[精品]2019届高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六节正弦定理和余弦定理课后作业理64

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第四章三角函数与三角形4-6正弦定理和余弦定理

1 ③S＝ r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． 2 1 ④S＝ PP－aP－bP－c，其中 P＝ (a＋b＋c)． 2 (6)在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.

4．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件一边和两角( 如a，B， C) 两边和夹角( 如a，b， C)
解析：(1)已知两角和一边只有一解，由B＝30° ，C ＝105° 得，A＝45° ， asinB 4sin30° 由正弦定理得，b＝＝＝2 2. sinA sin45° (2)已知两边和一边的对角，先判断解的情况： 3 2 ∵c<bsinC＝，∴无解． 2
BC AB 5 3 (3)由正弦定理＝知，＝，∴sinA＝ sinA sinC sinA 1 2 2 ， 2 ∵BC>AB，∴A>C，∴A＝45° 或135° .
3 答案：60° ； 2

总结评述：解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．
在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝ 21，b＝4，且BC边上的高h＝2 3.则 (1)角C＝________； (2)a＝________.
解析：△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点， 2 3 3 sinC＝＝，则C＝60° . 4 2 1 又由余弦定理可知( 21) ＝4 ＋a －2· a·， 4· 2
A＋B C tan(A＋B)＝－tanC; sin ＝cos ； 2 2
A＋B A＋B C C cos ＝sin ； tan ＝cot ； 2 2 2 2 tanA＋tanB＋tanC＝tanA· tanB· tanC. (5)△ABC 的面积公式有： 1 ①S＝ a· 表示 a 边上的高)； h(h 2 1 1 1 abc ②S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA＝； 2 2 2 4R

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第2课时正、余弦定理的综

第2课时正、余弦定理的综合问题与三角形面积有关的问题(多维探究) 角度一计算三角形的面积(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为．(2)(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为．【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sinB ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.(2)因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32. 【答案】 (1)6 3 (2)32求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．角度二已知三角形的面积解三角形(2020·某某五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab＝，a ＋b ＝．【解析】因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cosC ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cosC ＝13，则C为锐角，所以sin C ＝223.由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以abc 是a ，b的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【答案】 933已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． [注意] 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．1．(2020·某某市模拟考试)在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝10，cos A ＝255，则△ABC的面积为( )A.52 B ．5C ．10D ．102解析：选A.由AC ＝5，BC ＝10，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AC ·AB cos A ，得AB 2－4AB －5＝0，解得AB ＝5，而sin A ＝1－cos 2A ＝55，故S △ABC ＝12×5×5×55＝52.选A. 2．(2020·某某市统一模拟考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a . 解：(1)由题设得a sin C ＝c cos A2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12. 又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.三角形面积或周长的最值(X 围)问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值X 围．【解】 (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32.求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(X 围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(一题多解)(2020·某某市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求△ABC 外接圆的直径； (2)求a ＋c 的取值X 围．解：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sinπ3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， asin A ＝bsin B ＝csin C ＝1，所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6. 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，从而32＜3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3，所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3. 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac≥(a ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3，又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3，所以a ＋c 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤32，3.解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)(2020·某某省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值．【解】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)因为f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1.因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，解得a ＝3－1.标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B .(1)求角C 的大小；(2)求3cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值．解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ，又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin (π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0，则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，于是3cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝3cos A ＋sin (π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3的最大值为2，此时B ＝π2.[基础题组练]1．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos A ＝74，则△ABC 的面积等于( )A ．37B.372C ．9D ．92解析：选B.因为cos A ＝74，则sin A ＝34，所以S △ABC ＝12×bc sin A ＝372，故选B. 2．在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27 B.7 C ．2 2D ．2 3解析：选D.由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.3．(2020·某某三市联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin A ∶sin B ＝1∶3，c ＝2cos C ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．3＋3 3B ．2 3C ．3＋2 3D ．3＋ 3解析：选C.因为sin A ∶sin B ＝1∶3，所以b ＝3a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋（3a ）2－c 22a ×3a＝32，又c ＝3，所以a ＝3，b ＝3，所以△ABC 的周长为3＋23，故选C.4．(2020·某某师大附中4月模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝52cos A ，则a ＝( ) A ．1 B. 5 C.13D ．17解析：选A.因为b ＝2，c ＝5，S ＝52cos A ＝12bc sin A ＝5sin A ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A cos A ＝255.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×5×255＝9－8＝1，所以a A.5．(2020·某某市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 3解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B ·sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC B.6．在△ABC 中，A ＝π4，b 2sin C ＝42sin B ，则△ABC 的面积为．解析：因为b 2sin C ＝42sin B ，所以b 2c ＝42b ，所以bc ＝42，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×22＝2. 答案：27．(2020·某某某某五校协作体期中改编)在△ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝23，则B ＝，△ABC 的面积等于．解析：△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝4×sinπ323B 为三角形的内角，所以B＝π2，所以c ＝b 2－a 2＝42－（23）2＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.答案：π22 38．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c2b，sinB ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为．解析：由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，②联立①，②得a ＝5，且c ＝2. 由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34，由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14.答案：149．在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314. (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．(2020·某某五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[综合题组练]1．(2020·某某市诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2解析：选C.如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1，3]，则c 的最小值为．解析：由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ．由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即3cos C ＝3sin C ，所以tan C ＝3，故cos C ＝12，所以c 2＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9，因为b ∈[1，3]，所以当b ＝3时，c 取最小值3.答案：33．(2020·某某市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长．解：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6. 由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714. 因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7. 所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝13. 所以BD ＝13.4．(2020·原创题)在△ABC 中，sin A ∶cos B ∶tan A ＝12∶16∶15.(1)求sin C ；(2)若AB ＝8，点D 为△ABC 外接圆上的动点，求DA →·DC →的最大值．解：(1)由sin A ∶tan A ＝12∶15，得cos A ＝45，故sin A ＝35，所以由sin A ∶cos B ＝12∶16，得cos B ＝45，故sin B ＝35，于是sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2425. (2)在△ABC 中，由AC sin B ＝ABsin C，解得AC ＝5，由A ，B ，C ，D 四点共圆及题干条件，可知∠ADC ＝∠ABC 时DA →·DC →取得最大值，设DA ＝m ，DC ＝n ，在△DAC 中，由余弦定理的推论得cos ∠ADC ＝m 2＋n 2－522mn ＝45，故85mn ＝m 2＋n 2－25≥2mn －25，解得mn ≤1252，故DA →·DC →＝45mn ≤45×1252＝50，当且仅当m ＝n ＝5102时，等号成立，故DA →·DC →的最大值为50.。

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

基础诊断考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．解析由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B，即 A＝B 或 A＋B＝2π，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案等腰三角形或直角三角形

