人教版九年级数学二次函数的图像和性质(共82张PPT)

画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
··
···
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y x2
24
y 1 x2 2
y 2x2
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_y_轴___，顶点是_原__点___． 当a>0时，抛物线的开口_向__上___，顶点是抛物线的最__低____点， a越大，抛物线的开口越_小______； 当a<0时，抛物线的开口_向__下____,顶点是抛物线的最__高______点， a越大，抛物线的开口越______大___．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
练习： 函数 y ( 2x)2的图象是 ，顶点坐标是 ，
对称轴是 ，开口方向是 .
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
|a|越大开口越小， |a|越小开口越大。
反馈测试
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8
···
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2 · 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
·· ·
y x2
8
y 2x2
···
6
y 1 x2
4
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 2
2020/7/25
1、一次函数的图像有何特征？
一次函数的图像是一条直线 。 当 k>0 时，y随x的增大而增大； 当 k<0 时，y随x的增大而减小。
2、反比例函数的图像有何特征？
反比例函数的图像是 双曲线 ，共有 两支， 且关于 原点 对称。 当 k>0 时，图像在 一、三 象限，在每个象 限内y随x的增大而减小； 当 k<0 时，图像在 二、四 象限，在每个象 限内y随x的增大而 增大 。
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交 点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
例1 在同一直角坐标系中，画出函数
y
1 x2, y 2x2 2
的图象．
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？
有什么共同点和不同点？
的图象相比，
相同点：开口都向上，顶点是原 点而且是抛物线的最低点，对称 轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y x2
8 6
4 2
y 2x2 y 1 x2 2
－4 －2
24
探究
画出函数 y x2 , y 1 x2 , y 2x2 2
线有什么共同点和不同点．
2、二次函数
y=2x² 、
y
1 2
x2
的图象
与二次函数 y=x²的图象有什么相同和
不同？
y 2x 3.5
2
y x2
3
2.5
y 1 x2
2
2
1.5
1
a＞0
0.5
ห้องสมุดไป่ตู้
-2
-1
1
2
y
5 4 3 2
1
–5 –4 –3 –2 –1–O1 –2 –3 –4 –5
a＜0
x 12345
y 1 x2 2
y 2x2 y x2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
y x2
思考：这个二次函数图象有什么特征？
9
（1）形状是开口向上的抛物线
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的 形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物 线 y = x2 ，
，顶点坐标是 ，对
称轴是
.
2. 抛物线 y= -1 x2 的开口方向是 对称轴是 4 .
，顶点坐标是 ，
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口
方向相反，则a= .
课前复习
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口 向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝2x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。