南平市2019届高三1月质量检查理科数学试卷含答案

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2019年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查试卷理科数学

第4题第8题南平市2018—2019学年高中毕业班第二次综合质量检测理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|40},{|21}xA x xB x=-<=<，则AUB＝( ){}.02|A x x<<{}2|.B x x<{|. }20C x x-<<{}|.2D x x>-2.若复数z满足()122i zi-=--，则1|z i+-=｜（）A.13.若直线5=2y x与曲线()=ln21y mx x-+相切于点O(0，0)，则m＝( )A.0B.52C .72D.924.如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A.316πB.3116π- C.38πD.318π-5.已知双曲线2222(00):1x ya ba bΓ-=>>，Γ的渐近线方程为（）A.3y x=± B.13y x=± C.2y x=± D.12y x=±6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是=4a b c a b，，，，cos(2)cosc B a b C⋅=-⋅，则△ABC的面积为( )A. B. C.6 D.127.从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有( )A.810种B.840种C.1620种D.1680种8.刘徽(225-295)，3世纪杰出的数学家，擅长利用切割的方法求几何体的体积，因此他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”已知某“堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.232+ B.23+ C. 22+ D. 9.已知点1140()))2((2A B C -，，，，，，平面区域是由所有满足AD AB AC λμ=+ (1213λη≤≤≤≤，)的点(),D x y 组成的区域，则区域E 的面积是( ) A.8 B.12 C.16 D.20 10.已知()621x mx-+的展开式中4x的系数小于90，则m 的取值范围为( )A.5()()1-∞-+∞，， B.()5,1- C. 12112(()2+--∞-+∞，， D. ((5)-∞+∞，，11.在三棱锥P-ABC 中，PA ＝PB ＝3，BC ＝，AC ＝8，AB ⊥BC ，平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P-ABC 的外接球，则球O 的半径为( )D.212.已知函数()()()20f x sin x πωωϕϕ+><＝，，||的图像关于点1()0O n ，中心对称，关于直线:l x m = 对称(直线l 是与点1O 距离最近的一条对称轴)，过函数()=y f x 的图像上的任意一点00()A x y ，作点1O 、直线l 的对称点分别为11222()()A x y A x y ，、，，且21||=,2x x π-，当06x π=时，012y =记函数()=y f x 的导函数为()='y f x ，则当()()2'2f αα=时，2cos α=( )A.-2B.-1C.12-D.14- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分13.已知函数()=y f x 在R 单调递减，且为奇函数.若()20f x ->，则x 的取值范围是 ; 14.已知143tan πα⎛⎫=⎪⎝⎭-，则cos 21sin 2αα=- .15.若x y ，满足约束条件100,20x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则32y x ++的最小值为 .16.已知点(0M 在离心率为12的椭圆222210()x y a b a b +=>>上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S ，，成等差数列 (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列{b }n 满足21222log log log ,n n b a a a =++⋯+记221111...n n T b b b +=+++，求n T18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AB ＝2CD＝ ADPC ＝3，△PAB 是正三角形，E 为AB 的中点，平面PAB ⊥平面PCE (1)求证:CE ⊥平面PAB(2)在棱PD 上是否存在点F ，使得二面角P-AB-F若存在，求出PFPD的值;若不存在，说明理由.第18题BD19.(本小题满分12分)从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s (同一组数据用该区间的中点值作代表)； (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2()N μσ，，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s(i)利用该正态分布，求127.6(140)P Z <<；(ii)某用户从该工厂购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间(127.6，140)的产品件数，利用(i)的结果，求EX. 附12.4≈.若2()Z N μσ～，，则0.68)2(6P Z σσμμ+=-<<，20.9524(4)P Z σσμμ+=-<<.0.002第19题20.(本小题满分12分)已知平面上动点P 到点H(1，0)距离比它到直线x ＝-2距离少1. (1)求动点P 的轨迹方程(2)记动点P 的轨迹为曲线Γ，过点H(1，0)作直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点，点M(4，0)，延长AM ，BM ，与曲线Γ交于C ，D 两点，若直线AB ，CD 的斜率分别为12k k ，，试探究12k k 是否为定值?若为定值，请求出定值，若不为定值，请说明理由。