高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件

[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，

2019高三数学(文)一轮复习课件：第四章三角函数解三角形 4-6

第四章
三角函数
解三角形
第六节
函数 y＝Asin(ω x＋φ )的图象及应用
高考概览 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
[解] 2π (1)∵T＝＝π，∴ω＝2， ω 3 3 ，∴sinφ＝－， 2 2
π π 又∵f ＝cos2× ＋φ ＝ 4 4
π π 又－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 3
(2)由(1)得
π f(x)＝cos2x－，列表： 3
π 2x － 3 x f(x)
π － 3 0 1 2
0 π 6 1π 2 5 π 来自2 0π 2 π 3 －1
3 π 2 11 π 12 0
5 π 3 π 1 2
图象如图．
角度 2：图象变换 (2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝
2π sin2x＋，则下面结论正确的是( 3
)
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， π 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2 12
1 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 2 π 再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2 6 1 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 2 π 再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C2 12 [思路引导] 先将三角函进行图 → 数化同名象变换

正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)

150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 12 —
5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
— 10 —
3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
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— 16 —
针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．
数学 N 必备知识自主学习关键能力互动探究
— 9—
2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结含解析

❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函数的基本关系式与诱导公式和与差的三角函数公式简单的三角恒等变换三角函数的图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三角函数模型的简单应用正弦定理和余弦定理解三角形应用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数的周期三角函数值域三角函数图象正余弦定理与面积公式的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ．即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝＝2sin 20°答案：－4 8．必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－＜ x －＜2k π＋，k ∈Z ，得4k π－＜x ＜4k π＋ π. －，－， .故④正确．令 k ＝0 得，－＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x －＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移－(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝－ 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx －－ 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝处取得最值，因此 2ω· －＝k π＋，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个单位，得到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝－ 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝，因为 α 为锐角，所以－＜α－＜，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝，所以＝＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将函数 f (x ) 的图象向左平移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝，＝，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－，所以 sin ∠BAC ＝，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。

高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例教学案理新人教A

4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sin A＝____，sin B＝__________，sin C＝__________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝__________；cos B＝__________；cos C＝__________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．A．4 3 B．2 3 C. 3 D.322．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A．5海里/时B．5 3 海里/时C．10海里/时D．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数无解一解两解一解一解无解请做演练巩固提升1 二、三角形形状的判定【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例2－2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；3．当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用．请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答．2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键．请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件． 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________． 3．(福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.4．(陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb2＋c2－2bc·cos A c2＋a2－2ca·cos B a2＋b2－2ab·cos C①2R sin A2R sin B2R sin C②a2R b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin Cb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2．上方下方基础自测1．B 解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2 3.2．B 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，OO′BO＝tan 30°，OO′AO＝tan 15°，∴BO＝3OO′，AO＝(2＋3)OO′.∵AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.5．2 3 解析：由cos C＝13，得sin C＝223，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×32×b×223＝43.∴b＝2 3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝34.方法二：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.【例1－2】解：(1)因为tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，即sin Ccos C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos C sin B，即sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin C cos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cos C＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12ac sin B＝6＋28ac＝3＋3，又asin A＝csin C，即a22＝c32，得a＝22，c＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B＝cos A·sin C，∴b＝b2＋c2－a22bc·c.∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A.【例2－2】解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【例3】解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A)＝4sin A co s A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.2．等边三角形解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形． 3. 2 解析：如图：由正弦定理得ACsin B ＝BCsin A ，即ACsin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sinB ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ，即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t ≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

第四篇三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin Aa ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞ba ≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063. 答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π， ∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32. ∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】(2011·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－1 2，∵0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC ＝12bc sin A＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，试判断△ABC的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)．∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝210.阅卷报告4——忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件., 【防范措施】解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a ＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．错因忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．实录由1＋2cos(B＋C)＝0，知cos A＝12，∴A＝π3，根据正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，∴B＝π4或3π4.以下解答过程略．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.。

2019版高考数学复习三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理学案理

3．6 正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )(2)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( )(3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )(4)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A5P 10A 组T 4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×46×34＝1. (2)(必修A5P 20A 组T 11)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．答案 7解析因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.3．小题热身(1)(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析在△ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A.(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 答案2113解析由已知可得sin A ＝35，sin C ＝1213，则sin B ＝sin(A ＋C )＝35×513＋45×1213＝6365，再由正弦定理可得a sin A ＝bsin B ⇒b ＝1×636535＝2113.题型1 利用正、余弦定理解三角形典例1 (2018·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32边角互化法．答案 B解析由正弦定理知sin B3cos B ＝sin A sin A＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B.典例2 (2018·重庆期末)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．43或8 3D. 3注意本题的多解性．答案 C解析在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝42＝(43)2＋BC 2－2×43BC cos30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，AC ＝BC ，∠B ＝∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∠C ＝120°， △ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×4×12＝4 3.当BC ＝8时，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×8×12＝83，故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )(sin B ＋sin C )，则角C 等于( )A.π3 B.π6 C.π4 D.2π3答案 A解析由题意，得(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3，故选A.2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，c ＝3，sin A ＝6sin C ，由正弦定理asin A＝csin C，得a ＝6·c＝6×3＝3 2.(2)由cos2A ＝1－2sin 2A ＝－13得，sin 2A ＝23，由0<A <π2，得sin A ＝63，则cos A ＝1－sin 2A ＝33. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，化简，得b 2－2b －15＝0，解得b ＝5(b ＝－3舍去)．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×63＝522.题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状典例 (2017·陕西模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定用边角互化法．答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.[条件探究1] 将典例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析解法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .故选B. 解法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .故选B.[条件探究2] 将典例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C解析在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2＝－23110<0，又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴△ABC 为钝角三角形．故选C.[条件探究3] 将典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)． ∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．方法技巧判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．冲关针对训练在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°<A <180°，∴A ＝60°. (2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形.题型3 与三角形有关的最值角度1 与三角形边长有关的最值典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cos C ＋33c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求ac 的最大值．本题采用转化法．解 (1)在△ABC 中，∵a ＝b cos C ＋33c sin B ， ∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋33sin C sin B ，化为cos B sin C ＝33sin C sin B ，sin C ≠0，可得tan B ＝3，B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得b sin B ＝2R ＝43，令y ＝ac ＝2R sin A ·2R sin C ＝163sin A sin C＝163sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝83sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋43. ∵0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2.故π6<2A －π6<5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4.∴ac 的最大值为4.角度2 与三角形内角有关的最值典例 (2017·庄河市期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2.(1)若f (1)＝0，且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．本题采用重要不等式法．解 (1)由f (1)＝0，得a 2－a 2＋b 2－4c 2＝0， ∴b ＝2c .又由正弦定理，得sin B ＝2sin C ， ∵B －C ＝π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ＝2sin C ，整理得3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33. ∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π6.(2)∵f (2)＝0，∴4a 2－2a 2＋2b 2－4c 2＝0，即a 2＋b 2－2c 2＝0，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)．又∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，C 是锐角， ∴0<C ≤π3.方法技巧求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．冲关针对训练(2018·绵阳检测)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，B ＝π3，所以0<A <2π3，所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1. 又因为f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 答案 A解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ， ∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .故选A.2．(2018·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.答案π6解析由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，又因为a >b ，故B ＝π6.3．(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C .若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________．答案 5<b 2＋c 2≤6解析由正弦定理，可得(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sinπ3＝2， ∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5<b 2＋c 2≤6.4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12，所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A ，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.3．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b等于( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 A解析由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2.故选A.4．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12答案 B解析不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b2c cos C ＝2－68×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2，故选B.5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34，△ABC 的形状( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 A解析在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，故A ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34.即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34.32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34， 32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1.又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C.7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2) 答案 A解析由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.故选A.8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形答案 C解析由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝12sin2B ，又A 、B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π2，则△ABC 是直角三角形，故选C.10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3 答案 C解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫90°－B 2.∴2sin B ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2.∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34. 13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8解析由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1，又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. B 级三、解答题15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为433，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.(1)求a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝433sin C .所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝433(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×32＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sinB －6sin 2B ＝0.(1)求a b的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sinB －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，所以⎝⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B－6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)．由正弦定理得a b ＝sin Asin B＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.①将a b＝2，即a ＝2b 代入①，得5b 2－c 2＝3b 2，得c ＝2b .由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148. 17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .(1)求角C 的大小；(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值．解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ，得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ， ∴sin A cos C ＝0，又∵0<A <π，0<C <π， ∴sin A >0. ∴cos C ＝0， ∴C ＝π2.(2)由(1)得C ＝π2，∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54.∵0<B <π2，∴当sin B ＝12，即B ＝π6时，sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD . (1)求tan ∠ADB 的值； (2)若CD ＝33，求S △ABC .解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC22AB ·BC＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a＝33， ∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，得b 2＝a 2＋b 2－233ab ，解得a ＝233b .由正弦定理AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，得b 63＝a sin ∠ADB，解得sin ∠ADB ＝223，又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2.(2)由已知可得 3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，① 由(1)可知a ＝233b ，②联立①②得a ＝2，b ＝ 3.过A 作AH ⊥BC 于H ，则H 为BC 的中点，易求得DH ＝33. 则tan ∠ADB ＝AH33＝2 2.∴AH ＝263，∴S △ABC ＝12×433×263＝423.。

