1.0*1e-12:a;%x 的值

subplot(4,2,1)%分割绘图区域，第一个子图

y1=sqrt(2/a)*sin(pi*x/a);%n=1的波函数

plot(x,y1);%绘制n=1的波函数图象

title('n=1');%给n=1的破函数曲线加标题

subplot(4,2,3)%分割绘图区域，第三个子图

y1=sqrt(2/a)*sin(2*pi*x/a);%n=2的波函数

plot(x,y1);%绘制n=2的波函数图象