全等三角形中的等腰三角形

全等三角形中的等腰三角形

【知识要点梳理】

等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形 等腰三角形的性质：①等腰三角形两个底角相等；

②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合，简称：“三线合一”.

等边三角形的概念：三边都相等的三角形.

等边三角形的性质：各个内角都相等，每个内角都等于︒60. 等腰三角形的识别：①两边相等的三角形是等腰三角形.

②若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边相等. ③三个角都是︒60的三角形是等边三角形. ④顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形.

【典型例题探究】

例1．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形，求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD

例2．已知：如图1-1、图1-2、图1-3中，△ABC ，△BDE 为等边三角形.求证：AD=CE

A

C

B

D

E

F

A

B C

D

图1-1

A

B

E

图1-2

A B

C

E

D

图1-3

例3．已知：△ABC，△BDE为等边三角形，C、B、D三点共线

求证：（1）AD=EC；（2）BP=BQ；（3）△BPQ为等边三角形

E

A

P Q

B D

例4．已知：△ABC，△BDE为等边三角形，A、D、E共线.求证：AE＝BE＋EC

A

D

C

E

例5.如图，在等边三角形ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过T 分钟后，它们分别爬行到了D 、E 处，设DC 与BE 的交点为F.

（1）求证：△ACD ≌△CBE ；

（2）问蜗牛在爬行过程中DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请证明你的结论.

【基础达标演练】

1．在ABC ∆中，AB=AC ，B A ∠=∠，则=∠B

2．等腰三角形的周长是20㎝，有一边长是8㎝，则其他两边长为 3．等腰三角形的一个角是︒32，则底角为 ；等腰三角形的一个角是︒100，则顶角为

4．如图1，ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠36A ，BD 平分AB DE ABC ⊥∠,于E ，则=∠C ，=∠BDE ，若BDC ∆周长为24，CD=4，则BC= ， ABD ∆的周长为

5．如图2所示，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P ，Q ，使AP=CQ ，AQ ，BP 相交于点O ，则∠BOQ 的度数为

6．有一个等腰三角形，三边分别是x x x 26,34,23---，则等腰三角形的周长为 7．在ABC ∆中，AB=AC ，BD 平分ABC ∠，若︒=∠75BDC ，则A ∠的度数为（ ） A 、︒30

B 、︒40

C 、︒45

D 、︒60

A

D

B

E

C

F

A

图1

A

B

C

P

O

图2

8．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45，则这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形

D 、等腰直角三角形

9. 已知：△BDE 为等边三角形，∠1=∠2，AD=CE.求证：△ABC 为等边三角形.

【能力提升训练】

1．若三角形的三边a,b,c 满足（a-b ）（b-c ）（c-a ）=0, 那么△ABC 的形状是（ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．锐角三角形

2．一个等腰三角形的底边长5cm ，一腰上的中线把这个三角形分成两个三角形，它们的周长之差为3cm ，则这个等腰三角形的腰长为（ ）

A ．2cm

B ．8cm

C ．2cm 或8cm

D ．以上答案都不对 3．下列命题是假命题的是（ ）

A ．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等

B ．底边相等的两个等腰直角三角形全等

C ．一边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等

D ．顶角相等，并且有一边相等的两个等腰三角形全等

4.在△ABC 中，如果只给出条件∠A=60°，那么还不能判定△ABC 是等边三角形，给出下面四种说法：

（1）如果再加上条件“AB=AC ”，那么△ABC 是等边三角形； （2）如果再加上条件“∠B=∠C ”，那么△ABC 是等边三角形；

（3）如果再加上条件“D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ”，则△ABC 是等边三角形； （4）如果再加上条件“AB 、AC 边上的高相等”，那么△ABC 是等边三角形； 其中正确的说法有 （把你认为正确的序号全部填上） 5.如图，△ACB 、△ECD 都是等腰直角三角形，且点C 在AD 上，AE 的延长线与BD 交于F ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.

A

B

C D

1

2 B

【走近中考前沿】

1．（2009泸州）如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．

(1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．

2．(2009内江)如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE.

3．（2009重庆）如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .

A

B D E

C

A