高考理科数学第一轮复习课件第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) 4.6 正弦定理、余弦定理及其应用

4．6正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝_____________________；sin2C＝________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有________________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：(3)已知三边，用____________定理有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝______________＝______________＝______________＝______________＝______________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝__________.tan A＋tan B＋tan C＝____________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.(4)在△ABC中，a＝b cos C＋ccos B，b＝____________，c＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠：1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2b ccos A c 2＋a 2－2c a cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22b c c 2＋a 2－b 22c a a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解 ①一解②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12b csin A 12a csin B ab c 4R12(a ＋b ＋c)r (2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C2 sin(B ＋C )－cos(B ＋C ) －tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C (4)a cos C ＋ccos A a cos B ＋b cos A(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝ ( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A . (2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是 ( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A 解：sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ⇒2sin B ＝ sin A ⇒2b ＝a .故选A.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝ ( )A.π12B.π6C.π4D.π3 解：由题意sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，得sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C，即sin C ＝12，得C ＝π6.故选B.(2018·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝27×sin π3＝217，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ，所以7＝ 4＋c 2－2c ，所以c ＝3(负值舍去)．故填217；3. (2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋csin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．解：根据题意，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，即sin A ＝12，结合余弦定理可得b 2＋c 2－a 2＝2b ccos A ＝8，所以A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得b c ＝833，所以△ABC 的面积为S ＝12b csin A ＝12×833×12＝233.故填233.类型一正弦定理的应用(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求A ；(2)求AC 边上的高．解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，7sin A ＝8437，所以sin A ＝32.因为B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝32×⎝⎛⎭⎫－17＋12×437＝3314. 如图所示，在△ABC 中，h ＝BC ·sin C ＝7×3314＝332，所以AC 边上的高为332.点拨：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解．(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解：在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.故填2113.(2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若2b cos B ＝a cos C ＋ccos A ，则B ＝________.解：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3.故填π3. 类型二余弦定理的应用(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝ ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 解：由题可知S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，由余弦定理a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以sin C ＝cos C ，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.故选C .点拨：正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，根据三角形内角A ＋B ＋C ＝π的隐含条件，结合诱导公式及正、余弦定理，将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角函数与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法、化边法、面积法、运用初等几何法等．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、化归与转化思想及分类与整合思想．(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解：因为AB →·AC →＝－6，所以b ccos A ＝－6. 又S △ABC ＝3，所以b csin A ＝6，因此tan A ＝－1. 又0＜A ＜π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a＝29.类型三正、余弦定理的综合应用(2018·北京)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则B ＝________；c a 的取值范围是________．解：因为S △ABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12a csin B ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝sin B 3，即cos B ＝sin B 3，所以sin B cos B ＝3，即tan B ＝3，所以B ＝π3，则c a ＝sin Csin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A sin A ＝32cos A －⎝⎛⎭⎫－12sin A sin A ＝32·1tan A ＋12，因为C 为钝角，B ＝π3，所以0<A <π6，所以tan A ∈⎝⎛⎭⎫0，33，1tan A ∈(3，＋∞)．故c a ∈(2，＋∞)．故填π3；(2，＋∞)．点拨：①化边的关系为角的关系，和角或差角公式的正向或反向运用，以及多次联用是解决三角形问题的常用技巧；②将边的问题转化为三角函数的问题，或由边的关系结合基本不等式是解决最值(范围)问题的基本方法．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝ tan A cos B ＋tan Bcos A . (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin Acos A cos B ＋sin Bcos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c.(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故cos C的最小值为12.类型四判断三角形的形状(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2ccos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解：因为2b cos C －2ccos B ＝a ，所以2sin B cos C－2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，所以tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，所以2tan C 1－tan 2C＝3tan C ，得tan C ＝33，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.点拨：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式，一般用到正弦定理；出现边的二次式，一般用到余弦定理．用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意适时缩小角的范围，如本例中由B ＝2C 知C 是锐角．(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：由lg b ＋lg 1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b .由lgsin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，又A 为锐角，所以cos A ＝22. 由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A 得a ＝b ，故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.故选D .类型五解三角形应用举例如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m .解：设此山高h(m )，则BC ＝3h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600(m )．在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C ，即3h sin30°＝600sin45°，解得h ＝1006(m )．故填100 6. 点拨： ①解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．②不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为可解的三角形．(2017·郑州二模)如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和 60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米．解：在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin15°＝30－103sin15°＝30－1036－24＝20 6.如右图过点A 作AN ⊥CD 于点N ，在Rt △ACN 中，因为∠CAN ＝30°，所以∠ACN ＝60°.又在Rt△CMD 中，∠CMD ＝60°，所以∠MCD ＝30°，所以∠ACM ＝30°，在△AMC 中，∠AMC ＝105°，所以AC sin105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin30°，所以AC ＝60＋203，所以CN ＝30＋103，所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60.故填60.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状． 3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤第一步，分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步，建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；第三步，求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步，检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．1．(2016·郑州一测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A ，则 cos B ＝ ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解：因为b 3cos B ＝asin A ，所以由正弦定理得sin B 3cos B ＝sin A sin A ，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以 B ＝π3，所以cos B ＝12.故选B.2．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13， BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1.故选A .3．(北京通州2017届期末)在△ABC 中，a ＝2，B ＝π3，△ABC 的面积等于32，则b 等于 ( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 解：由△ABC 面积公式可得S ＝12a csin B ＝32，12×2c ×32＝32，c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ＝22＋12－2×2×1×cos π3＝3，b ＝ 3.故选C.4．(2018·东北三校联考)若两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°方向上，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km解：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝ 120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a (km)，即灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km.故选D.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2， cos A ＝－14，则a 的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8解：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12b csin A ＝12b c ×154＝315，解得b c ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2b ccos A ＝(b －c)2＋2b c －2b ccos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，得a ＝8.故选D . 6．(2017·黑龙江、吉林八校期末)已知△ABC三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于( ) A.32 B ．－22 C ．－24 D ．－34 解：设△ABC 的面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝（22）2＋22－422×22×2＝－24.故选C .7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋ccos B ＝2b ，则ab ＝________.解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B ＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab＋c·a 2＋c 2－b 22a c ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，a b ＝2. 解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋ccos B＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2.8．(2017·浙江节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________．解：取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC . △ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152. 9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． ①将①两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12a csin B ＝417a c. 又S △ABC ＝2，则a c ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2a ccos B ＝(a ＋c)2－2a c(1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.10．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ； (2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.11．(2018·安徽合肥模拟)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin A ·sin C .(1)求角B ；(2)若点D 在线段BC 上，满足DA ＝DC ，且a ＝11，cos(∠BAC －∠C )＝55，求CD 的长．解：(1)在△ABC 中，由已知及正弦定理可得，a 2＋c 2－b 2＝3a c ，所以由余弦定理得cos B ＝32. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.(2)由题易知∠BAD ＝∠BAC －∠C ，又cos(∠BAC －∠C )＝55，所以sin(∠BAC －∠C )＝sin∠BAD ＝255，设AD ＝x ，则CD ＝x ，BD ＝11－x ，在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝ADsin B，即11－x 255＝x12，解得x ＝45－5，所以CD ＝45－5.(2018·河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .因为cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，所以3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，PD ＝312－252＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人