南平市2019年普通高中毕业班质量检查数学试题(理)及答案

福建省南平市2019年普通高中毕业班质量检查数学（理）试题本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题），第n卷第21题为选考题，其他题为必考题•本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0. 5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4 .做选考题时，考生按照题目要求作答，并用213铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样JEp心…* *•的标准耋韋体瞬必或a £[侶一可h E -别十・f （斗f J）2 ]其申丘为样本乎均It柱怵体积金式球的晨面税.律职公或"Sh其中用为张首首駅，*为高其申盘为尿的旱径第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 兀1 .函数f（x） =tanx 在区间（0,）内的零点个数是x 2A . 0 B. 1 C. 2 D . 32 2 22 .在△ ABC中，若角A、B、C的对边分别是a、b、c,则“ a+b =b+ac”，是“ A、B、C依次成等差数列”的A .既不充分也不必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .充要条件1 a+ a3.已知等比数列｛a n｝中，各项都是正数，且a1, a3,2a2成等差数列，则—―9等于2 a6 + a?v rA. 1 + J2B. 1-V5 U 3 + 2^ 3-272的壘久某中隶毁学flUfliJlT **自主招生选拔IT ・从參加考试的学生中抽出闖名学生・辎其城站分成六粗他，50)* [瑚60). +• [90.】00卜其部分頻那分布直方圈如图朋示*观疇斟刑，从成敘崔[40.刚和 [90- IGOjm 学生中鬭机选两人”则他们在同一分数段的極率是A. iB- i24 c. Ad10 96.皓出却个It L It4・7t l|f 46.碁規挣是’第一牛数是k 集二6故比錦一牛数真1, i站三个豪比鼻二牛■大直—・以此卖推.要N-ffiS 10^»的和・现已酷出了谏问魁的程序框图如右图所示，那么權图屮捌斷程①处和执打挺②赴应分别填入A. K107 > p * p + f —IB. i^9? + p - p + i C ・ /<10T ・ P~P + i D* f 11T ・ p^t p + i2 a 67.设a (cosx-sin x)dx,则二项式(x )展开式中的x 项的系数为xA .一 20B . 20C .一 160D . 1608. PMH G (JC -IF+O-u 1 上的i 个动査.越J5, l)t ^OP OA 的Jft 小值为 b 2>/3-2 B” 2-2方C. 2^2-2 D t 2-2^29设直HU 与曲枚y«=P+2育三吓不同的交点£ B 、G A\AB\^ j?CkV2.则貫域f 的斜事为A. !B. V3G 2D. 310.集舍M = {(t y)|x» >eZ F ln2 + h )(4-xX4 + ^)^2liitH-x4-6)},則報合M 的沅*牛敷为4.巳知苗敷+8弄0), =.划下列命理为亮命题A . 13B . 12C . 11D . 10氐 WeR ・ /(x) > g(x)C.斗eR*便轉/dr (斗)0-比兔禮得/K)第H 卷(非选择题共100分)、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 11 •已知f(x)二x 1,i 是虚数单位，复数f(1 ai)为纯虚数，1 -i则实数a 的值为 ____________ •12 •已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图所示，若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积是 _____________ •213. 已知函数f(x) - -x ■ mx -n,m,n 是区间［0, 4］内任意两个实数，则事件“ f(1)<0 ”发生的概率为 ____________ . 14. 倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线y 2 =2x 相交于A 、B 两点,△OAB 的面积为2罷，则直线l 的方程为 _____________________ .. 11 |cosx| |sinx| 15. ---------------------------- 函数 f （X ）= -------- + ----------- + ________________ +的最小值为| si nx| |cosx| |sinx| | cosx|三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)为减少“舌尖上的浪费”，某学校对在该校食堂用餐的学生能否做到“光盘”，进行随机调查, 从中随机抽取男、女生各 15名进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性r 合计做不到1210合计30C I )请将上面的列联表补充完療，并据此费料分折：有爹大的把握可以认为■在学校會堂用辔的学生施杏做到'光ar 与性别有关” ?(II )若从这出窖女学生中曲机抽取2人詹加菜…项活动’记其中做不到的人数为求％的分布列和數学期望.. _________ 賊站_如£ _____________+ AXc++ d)0.050+025 0.0103.8415.024]6.«57.879,OA_ OB ,且O 为坐标原点，若17. (本小题满分13分)已知函数 f(x) =；；3sin(x —^) cos(x -—). (I) 当x € A 时，函数f(x)取得最大值或最小值，求集合 A ;(n )将集合A 中x € (0, +：：)的所有x 的值，从小到大排成一数列，记为｛a n ｝，求数列｛ a n ｝的通项公式；_ 2(川)令 b n，求数列｛b n ｝的前n 项和T na n 3n -118. (本小题满分13分)如09.祖正方^ABCD-AiBiCiD^. XJ=2( O 为底血正方» 的申心.£, F分别为祐启“斷G 的中点，点M 为EF 上一点.且満足 £A?= J £F T P 为正方体上的直.(])求旧平丄平而朋心4(II)若OP 与DM 枸交，试判斷O 刖与DP 的便覽黄羸I(01) (113的絆下.若平面CDP 峥平面DPO 所成盅二面甫的大小为化求8S 仇19. （本小题满分13分）2 2x y已知椭圆 T : —22=1（a b 0）.a b(I) 若椭圆T 的离心率为 —5，过焦点且垂直于 z 轴的直线被椭圆截得弦长为-.33(i) 求椭圆方程；(ii) 过点P(2, 1)的两条直线分别与椭圆 F 交于点A , C 和B , D ，若AB // CD ，求直线AB 的斜率；(II) 设P(X 0, y °)为椭圆T 内一定点(不在坐标轴上)，过点P 的两条直线分别与椭圆厂交于点 A ,C 和B ,D ，且彻// CD ，类比(I)(ii)直接写出直线彻的斜率.(不必证明)令 E5i（第 1M ）20. (本题满分14分)设-2x + l +wrlnx^ (meR)+(I >当瞅攣过点現0・7｝且^^y = g(x^(x^Y^的切蟻方風(U)求嗨散尸壬琴0)的单调増区恻I(皿〉若歯載ywg(jr)有两牛极值点m b t且a<b.记[刘我禾不大于JC的量大箍It 试比较sin怦%与cos([g何血⑹】)的大机@0)]21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4--2 :矩阵与变换在矩阵關的变撫下得到向餐・若向童b)(I)求矩阵胚+ y + l = 0在蹩阵川肱的舄应变揍件用下得到的曲找方整(2)(本小题满分7分)选修4--4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系•已知曲线P・------- :—-X =2C0S& +的参数方程为(v参数)，直线三的极坐标方程为y = s inT(i)写出曲线C的普通方程与直线三的直角坐标方程。

