二次曲线的方程化简与分类PPT课件

张 之 正 解析几何
Mathematical Science College
1. 平面直角坐标变换
数学科学学院
因为 x 是点 M x, y 到 O y 轴的距离，也就是 M 到
l 2 的距离，因此
同理
x A2xB2yC2 A22 B22
y A1xB1yC1 A12 B12
从而
x y
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例题
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例1 已知两垂直的直线 l1:2xy30与 l2:x2y20，
取 l 1 为 O x 轴，l 2 为 O y 轴，求坐标变换公式．
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2．二次曲线方程的化简与分类
数学科学学院
在二次曲线方程（1）里， 如 果 a12 0 ， 我 们 往 往 使 用 转 轴 使 新 方 程 中 的
a12 0 ．为此，取 ，使得
a12 a22 a11sin cos a12 cos2 sin2 0 ，
即 a22 a11sin 2 2a12 cos 2 0 ，
2.二次曲线方程的化简和分类
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定理1 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可 以化成下列三个简化方程中的一个：
(I )a11x2 a22y2 a330,a11a220; (II)a22y22a13x0,a22a130; (II)Ia22y2a330,a220.
B2 y
A2 2 B1 y
C2z
B22 C1z
A2 A22 B22
cos ，
A12B2B12 A22 B22
sin ，
（﹡）
A1 A12 B12
sin
，
B1 A12 B12
cos ．
（*）的符号选取要使得第一式右端 x 的系数与第二式 右端 y 的系数相等，即这两项的系数是同号的．
当 x0 ,y0为二次曲线（1）的中心时，有 F1x0,y00，
F２ x0,y00. 故当二次曲线(1)有中心时，作移轴，使原点
与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程 中一次项消失.
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2．二次曲线方程的化简与分类
cot21tan21a1a222
a11a22
2tan
2a12
2a12
．
a22
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2．二次曲线方程的化简与分类
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因此，通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法， 实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴） 重合的位置．
§5.6 二次曲线的方程化简与分类
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1. 平面直角坐标变换
1）一般坐标变换
移轴公式：
x y
x y
x0 y0
（1）
或
x y
x y
x0 y0
（1）
一般坐标变换公式：
转轴公式：xyxxcsionsyycsoins（ 2）
或 yxxxcsoinsyyscions（ 2） （其中α为坐标轴的旋转角）
如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合； 如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合； 如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中 心重合．因此，二次曲线方程的化简，只要先求出曲线（1） 的主直径，然后以它作新坐标轴，作坐标变换即可．
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2．二次曲线方程的化简与分类
设二次曲线的方程为
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F x , y a 1 1 x 2 2 a 1 2 x y a 2 2 y 2 2 a 1 3 x 2 a 2 3 y a 3 3 0 （1）
1. 移轴： 移轴变换规律：
x x x0
y
y
y0
1°二次项系数不变；
2°一次项系数变为 2F1x0, y0与 2F2 x0, y0； 3°常数项变为 Fx0, y0 .
1. 平面直角坐标变换
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2） 设在直角坐标系 xOy 里给定了两条相互垂直的直线
l1 : A1x B1 y C1 0
l2 ： A 2 x B 2y C 2 z 0
其中 A1 A2 B1B2 0 ．如果取 l1 为新坐标系中 的横轴Ox ，而 l2 为纵轴 Oy ，并设平面上任意点 M 的 旧坐标为与新坐标分别为 x, y 与 x, y ．
2. 转轴：
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x xcos ysin
y
x
sin
y
百度文库
cos
转轴变换规律：
1°二次项系数一般要改变．
新方程的二次系数仅与原方程的二次项系数及旋转
角有关，而与一次项系数值及常数项无关．
2°一次项系一般要改变．
3°常数项不变
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2．二次曲线方程的化简与分类
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利用转轴来消去二次曲线方程的 项，有一个几何
意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的 位置，这是因为如果二次曲线的特征根 确定的主方向为
，那么
tanY X a1a 222a 12 a11 ，
2
∴
cot 2 a11 a22
∴
2a12
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例题
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例2 化简二次曲线方程x 2 4 x y 4 y 2 1 2 x y 1 0
并画出它的图形．
例3 化简二次曲线方程 x2xyy22x4y0．
并画出它的图形．
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逆变换公式： x xy y xxx c x cso s ois nisn yyyy sic csn o io nss x 0 x yc 00x o 0 （ss i3n ）y 0s y i0 n c os （4）
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A2 x A1 x
B2 y
A2 2 B1 y
C2z
B22 C1z
（﹡）
A12 B12
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1. 平面直角坐标变换
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为了使新坐标系仍然是右手坐标系，下面决定
（*）中的符号：
x y
A2 x A1 x