2019-2020年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人教A 版(I)一、填空题1.(xx·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝________.解析法一 ∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°. 答案 60°2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则角A 的大小为________.解析由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2.答案π23.(xx·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________.解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A＝ 3. 答案 34.(xx·泰州调研)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是________km.解析画出示意图如图，由条件知AB ＝24×1560＝6(km).在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6(km)，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB sin 30°sin 45°＝32(km).答案 3 25.(xx·河南六市联考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为________.解析由S △ABC ＝12bc sin A ＝2，得bc ＝3，①又由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2＝6.② 由①②解得b ＝ 3. 答案36.(xx·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.解析由正弦定理知sin B ＝b sin A a ＝6×sin 23π3＝22，又因为a ＞b ，所以A ＞B ，所以B ＝π4.答案π47.(xx·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________.解析由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案 48.(xx·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab ＝34a 2＋12b 2－2ab22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab22ab ＝6－24，故6－24≤cos C <1，故cos C 的最小值为6－24. 答案6－24二、解答题9.(xx·四川卷)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°.(2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°，则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3，所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3.10.(xx·苏北四市一检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－b 2－c2＋3bc ＝0，2b sin A ＝a ，BC 边上中线AM 的长为14. (1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，∴A ＝π6，由2b sin A ＝a ，得b ＝a ，∴B ＝A ＝π6.(2)设AC ＝BC ＝x ，由余弦定理，得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(14)2，解得x ＝22，故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.(建议用时：20分钟)11.已知钝角△ABC 的面积为12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于________.解析 ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意.故AC ＝ 5. 答案512.(xx·南京师大附中模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S△ABC＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，则c ＝________.解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，∴c ＝2 3.答案 2 313.(xx·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.解析如图，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰△CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，所以BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰△ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案 (6－2，6＋2)14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且a ＝12c ＋b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若S △ABC ＝3，b ＝13，求a ＋c 的值.解 (1)由正弦定理，得sin A ＝12sin C ＋sin B cos C ，又因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )，可得sin B cos C ＋cos B sin C ＝12sin C ＋sin B cos C ，即cos B ＝12，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为S △ABC ＝3，所以12ac sin π3＝3，所以ac ＝4，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝13＋12＝25，即a ＋c ＝5.。

2019届高三数学课标一轮复习课件：4-6 正弦定理和余弦

C
1 1 3 2
=
3 3 2
.
解析
关闭
答案
-9知识梳理双击自测
3.(教材改编)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
关闭
由正弦定理, 得2�� =sin A, 2�� =sin B, 2�� =sin C, 代入得到 a2+b2 <c2, 由余弦定理得 cos C= 角形. C
b 2 +c 2 -a 2 2bc 2 a +c 2 -b 2
常见变形
(1)a=2Rsin A,b= 2Rsin B,c=2Rsin C; a b c (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
2R 2R 2R
; ;
cos C=
2ac 2 a +b 2 -c 2 2ab
解析
�� 2 +�� 2 -�� 2 2 ��
��
��
��
<0, 所以 C 为钝角, 所以该三角形为钝角三
关闭
答案
-10知识梳理双击自测
4.(2017浙江湖州预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
若 A.-
= sin ��,则 cos B=( 3cos ��
-3知识梳理双击自测
1.正弦定理和余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
a