福建省南平市高三上学期第一次调研考试数学(理)试题(答案解析)

福建省南平市2019届高三上学期第一次调研考试数学（理）试题一、选择题1.设集合 J={x|0<x<3}35={j|y=r+UE=4，则 AnB=（）A . （0,3）B . （2,5）C . （2,9）D . （2,3）2. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足©呼-1 用，则匸二（）2 A.—B. 12 C.-4D.-2525553. 等差数列的前打项和为£ ,若£为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（） A .叫叩B .斗+片+叩C .片刪D . % + %4. 已知点M （x , y ）是圆0的内部任意一点，则点 M 满足y 汰的概率是（）1 A.r-2 B. C .1T -2D.442r4r5•已知F i尸是双曲线— =t （a>0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，若年耳=硼，则册缪的面积为（）6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了害恫术”，利用害胴术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的徽率”如图是利用刘徽的割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：鈕屮-UEKt,五'口口-心］椚）12 B . 24 C . 48 D . 96直线|与抛物线/ 牡相交与A , B 两点，若OA 丄OB （O 是坐标原点），则△ AOB 面积的最小值为（）A . 32B . 24C . 16D . 89.若e 是自然对数的底数，则（）C. 4 J7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（3r , —+6J2_C . T +4+778.（讨雎jJ 严也jJ ，则另（「齢卜（二、填空题在三棱锥P ABC 中，沏必 JC UWJWypA 与平面ABC 所成角的余三、解答题17. 在厶ABC 中,a,,bc 分别为角A,B,C 的对边，且JJ = -,C = 4 .（1 ）若b=6，求sinC 及£皿（2 ）若D,E 在线段BC 上，且创—腕—叫銘—2 •脳，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱 ABC - AEG 中，平面 AA 1CC 1丄平面 ABC , AB=BC ,Z ACB=60° , E 为 AC 的中ff T 2B.AW2 rC.hr 1 ta2一一 Te 1D.r 2 A .图像的交点为_1_|10.已知函数朋卜川满足八厂小），若函数F '工®加10B . 20C .- 10D . - 2011. 已知数列满足 4也=1方*:，则该数列的前23项的和为A . 4194B . 4195C . 2046D . 2047盘，且淤+五圧-3t=0, %炒+§五孝+"0，则ta[3-OK (a+3yj)]=A . In2B. In3C. In213. （工山）（如R 的展开式中含 F 的系数为50，则a 的值为14. 已知阡屮卜2 ，向量（"可在向量（口-可上的投影为 2x-j>015. 已知实数满足rx+2j-5<0，求誉=(M的取值范围16. 弦值为I, ，则三棱锥P - ABC 外接球的表面积为 12.已知刀你点•(1 )若BC i丄AC,求证：AC丄平面C i EB;:(2 )若AA= A i C=AC，求二面角 A - BC i- E的余弦值.19. 有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[59,101]范围内(单位：毫米，以下同)，按规定直径在[71,89)内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：(1)根据以上统计数据完成下面2X2列联表，并回答是否有95%以上的把握认为桔柚直径与所在基地有关”(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数丄(同一组数据用该区间的中点值作代表)：(3)经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差 F :忙胛，乙基地的500个桔柚直径的样本方差v ,，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径X服从正态分布其中卩近似为样本平均数丄，口？近似为样本方差由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例•附，—一—一，—N -a<Jr<xt+a)=0.6826.20. 已知过点P(2,1)的椭圆曲1“皿>用的离心率为(1)求椭圆方程;(2)不过坐标原点 O 的直线I 与椭圆E 交于A , B 两点(异于点P ,线段AB 的中点为D,直线 OD 的斜率为1•记直线PA ，PB 的斜率分别为k i，k 2.问kk 是否为定值？若为定值，请求出定值•若不为定值，请说明理由•已知定义在区间［0,+ X 上的函数/⑴：'"叩；呵申 >'比).、选择题21.(1) 求函数的单调区间;(2) 若不等式/恒成立，求t 的取值范围.