高考数学一轮复习第6讲正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理1．正弦定理asinA ＝01bsinB ＝02csinC ＝2R ，其中2R 为△ABC 外接圆的直径．变式：a ＝032R sin A ，b ＝042R sin B ，c ＝052R sin C . a ∶b ∶c ＝06sin A ∶07sin B ∶08sin C . 2．余弦定理a 2＝09b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝10a 2＋c 2－2ac cos B ； c 2＝11a 2＋b 2－2ab cos C . 变式：cos A ＝12b2＋c2－a22bc；cos B ＝13a2＋c2－b22ac；cos C ＝14a2＋b2－c22ab.sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A .3．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况图形关系式解的个数 A 为锐角a <b sin A15无解a ＝b sin A16一解b sin A <a <b17两解a ≥b18一解 A 为钝角或直角a >b 19一解a ≤b20无解4．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝2112ac sin B ＝2212ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cos C2；(4)cos A ＋B2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .1．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°答案 D解析由正弦定理，得1sinA ＝2sin45°，得sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°.故选D.2．(2020·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C ．3D ．2答案 B 解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝4＋c 2－2×2×c ×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B. 3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42B ．30 C.29D ．25答案 A解析因为cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552－1＝－35，所以AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC ·cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42.故选A.4．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.答案 2解析因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________.答案1534解析因为a ＝3，b ＝5，c ＝7，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝9＋25－492×3×5＝－12，因此sin C ＝32，所以△ABC 的面积S ＝12×3×5×32＝1534.6．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________________. 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．考向一利用正、余弦定理解三角形例1 (1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19B ．13C ．12D ．23答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 1解析因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理，得a sinA＝b sinB，即3sin2π3＝b sin π6，解得b＝1.(3)(2020·新高考卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解解法一：由sin A ＝3sin B 可得ab＝3，不妨设a ＝3m ，b ＝m (m >0)，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3m 2＋m 2－2×3m ×m ×32＝m 2，即c ＝m .选择条件①： ac ＝3m ×m ＝3m 2＝3，∴m ＝1，此时c ＝m ＝1.选择条件②：cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝m2＋m2－3m22m2＝－12，则sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＝32，此时c sin A ＝m ×32＝3，则c ＝m ＝23.选择条件③：可得cb ＝mm ＝1，c ＝b ，与条件c ＝3b 矛盾，则问题中的三角形不存在．解法二：∵sin A ＝3sin B ，C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )，∴sin A ＝3sin(A ＋C )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6，即sin A＝3sin A·32＋3cos A·12，∴sin A＝－3cos A，∴tan A＝－3，∴A＝2π3，∴B＝C＝π6.若选①，ac＝3，∵a＝3b＝3c，∴3c2＝3，∴c＝1.若选②，c sin A＝3，则3c2＝3，c＝23.若选③，b＝c与条件c＝3b矛盾，则问题中的三角形不存在．解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．1.已知在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c＝()A．25B．5C．25或5D．均不正确答案 C解析∵asinA＝bsinB，∴sin B＝bsinAa＝155·sin30°＝32.∵b>a，∴B＝60°或120°.若B＝60°，则C＝90°，∴c＝a2＋b2＝25.若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c ＝5.2．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5C．4 D．3答案 A解析∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝错误!＝错误!＝－错误!，∴错误!＝6.故选A.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 A解析∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝12，又0<C<π，∴C＝π3，又由2cos A sin B＝sin C，得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案 A解析根据正弦定理，得cb＝sinCsinB<cos A，即sin C<sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)<sin B cos A，整理得sin A cos B<0，又三角形中sin A>0，∴cos B<0，∴π2<B<π.∴△ABC为钝角三角形．三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝a2R，cos A＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．提醒：(1)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．3.(2021·陕西安康模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 B解析∵b cos C＋c cos B＝a sin A，∴由正弦定理，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，又A ∈(0，π)，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B 解析因为cos2B 2＝a ＋c 2c，所以2cos2B 2－1＝a ＋cc －1，所以cos B ＝ac，所以a2＋c2－b22ac ＝ac，所以c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 为直角三角形．多角度探究突破考向三正、余弦定理的综合应用角度1 三角形面积问题例3 (2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos2A ＝437.由正弦定理，得asinA ＝c sinC ，∴8437＝7sinC ，∴sin C ＝32.∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝63.选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos2A ＝378，sin B ＝1－cos2B ＝5716.由正弦定理，得asinA ＝b sinB ，即a 378＝11－a5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．5.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3，S △ABC ＝22，则b 的值为( )A ．6B ．4C ．2D ．2或3答案 D解析因为S △ABC ＝22＝12bc sin A ，sin A ＝223，且A ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以bc ＝6，cos A ＝13，又因为a ＝3，由余弦定理，得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，所以b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3.6．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C .解 (1)由余弦定理可得b 2＝28＝a 2＋c 2－2ac cos150°＝7c 2， ∴c ＝2，a ＝23，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3.(2)∵A ＋C ＝30°， ∴sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C＝12cos C －32sin C ＋3sin C＝12cos C ＋32sin C ＝sin(C ＋30°)＝22. ∵0°＜C ＜30°，∴30°＜C ＋30°＜60°， ∴C ＋30°＝45°，∴C ＝15°. 角度2 三角形中的范围问题例4 (2020·浙江高考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A ＝3a .(1)求角B ；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围．解 (1)∵2b sin A ＝3a ，结合正弦定理可得2sin B sin A ＝3sin A ，∴sin B ＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π3.(2)由(1)得C ＝2π3－A ，则cos A ＋cos B ＋cos C ＝cos A ＋12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A＝cos A ＋12－12cos A ＋32sin A＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧0＜23π－A ＜π2，0＜A ＜π2可得π6＜A ＜π2，∴π3＜A ＋π6＜2π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤32，1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32. 即cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎥⎤3＋12，32.解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．7.(2020·陕西第三次教学质量检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b ＋c )·(a ＋b －c )＝3ab .(1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 为锐角三角形，求a ＋b 的取值范围．解 (1)由题意知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可知， cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12，又C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由正弦定理可知，a sinA ＝b sinB＝2sin π3＝433，即a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，∴a ＋b ＝433(sin A ＋sin B )＝433⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sinA ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3－A ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6，又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A<π2，0<B ＝2π3－A<π2，即π6<A <π2，则π3<A ＋π6<2π3，∴23<4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6≤4，综上，a ＋b 的取值范围为(23，4]．角度3 正、余弦定理解决平面几何问题例5 (2020·济南一模)如图，平面四边形ABCD 中，点B ，C ，D 均在半径为533的圆上，且∠BCD ＝π3.(1)求BD 的长度；(2)若AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，求△ABD 的面积．解 (1)解法一：由题意可知，△BCD 的外接圆半径为533，由正弦定理BD sin∠BCD＝2R ＝2×533，解得BD ＝5.解法二：由题意可知，△BCD 的外接圆半径为533，设该外接圆的圆心为O ，则∠BOD ＝2π3，OB ＝OD ＝533，所以BD 2＝OB 2＋OD 2－2OB ·OD cos ∠BOD ＝25，解得BD ＝5.(2)解法一：在△ABD 中，设∠ABD ＝α，α为锐角，则∠ADB ＝2α，因为AB sin2α＝AD sinα，所以AB 2sinαcosα＝3sinα，所以AB ＝6cos α.因为AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos α，即9＝36cos 2α＋25－60cos 2α，所以cos α＝63，则AB ＝6cos α＝26，sin α＝33，所以S △ABD ＝12AB ·BD sin α＝52.解法二：在△ABD 中，因为∠ADB ＝2∠ABD ，所以sin ∠ADB ＝sin2∠ABD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ，所以AB ＝2AD cos ∠ABD ＝2AD ·AB2＋BD2－AD22AB·BD ，因为BD ＝5，AD ＝3，所以AB ＝26，所以cos ∠ABD ＝63，则sin ∠ABD ＝33，所以S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD ＝52.解法三：在△ABD 中，设∠ABD ＝α，α为锐角，则∠ADB ＝2α，∠BAD ＝π－3α，因为BD sin3α＝AD sinα，即5sin3α＝3sinα，又sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcos α＋cos2αsin α＝2sin αcos 2α＋sin α－2sin 3α＝3sin α－4sin 3α，所以sin 2α＝13，则sin α＝33，则cos α＝63，sin2α＝223，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin2α＝52.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．8.(2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.(1)若AB＝32，求BC；(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解(1)在△ABD中，AD＝BD＝1，AB＝3 2，由余弦定理，可得cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝34，因为CD∥AB，所以∠BDC＝∠ABD，在△BCD中，已知CD＝BD＝1，由余弦定理可得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos∠BDC＝1 2，故BC＝2 2.(2)设BC＝x，则AB＝2x，在△ABD中，cos∠ABD＝AB2＋BD2－AD22AB·BD＝4x24x＝x，在△BCD中，cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝2－x22，由CD∥AB可知，∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即2－x22＝x，整理可得x2＋2x－2＝0，因为x>0，解得x＝3－1，因此，cos∠BDC＝cos∠ABD＝x＝3－1.利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．解(1)∵sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C，由正弦定理可得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，∴AC2＋AB2－BC2＝－AC·AB，∴cos A＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)解法一：由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB 时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋23. 解法二：由正弦定理，得ABsinC ＝ACsinB ＝BCsinA＝3sin2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－B ＋23sin B＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cosB －12sinB ＋23sin B＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3.当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋23.答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．对点训练(2020·泰安三模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A ＋cos2B ＋2sin A sin B ＝1＋cos2C .(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为2，求CD 2的最小值．解 (1)由已知可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B ＋2sin A sin B ＝1＋1－2sin 2C ，得ab ＝a 2＋b 2－c 2，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝12，所以C ＝π3.(2)由S △ABC ＝12ab sin C ，即2＝12ab ·32，得ab ＝833.因为D 为AB 的中点，所以CD →＝12(CA →＋CB →)，所以CD →2＝14(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB→)，则CD →2＝14(b 2＋a 2＋2ab cos C )＝14(b 2＋a 2＋ab )≥14(2ab ＋ab )＝23，当且仅当a ＝b时取等号，所以CD 2的最小值为23.一、单项选择题1．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c＝( )A ．27B ．7C ．22D ．23 答案 D解析由S ＝12ab sin C ＝2a ×32＝23，解得a ＝2，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝23.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24B ．－24C ．34D ．－34答案 B解析由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，所以b ＝2a ，所以cos C ＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a ×2a＝－24，故选B.3．(2020·广西南宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B ．32C ．1D ．34答案 A解析 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理，得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 C解析根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2.由余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab＜0，故C 是钝角．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a＝sinAsinC ＋sinB ，则B ＝( )A.π6B ．π4C ．π3D ．3π4答案 C解析因为c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，所以c－bc－a＝ac＋b，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝12，又B∈(0，π)，所以B＝π3.6．△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A.33B．±63C．－63D．63答案 D解析由正弦定理，得ACsinB＝ABsinC，∴sin C＝ABsinBAC＝2×sin60°3＝33，又AB<AC，∴0<C<B＝60°，∴cos C＝1－sin2C＝63.故选D.7．(2020·广东广雅中学模拟)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3b cos C＝c(1－3cos B)，则sin C∶sin A＝()A．2∶3 B．4∶3C．3∶1 D．3∶2答案 C解析由正弦定理，得3sin B cos C＝sin C－3sin C cos B,3sin(B＋C)＝sin C，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，故选C.8．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a2c2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2＋c2－b222，若a2sin C＝2sin A，(a＋c)2＝6＋b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为()A.32 B ．3C ．12D ．1答案 A解析因为a 2sin C ＝2sin A ，所以a 2c ＝2a ，所以ac ＝2，因为(a ＋c )2＝6＋b 2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝6＋b 2，所以a 2＋c 2－b 2＝6－2ac ＝6－4＝2，从而△ABC 的面积为S △ABC ＝14×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝32，故选A.二、多项选择题9．(2020·江苏南京师范大学附属中学期末)在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有( )A ．b ＝20，A ＝45°，C ＝80°B ．a ＝30，c ＝28，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝12，c ＝15，A ＝120°答案 AB解析 A 中，已知两角一边，三角形是确定的，只有唯一解；B 中，已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，有唯一解；C 中，由正弦定理得sin B ＝bsinA a＝16sin45°14＝427＜1，又b ＞a ，即B ＞A ，所以B 可能为锐角，也可能为钝角，有两解；D 中，a ＜c ，A 角只能为锐角，已知A 为钝角，三角形无解．故选AB.10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是( )A ．