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为-(a 为参数)•以坐标原点为极点,X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 C 2的极坐标方程为(1 ) 求圆C 1的极坐标方程和直线C 2的直角坐标方程;(2) 设C 1与C 2的交点为P , Q ,求厶CPQ 的面积.23. 已知函数(1) 求不等式(2) 若pJW -i-^对任意实数x 恒成立,求实数 m 的取值范围.1.D2.C3.B4.D5.C6.B7. D8.C9. A 10.D 11.A 12.A二、填空题 13.-1 14. 120 °15.匕16. 12n三、解答题中，由正弦定理一■",sin li &in C又A .:,所以/ .厂，则C 为锐角，所以—3则朮:<：'.｛小门Mfi 'U !心厂所以-.| ■ . •、、.2 6(n)设加1,则洽:二―匕,又川"，：I, 在厶ABE 中，由余弦定理得丨S 丨「\T3即x m ：;「解得「―丨(取正)，则血1，.f."：」，所以九川7，在直角△ ADE 中，心一L 汙*.膚_.二18. (I)证明：因为 BA=BC , E 为AC 的中点，所以 BE \ AC ,又平面 A1ACC1 |平面ABC ，平面 A1ACC1 ■平面ABC=AC ，刃［平面ABC , 所以BE |平面A1ACC1 ,又 A1C _ 平面 A1ACC1，所以 BE | A1C ，又 BC1 I A1C , BE BC1=B , 所以A1C |平面C1EB(n)连接 A1E ，因为A1A=A1C ，又E 为AC 的中点，所以 A1E | AC,又平面 A1ACC1 |平面ABC ,17. (I) •••川, 「Ji ,得.sin4 73< 弐' 匚、、，在厶ABC平面 A1ACC1 平面 ABC=AC , A1E _ 平面 A1ACC1 , 所以A1E |平面ABC ,以E 点为原点，分别以射线 EB , EC , EA1为丄轴，卩轴，一轴建立如图所示空间直角坐标系,设上；卅灯|，则片I 2二设平面A1BC1的一个法向量打；.:设平面C1EB 的一个法向量为.1，19. (I)由以上统计数据填写 2 X 2列联表如下:甲基地乙基地合计优质品 420 390 810 非优质品 80 110 190 合计5005001000所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异”.420(n)甲基地水果的优质品率为 i，甲基地水果的优质品率为500所以，甲基地水果的优质品率较高，甲基地的500个{62x10 + 68x30 + 74x120 + 80x175 + 86x125 + 92x35 + 98x5)%・崩=0 処■ E(\=0故所求的二面角 A1 — BC1 — E 的余弦值为<14 7500取一 I 得斗小小，—i ，(川)由(n)可知，甲基地的桔柚直径丄 \.(Sh r-, S :所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为「］.：「•u .4 1 ,----- \ ---- — 1 ；' ，解得鳥J 贝U 椭圆/的方程为/二卅(n )由题意可设直线丄：方程为，J "•—“；，令山；则八、.L£T 直线"［的斜率为1…1|丨］、丨「 /(J,' '1)1 ,即：「n ⑴ntt府一6 则，：:2tm代入(1)式得 . ■ -■ . ' ■,r+ 2因此，.：・「I “O J5一吻一】)则 X -11 1吋7 j^-2 X 2-2[-2/,+(^-2)[-2>2+(^-2)] -(m-4腮)］］,即第为定值、扌(府-4柳)£ 亠221. (I)、-2— _________ 十 _______ — ______________________________________ __ (r + l)2 £r+l (x + l)2(tt+l)①当！-［时，：i 「 11 •即j ；「；是11 ~ ；上的增函数. ] 2 ( [ ②当II 」〕时，，.｝」；• Z :.'，令：心II 得八” (x + l)2(/x + l) ' /则.；；「的增区间为i. : ♦减区间为丨1.「’(n)由不等式| |〕，「_】.：：】恒成立,得不等式：」mt J —L ：：】20. (I)由题意得*恒成立.①当 f>2 时,由(I )知是“ j 上的增函数一IHY ，即当厂.时，不等式：；\ I .恒成立.II _②当|| i :时，「I —「I579令/' 7,则「\1 M 十I 要使不等式：x 「】“* T 恒成立, 只要*血丨• d y 丨5】.l + w令II-' I N ；' I H . :⑴，：I+W.'.-j ：：r H 是⑴⑴［上的减函数，又！ ■⑴ |：,iS - / :⑴,则门和丨，即.'I,解得,1,故I 、〕 1? t综合①,②得！- |,即t 的取值范围是I ； I 22. (I)直线f .的直角坐标方程为■卜I) 圆「的普通方程为口+2『+ 2-4)—4, 因为.. . ■' ,所以'的极坐标方程为才 + 4pcos0-8pMn0 +16 = 0代入z “廿总紐皿mm.::;，得厂I 」丄「I 匕,解得八J T ，二「二故八心J 丄，即3 / ；• 由于圆「的半径为2，所以 A 恥的面积为223. (I) 丁小-彳fx<-l1 ,不合题意，舍去 :X > ——(n)将 /■x< -1「.得② | -1<X<1 得1-2x+4 < 4[ x>01 2-4r + 2s x<'l（n ）由（i ）知./（巧二— 2JC + 4,-I <x< \, 则"）L 2 4x-2,x>l 则F 「J ，解得一 j'2 Xi即实数屮的取值范围是2r2综上不等式的解集为11。