若acosA ＝bcosB ＝ccosC ，则△ABC 一定是等边三角形B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是等腰三角形C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形D ．若a 2＋b 2－c 2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形答案 AC 解析由a cosA＝b cosB＝c cosC，利用正弦定理可得sinA cosA＝sinB cosB＝sinC cosC，即tan A＝tan B ＝tan C ，A ＝B ＝C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ⇒sin2A ＝sin2B,2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，△ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B ，sin A ＝sin B ，则A ＝B ，△ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＞0，角C为锐角，角A ，B 不一定是锐角，D 不正确．故选AC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆半径为877答案 ACD解析因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x >0)，解得a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，所以A 正确；由上可知，c 最大，所以三角形中C 最大，又cos C ＝a2＋b2－c22ab＝错误!＝18>0，所以C 为锐角，所以B 错误；由上可知，a 最小，所以三角形中A 最小，又cos A ＝c2＋b2－a22cb ＝错误!＝错误!，所以cos2A ＝2cos 2A －1＝错误!，所以cos2A ＝cos C .由三角形中C 最大且C 为锐角可得，2A ∈(0，π)，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以C正确；由正弦定理，得2R ＝csinC ，又sin C ＝1－cos2C ＝378，所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.12．(2020·烟台模拟)在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB ＝－55，则( )A ．sin ∠CDB ＝310B ．△ABC 的面积为8 C ．△ABC 的周长为8＋45D ．△ABC 为钝角三角形答案 BCD解析由cos ∠CDB ＝－55可得sin ∠CDB ＝1－15＝255，故A 错误；设CD ＝x ，CB ＝2x ，在△CBD 中，由余弦定理，可得－55＝9＋x2－4x26x，整理可得，5x 2－25x －15＝0，解得x ＝5，即CD ＝5，CB ＝25，所以S △ABC ＝S △BCD ＋S △ADC ＝12×3×5×255＋12×5×5×255＝8，故B正确；由余弦定理，可知cos B＝BC2＋BD2－CD22BC·BD＝BC2＋AB2－AC22BC·AB，即20＋9－52×3×25＝20＋64－AC22×8×25，解得AC＝25，故周长AB＋AC＋BC＝8＋25＋25＝8＋45，故C正确；由余弦定理，可得cos∠ACB＝20＋20－642×25×25＝－35<0，故∠ACB为钝角，D正确．故选BCD.三、填空题13．(2020·北京海淀模拟)在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝________.答案 1解析由题意知sin 2π3＝3sin C，∴sin C＝12，又0<C<π3，∴C＝π6，从而B＝π6，∴b＝c，故bc＝1.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________.答案π3解析解法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A.∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B . ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.解法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.15.(2020·海南一模)顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观．如图所示，△ABC 是黄金三角形，AB ＝AC ，作∠ABC 的平分线交AC 于点D ，易知△BCD 也是黄金三角形．若BC ＝1，则AB ＝________；借助黄金三角形可计算sin234°＝________.答案5＋12－5＋14解析由题可得∠A ＝∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝∠BDC ＝72°，所以△ABC ∽△BCD ，得AB BC ＝BC CD，且AD ＝BD ＝BC ＝1.设AB ＝AC ＝x ，则CD ＝x －1，所以x1＝1x －1，解得x ＝5＋12(负值舍去)．因为sin234°＝sin(180°＋54°)＝－sin54°＝－cos36°.在△ABC 中，根据余弦定理可得cos36°＝x2＋x2－12x2＝5＋14，所以sin234°＝－5＋14.16.(2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝_________.答案－14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB2＋AC2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE ＝30°，由余弦定理，得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理，得cos ∠FCB ＝CF2＋BC2－BF22CF·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14.四、解答题17．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．解 (1)因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54，所以sin 2A ＋cos A ＝54，即1－cos 2A ＋cos A ＝54，解得cos A ＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)证明：因为A ＝π3，所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝12，即b 2＋c 2－a 2＝bc .① 又b －c ＝33a ，②将②代入①，得b 2＋c 2－3(b －c )2＝bc ，即2b 2＋2c 2－5bc ＝0，而b ＞c ，解得b ＝2c ，所以a ＝3c .所以b 2＝a 2＋c 2，即△ABC 是直角三角形．18．(2020·烟台一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,2a cos A ＝3(b cos C ＋c cos B )． (1)求角A ； (2)若b ＝23，BC 边上的高为3，求c .解 (1)因为2a cos A ＝3(b cos C ＋c cos B )，由正弦定理，得2sin A cos A ＝3(sin B cos C ＋sin C cos B )，即2sin A cos A ＝3sin(B ＋C )，又B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，所以2sin A cos A ＝3sin A .因为0＜A ＜π，sin A ≠0，所以cos A ＝32，所以A ＝π6.(2)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12a ·h BC ，将b ＝23，h BC ＝3，sin A ＝12代入，得a ＝3c3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 32＝(23)2＋c 2－2×23×32c ，即c 2－9c ＋18＝0，解得c ＝3或c ＝6.19．(2020·淄博二模)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac＝a 2＋c 2；③ac ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若________，则________(用序号表示)，并给出证明过程．注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分．解方案一：若①②③，则④.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，且B ＝60°，得ac ＝2；由③a c ＝2或12，不妨取ac ＝2，联立ac ＝2，得a ＝2，c ＝1.由②得，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立．方案二：若①②④，则③.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，且B ＝60°，得ac ＝2；由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝3＋6＝9⇒a ＋c ＝3，(a －c )2＝3－2＝1⇒a －c ＝±1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，得a c ＝2或12，③成立．方案三：若②③④，则①.证明：由②得ac ＝a 2＋c 2－b 2，得cos B ＝12，即B ＝60°；由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3；由③a c ＝2或12，不妨取ac ＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3，即3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，S △ABC ＝32，①成立．20．(2020·济宁三模)如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，________，DC ＝2，在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答计分)①3AB ＝4BC ，sin ∠ACB ＝23；②tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫∠BAC＋π6＝3；③2BC cos ∠ACB ＝2AC －3AB .(1)求∠DAC 的大小； (2)求△ADC 面积的最大值．解若选①：(1)在△ABC 中，由正弦定理可得ABsin∠ACB ＝BCsin∠BAC，又3AB ＝4BC ，sin ∠ACB ＝23，可得sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝π6.又AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝π2，∴∠DAC ＝π3.(2)在△ADC 中，DC ＝2，由余弦定理，可得DC 2＝4＝AC 2＋AD 2－AC ·AD ≥AC ·AD ，即AC ·AD ≤4.∴S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠DAC ≤12×4×32＝3，当且仅当AC ＝AD 时取“＝”．若选②：(1)由tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫∠BAC＋π6＝3，可得∠BAC ＝π6.又AB ⊥AD ，∴∠BAD ＝π2，∴∠DAC ＝π3.(2)在△ADC 中，DC ＝2，由余弦定理，可得DC 2＝4＝AC 2＋AD 2－AC ·AD ≥AC ·AD ，即AC ·AD ≤4. ∴S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠DAC ≤12×4×32＝3，当且仅当AC ＝AD 时取“＝”．若选③：(1)2BC cos ∠ACB ＝2AC －3AB ，由正弦定理，得2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin ∠ABC －3sin ∠ACB ，∴2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin(∠ACB ＋∠BAC )－3sin ∠ACB ，∴2sin ∠BAC cos ∠ACB ＝2sin ∠ACB cos ∠BAC ＋2cos ∠ACB sin ∠BAC －3sin ∠ACB ，即2sin ∠ACB cos ∠BAC ＝3sin ∠ACB .∵sin ∠ACB >0，∴cos ∠BAC ＝32.∵∠BAC ∈(0，π)，∴∠BAC ＝π6.又AB⊥AD，∴∠BAD＝π2，∴∠DAC＝π3.(2)在△ADC中，DC＝2，由余弦定理，可得DC2＝4＝AC2＋AD2－AC·AD≥AC·AD，即AC·AD≤4.∴S△ADC＝12AC·AD sin∠DAC≤12×4×32＝3，当且仅当AC＝AD时取“＝”．。