精品2019届高三数学一模检测试题理(含解析)新人教版

.
首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；
其次，在平移时，还要注意自变量 x 的系数是否为 1，如果 x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左
加右减” .
15. 已知直线
过点
，若可行域
的外接圆直径为 20，则 _____．
【答案】
【解析】
由题意知可行域为图中△ OAB及其内部，
A.
B.
【答案】 A 【解析】复数
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，........................ .
，
，
C.
D.
, 是虚数单位，若
，
，
.
是实数，则
若
是实数，则
故选 A.
，解得
.
3. 若双曲线
与直线
无交点，则离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】双曲线
的渐近线为
.
※精品试卷※
若双曲线
与直线
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】由题意知，
是定义在 R上的周期为 2 的偶函数，
令
, 作其与 y=f ( x) 的图象如下，
※精品试卷※
，若在区
函数
有 4 个不相等实根，等价于
与 y=f ( x) 有 4 个交点，
所以
，解得
.
故选 C.
点睛：已知函数零点 ( 方程根 ) 的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
. 问积几何？答曰：二千一百
一十二尺 . 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” . 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高

2019届高三数学第一次(期末考试)教学质量检测试题理(含解析)

2019年第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，且，，故选A.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 已知平面向量，，且，则( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】，，，故选C.4. 设，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.5. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A. 0B. 2C. 或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D................6. 执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：经过第一次循环得到；经过第二次循环得到；经过第三次循环得到；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选B．考点：程序框图．7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，)A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】B【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B.8. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图知，，得，由最大值为，得，将代入可得，向左平移，可得，故选C.9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则底面周长等于半圆周，圆锥轴截面为边长为的正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径，球表面积为，故选C.10. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该多面体是底面为棱长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，四条底棱为，四条侧棱分别为，故最长棱长为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为( ) A. B.C. D.【答案】B【解析】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在，四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体，故选B.【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“完美四面体”达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则该组的频数为________.【答案】50【解析】设个小矩形面积和为，则中间小矩形面积的,根据直方图的性质可得,中间一个小矩形的面积等于，即该组的频数为，故答案为.14. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.【答案】15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64，令，得的通项为，令，常数项为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】直线上存在点满足约束条件，等价于直线与可行域有交点，画出约束条件表示的可行域，如图，由，得；由，得，直线过定点，，由图知，要使直线可行域有交点，则，实数的取值范围是，故答案为.16. 已知双曲线的焦点为，，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________.【答案】【解析】如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项为，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由可得，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列；(2) 由(1)可知，，，利用裂项相消法可求得数列的前项和.试题解析：(1)，数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，，，，.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某种产品的质量以其“无故障使用时间 (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润(单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为(单位：元)，求的分布列与数学期望.【答案】(1)0.64(2) (元)【解析】试题分析：(1) 由古典概型概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，根据对立事件及独立事件的概率公式即可得到从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率；(2) 由题意知，的可能取值为，根据独立事件率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为；(2)由题意知，的分布列为所以的数学期望(元).19. 如图，正三棱柱中，，，为棱上靠近的三等分点，点在棱上且面.(1)求的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 作与交于点，根据线面平行的性质定理可得，，于是在平行四边形中，；(2) 取的中点，由(1)知，∴，从而面，于是二面角的平面角为，在直角三角形中，可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)如图，作与交于点，∵，∴，面面，∵面，∴，于是在平行四边形中，.(2)取的中点，∵是正三棱柱，∴，面，连结，由(1)知，∴，又面，∴，从而面，于是二面角的平面角为，由题，，，，故二面角的余弦值为.20. 已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1)根据椭圆经过点，离心率为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得椭圆的方程；(2) 由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由可得，从而得.试题解析：(1)由题意知，且，解得，，椭圆的方程为；(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由，得，，所以，，故为定值2.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) 由得，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ∵，∴，故只需证明：，等价于，不妨设，并令，，利用导数可证明，从而可得结果.试题解析：(1)由得，记，则，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，又，时，，时，，由题，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，故.(2)∵，∴，故只需证明：，由，作差得：，因此，，不妨设，并令，，则，∴在上单调递减，，即，即成立，于是原命题得证.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，，由题意可得，，进而可得，两边同乘以，利用即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点的极径为.(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，，进而可得，从而点的轨迹的直角坐标方程为.23. 已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 当时，解不等式，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 当时，等价于恒成立；当时，等价于恒成立；当时，等价于，三种情况求解，再求并集即可得的取值范围.试题解析：(1)当时，，解不等式，时；时，；不等式总成立，所以得，所以，的解集为.(2)当时，，所以①当时，等价于恒成立，所以；②当时，等价于恒成立，所以；③当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.。

2019届一诊理科数学答案(定稿)

高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学参考答案及评分意见一、选择题：1-5 DABDB 6-10 CADCD 11-12 CD二、填空题： 13．3i +， 14.-84 ， 15． 16．]21,2[--．三、解答题：17．解：(I) 当2≥n 时，利用公式1--=n n n S S a ，可得nn a 2=，.................4分验证当1=n 时是适合的，即）（*2N n a n n ∈=；..........................5分（II)n n b b b b T ++++=...321 23225282...(31)2nn =⨯+⨯+⨯++-, ①2n T = 234+1225282...(31)2n n ⨯+⨯+⨯++-, ②......................7分①-②得：23143232...32(31)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯-- ...........9分114(12)43(31)212n n n -+-=+⨯---18(34)2n n +=---，18(34)2n n T n +∴=+-............................................12分18. 解：（I ）由题意得，（0.02+0.032+a +0.018）×10=1，解得a =0.03；........2分由最高矩形中点的横坐标为20，可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨；.......................................................4分 50户居民10月份用水量的平均值为：x =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（吨），故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨．..............6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2,则X ～B （3，51），X =0，1，2，3； )0=X P （=30354）（C =12564；)1=X P （=5154213）（C =12548； )2=X P （=2235154）（C =12512；)3=X P （=33351）（C =1251．.............10分 ∴X 的分布列为：1253125212511250=⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（X E ． .................12分19. 解：（Ⅰ）在ABO V 中，Θ390OA OB AOB ==?o，，∴60OAB?o，.................................................2分在OAM V 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，∴OM = ..................................................5分（Ⅱ）,060AOMq q ?<<o o ，在OAM V 中，由sin sin OM OAOAB OMA =行，得2sin(60)OM q =+o ，在OAN V 中，由sin sin ON OAOAB ONA =行，得2sin(90)2cos ON θθ==+o， ..................................................................8分∴11sin 22OMN S OM ON MON =仔=?V 2sin(60)θ⋅+o12＝2716sin(60)cos θθ+o60θ<<o．......................11分当26090θ+=o o，即15θ=o∴应设计15AOM?o ，可使OMN V 的面积最小．..................12分20．解：（I ）Θ|1AF |、|21F F|、|2AF |构成等差数列， ∴2a =|1AF |+|2AF |=2|21F F|=8，∴a =4．....2分又因为c =2，所以2b =12，.....................3分∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．...............4分（II ）假设存在直线AB ，使得21S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 方程为)2(+=x k y ,..................................................5分将其代入1121622=+y x ，整理得 0481616342222=-+++k x k x k ）（,....6分设A ),11y x （，B ),22y x （，∴22214316kk x x +-=+, ∴点G 的横坐标为22214382k k x x +-=+，∴G )436438222k kk k ++-，（．....... 8分 Θ DG ⊥AB ，∴1438436222-=⨯-+-+k x kk k kD，解得22D 432k k x +-=，即D （22432k k +-，0）, ∵Rt △1GDF 和Rt △ODE 相似，∴若21S S =，则|GD |=|OD |,..........10分∴ 222222222432)436()432438k k k k k k k k +-=+++--+-（，整理得 8k 2+9=0． Θ方程8k 2+9=0无解，∴不存在直线AB ，使得 21S S =．..............12分21．解：（I ）Θa x x x f +-+=211)('，..................................1分 ∴函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，即0211)('≤+-+=a x x x f 在),2[+∞上恒成立，也即112+-≤x x a 在),2[+∞上恒成立，.................................3分令112)(+-=x x x h ，则)(x h 在),2[+∞上为增函数，min )(x h =)2(h =113，∴113a ≤；........................................................5分（II ）设211x x ≤<-，令)()()()221221x f m x f m x m x m f x F --+=（，],12x x -∈（，则0)2=x F （，)(')(')'12211x f m x m x m f m x F -+=（）（)(')('2211x f x m x m f m -+=，0)()1(22222221221≥-=+-=+-=-+x x m x m x m x m m x x x m x m Θ，x x m x m ≥+∴221，..................................................7分又a x x x f +-+=211)('Θ，02)1(1)(''2<-+-=x x f ，)('x f ∴在),1(+∞-上是减函数，)(')('221x f x m x m f ≤+∴，0)(')('2211≤-+∴）（x f x m x m f m ，即0)'≤x F （，......................9分 )x F （∴在],12x -（上是减函数，0)()2=≥∴x F x F （，0)≥∴x F （，0)()()(221221≥--+∴x f m x f m x m x m f ，...........................11分],12x x -∈∴（，有)()()(221221x f m x f m x m x m f +≥+，又211x x ≤<-Θ，)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+∴.................................12分22．解：（I ）由1(4x tt y at=+⎧⎨=+⎩为参数）得，直线l 的直角坐标方程为：4(1)y a x -=-,..2分由P 的极坐标为()1π，得：P 的直角坐标为()1-，0,............................3分又点P 在直线上，代入得2a =，...............................................4分 ∴直线l 的直角坐标方程为：22y x =+ .......................................5分（II ）由24sin 50ρρθ--=得曲线C 的直角坐标方程为：22450x y y +--=,即：22(2)9x y +-=...........................................................6分∴曲线C 的圆心为(0,2)M ，半径3r =..............................................7分 ∵直线l ：4(1)y a x -=-过定点N (1,4)，且该点在圆C 内,..........................8分 ∴直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB 最小时,有l MN ⊥,1l MN k k ∴⋅=-,...............9分101422l k -∴=-=--,直线l 的直角坐标方程14(1)2y x -=--,化为极坐标方程为：cos 2sin 90ρθρθ+-=.....................................10分 23. 解：（I ）原函数可化为：13(23()1(22)213(22)2)x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩<-⎪ ,..................................................3分函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形三顶点坐标分别为：2(6,0),(2,2),(,0)3----,∴此三角形面积1216(6)2233S =⨯-+⨯=...................................5分（II ）由（I ）知函数()f x 的最小值M =(2)2f -=-,.................................6分⸫关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解即222x x m +-≤-有实数解，即222m x x ≥++有实数解, .................................................8分令2()2h x x x =++,当12x =-时，2min 117()()2224h x =--+=,72,4m ∴≥ 即7.8m ≥........................................................10分。