2019高考数学复习：正弦定理和余弦定理

第6节正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：[常用结论与微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝()A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3⎝⎛⎭⎪⎫b＝－13舍去.答案 D3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22，且C＝π4，则△ABC的面积为()A.3＋1B.3－1C.4D.2解析法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a2－2×2×a cos π4，即a2－22a－4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°5.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( )A.1个B.2个C.0个D.无法确定(3)(2018·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________. 解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin 3π4＝2sin C ，则sin C ＝12，得C ＝π6.(2)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个.(3)由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，∴A ＝π6.答案 (1)B (2)B (3)π6规律方法 1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (2017·河北名校联盟质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.解(1)2a cos C－c＝2b，由正弦定理得2sin A cos C－sin C＝2sin B，2sin A cos C －sin C＝2sin(A＋C)＝2sin A cos C＋2cos A sin C，∴－sin C＝2cos A sin C，sin C≠0，∴cos A＝－1 2，又A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝BDsin A，∴sin∠ADB＝AB sin ABD＝22.又∠ADB∈(0，π)，A＝2π3，∴∠ADB＝π4，∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a＝ 6.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－a cos B ＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.答案 D考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π，所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3.即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a . 解因为AB→·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4. 又因为b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D. 2解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6. 答案 D3.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3. 答案 B4.(2017·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos 2B 2＝a ＋c2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析 ∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，∴A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ＝2R ，b ＝2R sin B ＝3R ，则sin C ＝ sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S 1＝12ab sin C ＝12×2×3×2＋64R 2＝3＋34R 2， S 2＝πR 2，∴S 1S 2＝3＋34π.答案 D 二、填空题6.(2017·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.答案 327.(2018·合肥质检改编)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________.解析 b cos A ＋a cos B ＝2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π. 答案 9π8.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc . ∵c ≠0，∴等式两边除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋bc ，解得b c ＝1.答案 1 三、解答题9.(2018·安徽江南十校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5， ∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )， ∴sin A (3cos A －sin A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3，4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC . (1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.解 (1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC， ∴CD ＝7×27732＝433. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·长沙模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C12.(2018·广东省际名校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sin C ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.所以S △ABC ＝34.答案 3413.(2018·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ；(2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，∴b ＝4.。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第六节正弦定理和余弦定理实用课

＝60°，则 cos C＝________. 解析：由正弦定理，得siAnBC＝siAnCB，即sin2 C＝sin360°，解得
sin C＝ 33.∵AB＜AC，∴C＜B，∴cos C＝
1－sin2C＝
6 3.
答案：
6 3
5.[考点三](2018·如东中学期初测试)在△ABC 中，已知 sin A∶ sin B＝ 2∶1，c2＝b2＋ 2bc，则三内角 A，B，C 的度数依次是________．解析：由题意知 a＝ 2b，a2＝b2＋c2－2bccos A，即 2b2＝b2 ＋c2－2bccos A，又 c2＝b2＋ 2bc，∴cos A＝ 22，∵A∈(0°， 180°)，∴A＝45°，sin B＝12，又 B∈(0°，180°)，b＜a， ∴B＝30°，∴C＝105°. 答案：45°，30°，105°
2.[考点一](2017·山东高考改编)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sin B(1＋ 2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则ab的值是________．解析：由题意可知 sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即 2sin Bcos C＝sin Acos C，又 cos C≠0，故 2sin B＝sin A，由正弦定理可知 2b＝a，所以ab＝2. 答案：2
3× 3
3＋2 6
2＝1＋2
3
6 .
2
02 突破点(二) 正、余弦定理的综合应用
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
利用正、余弦定理判断三角形的形状 1．应用余弦定理判断三角形形状的方法在△ABC 中，c 是最大的边，若 c2＜a2＋b2，则△ABC 是锐角三角形；若 c2＝a2＋b2，则△ABC 是直角三角形；若 c2＞a2＋b2，则△ABC 是钝角三角形．

2019届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形 4-7 正弦定理和余弦定理课件文

(7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A，B，C 成等差数列，且 a，b，c 成等比数列．
(8)在△ABC 中，最大内角的取值范围是3π，π，最小内角的取值范围是0，π3.
(9)在锐角△ABC 中，sinA>cosB，sinB>cosC，sinC>cosA 等．
[小题速练]
1．在锐角△ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b.若 2asinB
2．在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，几何法判定三角形解的
情况
A角情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式解的个数
a＝bsinA 一解
bsinA<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
[温馨提示] 利用几何法判定解的个数其实是分析两边 a，b 与边上高的关系，要结合图形记忆．如①在△ABC 中，A＝60°， a＝ 10，b＝2 3，那么满足条件的△ABC 有__2__个解．若 A＝45°， a＝4，b＝2 3，则△ABC 有__1__个解．
第
四
三角函数解三角形
章
第七节
正弦定理和余弦定理
高考概览掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
吃透教材夯双基
填一填记一记厚积薄发
[知识梳理] 1．正弦定理和余弦定理
[温馨提示] (1)利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，得到方程的根即边长，然后根据已知条件对方程的根进行取舍。如：若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45°，则 c＝ 3＋3.
4．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 C＝60°，b＝ 6，c＝3，则 A＝________.

(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6正弦定理和余弦定理课件

b c 解析由正弦定理得 sin B＝ sin C， 3 40× 2 bsin C ∴sin B＝＝＝ 3>1. c 20 ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
6.(2018· 包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c. 2π 若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________. 3 解析由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a， 5 7 所以 a ＝ b ， c＝ b ， 3 3 5 7 2 2 2 2 2 2 b b ＋ b － a ＋b －c 1 3 3 所以 cos C＝＝＝－ . 2ab 5 2 2× b×b 3 2π 因为 C∈(0，π)，所以 C＝ . 3
∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，
∴cos A＝sin A，∴tan A＝1， π ∵A∈(0，π)，∴A＝，故选 C. 4
3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B.
基础自测
题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.( √ ) (3)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( × ) a＋b－c a (4)在△ABC中，＝ .( √ ) sin A sin A＋sin B－sin C
π 即A＝B或A＋B＝， 2
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件

12bcsinA＝12acsinB，因为 b2＝ac，∠A＝60°，
所以bsicnB＝sinA＝
3 2.
h
18
• 在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2 －b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
•【思路导引】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为关于边或角的关系，然后再解决问题．在转化中，常向角的方向转化，因为有众多的三角公式可以使用．
h
36
(2010·浙江，12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos2C＝－14.
(1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，求 b 及 c 的长．
h
37
【解析】 (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－14，(3 分)
及 0<C<π，所以 sinC＝
h
30
(3)由正弦定理得，sianA＝sibnB＝sincC＝2R， ∴asinb3－0°c－C＝22RRsisninABsi－n23R0°s－inCC ＝sinsAinsiBn－30si°n－C C
＝
2312cosC－
3 2 sinC
sin60°－C－sinC
h
31
•【方法探究】 (1)在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在(0 ，π)上的单调性求角；(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视．
5
5 .
于是 sinA＝
1－cos2A＝
5 h5 .
14
从而 sin2A＝2sinAcosA＝45，
cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
所以

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