2019届福建省南平市高三第一次综合质量检查(1月) 数学(理)答案

南平市2018-2019学年高中毕业班第一次综合质量检测理科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．（1）C （2）A （3）D （4）C （5）D （6）D （7）B （8）A （9）B （10）C （11）B （12）C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）27 （14）12-=n n a （15）427- （16）31三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）解：（1）∵bc aB A -=2cos cos ，所以B a A b c cos cos )2(=- 由正弦定理，得B A A BC cos sin cos )sin sin 2(⋅=-， …………2分整理得B A A B A C cos sin cos sin cos sin 2⋅=⋅-⋅，∴C B A A C sin )sin(cos sin 2=+=⋅， …………4分在△ABC 中，0sin ≠C ，∴21cos =A ，3π=∠A ； …………6分（2）由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，32=a ， …………7分∴1221222-≥=-+bc bc c b ， …………9分 ∴12≤bc ，当且仅当c b =时取等号， …………11分∴三角形的面积33sin 21≤=A bc S ABC △，∴三角形面积的最大值为33． …………12分18．(1)证：取BC 中点为点O ，因为三角形ABC 是正三角形，所以AO BC ⊥，由题易得，//DE AO ，从而DE BC ⊥，………………………2分又因为平面SBC ⊥平面ABC ，平面SBC 平面ABC =BC ，DE BC ⊥，DE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面SBC ， …………………………4分又SB ⊂平面SBC ，所以DE SB ⊥ …………………………5分 (2)解：因为SB SC =，所以SO BC ⊥, 又平面SBC ⊥平面ABC ，平面SBC 平面ABC =BC ， SO BC ⊥，SO ⊂平面SBC ，所以SO ⊥平面ABC ，所以,,OA OB OS 两两垂直，分别以射线,,OA OB OS 为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系o xyz -，…………………6分设4CA CB AB ===，SO h =，则A ，(0,2,0)C -，(0,0,)S h ，从而(23,0,)SA h =-，(0,2,)SC h =--,设平面ASC 的法向量()n x,y,z =，由00n SA n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 020hz y hz ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取2z =得x y h⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以,2)n h =-，……8分取平面BSC 的一个法向量(1,0,0)m =， …………………9分由5cos ,5n m <>=5=，解得h =10分则.43,cos ),32,1,3(->=<-=m DS DS 令SD 与平面SBC 所成角的大小为,θ则43sin =θ. 故SD 与平面SBC 所成角的正弦值为43. ……………………12分（注：本题也可过点O 作SC 的垂线，设垂足为H ，连AH ,可证得AHO ∠即为二面角A SC B --的平面角，再求解）19．解(1) 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-221222ab b a …………2分解得⎩⎨⎧==12b a ,则所求的椭圆E 方程为.1222=+y x ……………4分 (2)设),,(),,(2211y x B y x A B AF 1∆的内切圆半径为.r 由题意得B AF 1∆的周长为24,则B AF 1∆的面积.2224211r r S B AF =⨯=∆………6分由题意可设直线AB 方程为,1+=my x 将其代入椭圆方程1222=+y x 并化简得012)2(22=-++my y m ,0882>+=∆m∴21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . ……………8分故21224)(||222122121++=-+=-m m y y y y y y∴=-⨯=∆||221211y y S BAF 2122||2221++=-m m y y ……………10分则r 22212222++=m m ,即21111212222≤+++=++=m m m m r ,当0=m 时成立等号, ∴,21max =r 则内切圆面积的最大值为.4π ……………12分20解：（1）根据直方图的数据可得：1)1.02.01.02(2=+++++a a a ，所以，025.0=a ； …………2分（2）根据直方图可知，样本中优质树苗由302)025.01.0(120=⨯+⨯（棵），……4分于是可以完成下表：…………5分计算879.777250709030)60203010(120))()()(()(222>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ，所以有%5.99的把握认为优质树苗与甲乙两个基地有关； …………7分（3）由已知，这批树苗是优质树苗的概率为41，且X 服从二项分布)41,4(N ，……8分即iiiC i X P -==44)43()41()(，4,3,2,1,0=i ，…………10分X 的数学期望1414=⨯=EX ． …………12分21．（1）解：由题意得.e )(m x f x -='①当0≤m 时，,0)(>'x f 则)(x f 是),(+∞-∞上的增函数，故)(x f 无最小值. ……1分 ②当0>m 时，∈x )ln ,(m -∞,;0)(<'x f ∈x ),(ln +∞m ,,0)(>'x f 即)(x f 在区间)ln ,(m -∞上单调递减，在区间),(ln +∞m 上单调递增，则,0)ln 2()(ln )(min <-==m m m f x f 解得2e >m ,故m 的取值范围是).,e (2+∞……4分（2）证明：由题意知0>m 是)(x f 有两个零点21,x x )(21x x <的必要条件. 要证2121x x x x +<，只要证1)1)(1(21<--x x由函数)(x f 有两个零点21,x x )(21x x <得,0)1(e 11=--x m x,0)1(e22=--x m x即m x x 1e 11=-，mx x 2e 12=-所以只要证1e e 21<⋅mm x x ，即证221e m x x <+，即证.ln 221m x x <+…………7分令)ln 2()()(x m f x f x g --=，).ln ,(m x -∞∈ 则.ln 22e e )(2m m mx m x g x x +--=-02e e 22e e )(22=-⋅≥-+='--m m m m x g x x x x ，)(x g ∴是)ln ,(m -∞上的增函数，则0)(ln )(=<m g x g ，从而)ln 2()(x m f x f -<. …………10分又).ln ,(1m x -∞∈=∴)(2x f )ln 2()(11x m f x f -< ，∈-12ln 2,x m x ),(ln +∞m ，)(x f 是),(ln +∞m 上的增函数，,ln 212x m x -<∴则.ln 221m x x <+ 故2121x x x x +< …………12分法二：函数)(x f 有两个零点21,x x ，所以函数不能单调，因此0>m ，函数)(x f 在定义域内先减后增，有两个零点的必要条件是最小值必须小于0，故由（1）知2e >m ，由于)(xf 在区间)ln ,(m -∞上单调递减，在区间),(ln +∞m 上单调递增，又0e )2(,0e )1(2<-=>=m f f ，所以21ln 21x m x <<<<由函数)(x f 有两个零点21,x x )(21x x <得),1(e 11-=x m x ),1(e 22-=x m x相除得：11e21x 21--=-x x x ，即)1ln()1ln(2121---=-x x x x ，…………6分即)1ln()1ln()1()1(2121---=---x x x x令111-=x t （101<<t ），122-=x t （12>t ），则2121ln ln t t t t -=-，即2211ln ln t t t t -=-要证2121x x x x +<，只要证1)1)(1(21<--x x ，即证121<t t …………8分令t t t h ln )(-=,则tt h 11)('-=，当∈t )1,0(,;0)('<t h ∈t ),1(+∞,;0)('>t h即当∈t )1,0(,;)(是减函数t h 当∈t )1(∞+，,;)(是增函数t h 要证121<t t ，只要证121t t <，又11,112>>t t ，当∈t )1(∞+，,;)(是增函数t h所以只要证)1()(12t h t h <，…………10分又)()(12t h t h =，即证)1()(11t h t h <，令t tt t t t t t h t h t g ln 211ln 1ln )1()()(--=+--=-=，)1,0(∈t则t t t g 211)('2-+=0)1(22>-=tt ，当)1,0(∈t 时，;)(是增函数t g 因为)1,0(1∈t ，所以0)1()(1=<g t g ，所以)1()(11t h t h <成立，所以2121x x x x +<成立…………12分22．解：（1）由直线l 的极坐标方程3)4πcos(2=+θρ化简得：03sin cos =--θρθρ θρcos =x ，θρsin =y∴直线l 的直角坐标方程03=--y x .…………………………………………3分曲线C 的参数方程为为参数）αααα,π0(s i n 1c o s 2≤≤⎩⎨⎧+=+=y x ，消去参数α得：)21(,1)1()2(22≤≤=-+-y y x . …………………………………………5分（2）法一点P 到直线l 距离2)4πsin(222|3)sin 1()cos 2(|-+=-+-+=αααd .……7分 π0≤≤α4π34π4π≤-≤-∴α. 1)4πsin(22≤-≤-∴α. …………………………………………8分∴当1)4πsin(=-α时，点P 到直线l 距离最大值为12+. ………………9分当2)4πsin(-α2 法二曲线C ∴点P 23．解：（1当-≤x 当1<-当4>x 时, 原不等式化简为632>-x ,即2>x . 综上,原不等式的解集为}2923|{>-<x x x 或. …………………………5分（注用图象法也可）（2） |1||4|)(a x a x x f ++-= |14|)1()4(|aa a x a x +=+--≥｜, 0=x 时等号会成立.∴|14|)(aa a g +=. ………………………7分对任意的非零实数a ，t t a g 3)(2->恒成立,则t t a g 3)(2min ->.|14|)(a a a g +=|1||4|a a += （ 4a 与a 1同号） |1||4|2aa ≥=4,当且仅当21±=a 时等号成立.∴4)(min =a g . ………………………9分由t t 342->,解得：41<<-t ，即t 的取值范围为)4,1(-. …………………10分。

南平市2019—2020学年高中毕业班第三次综合质量检测理科数学试卷

a,
b
a, b,
a a
b, b,
f (x) sin x cos x, g(x) sin x cos x ,
h(x) min f (x), g(x) ,关于函数 h(x) 的以下结论：
①T π
②对称轴方程为 x 2k 1 π,k Z 2
③值域为[ 2,1]
④在区间
3π 4
,
5π 4
（1）求证： A1B A1C ；
（2）若四边形 BCC1B1 为正方形， △A1AB 为正三
角形， M 是 C1C 的中点，求二面角 B AM C 的余弦值．
理科数学试题第 4页（共 6 页）
19．（本小题满分 12 分）
为了解高新产业园引进的甲公司前期的经营状况，市场研究人员对该公司 2019 年下
单调递减
其中正确的是
A．①②
B．②③
C．①③④ D．②③④
12．函数 f (x) 1 x3 1 (a 2)x2 x （ a 0 ）在 (e, ) 内有极值， 32
那么下列结论正确的是
A．当 a (0, e 1 2) 时， ea1 ae1 e
C．当 a ( e , e) 时， ea1 ae1 2
南平市 2019—2020 学年高中毕业班第三次综合质量检测
理科数学
（满分：150 分考试时间：120 分钟）
注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
3
3
3
A． 7 9
8
B．
9
C． 7 9