四边形中旋转、折叠问题

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初二数学四边形的折叠问题技巧

初二数学四边形的折叠问题技巧（原创实用版3篇）目录（篇1）1.初二数学四边形折叠问题的概述2.四边形折叠问题的技巧和方法3.如何应用技巧和方法解决四边形折叠问题4.总结正文（篇1）一、初二数学四边形折叠问题的概述四边形折叠问题是指在四边形上选择若干个点，将这些点折叠起来，使得四边形的形状发生变化。

这些问题常常出现在中学数学教材中，需要学生掌握几何知识和推理能力。

二、四边形折叠问题的技巧和方法1.找到关键点：确定需要折叠的点，这些点通常具有特殊的几何性质，如对称中心或对角线交点等。

找到这些关键点是解决四边形折叠问题的第一步。

2.连接关键线段：连接关键点之间的线段，这些线段通常是关键点保持不变的。

通过这些线段，可以推断出其他点的位置。

3.运用几何定理：根据几何定理，如全等三角形定理、相似三角形定理等，推断出点的位置和形状。

三、如何应用技巧和方法解决四边形折叠问题1.确定关键点：首先确定需要折叠的点，通常可以通过四边形的性质或特殊点来寻找。

2.连接关键线段：连接关键点之间的线段，这些线段通常是关键点保持不变的。

通过这些线段，可以推断出其他点的位置。

3.运用几何定理：根据几何定理，如全等三角形定理、相似三角形定理等，推断出点的位置和形状。

四、总结四边形折叠问题是中学数学中的重要问题，需要学生掌握几何知识和推理能力。

目录（篇2）1.引言2.折叠问题技巧介绍3.折叠问题技巧的应用4.结论正文（篇2）一、引言在初二数学的学习中，四边形是一个重要的知识点。

四边形折叠问题作为四边形学习中的难点，需要学生掌握一定的技巧。

本文将介绍一些折叠问题技巧，帮助学生更好地理解和解决四边形折叠问题。

二、折叠问题技巧介绍1.观察图形特征：在解决四边形折叠问题时，首先要观察图形的特征，包括边长、角度、对角线等。

通过观察，可以找到解决问题的突破口。

2.运用对称性：四边形具有对称性，可以利用对称性将复杂的图形转化为简单的图形，从而解决问题。

四边形中的折叠问题+应用题

四边形中的折叠问题+应用题四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。

一、例题讲解基准1例如图，将一张对边平行的纸条先沿ef卷曲，点a、b分别落到a'、b'处，线段fb?与ad处设点m，再将纸条的另一部分cfmd沿mn卷曲，点c、d分别落到c'、d'处，且使md?经过点f．（1）澄清：四边形mnfe就是平行四边形；（2）当甩折角∠bfe?度时，四边形mnfe是菱形．（将答案直接填写在横线上）（1）澄清：△fac就是等腰三角形；（2）若ab=4，bc=6，求△fac的周长和面积.bcacnc'fd'ba'b'dmea基准2例如图，把矩形纸片abcd沿对角线ac卷曲，点b落到点e处为，ec与ad平行于点f.efd例3如图，将矩形abcd沿直线ae折叠，顶点d恰好落在bc边上f点处，已知ce?6cm，ab?16cm，求bf的长．adec落在ad上的点c?处，例4在梯形纸片abcd中，ad∥bc，ad?cd，将纸片沿过点d的直线折叠，使点折痕de交bc于点e，连结c?e．bcf（1）澄清：四边形cdc?e就是菱形；（2）若bc?cd?ad，试判断四边形abed的形状，并加以证明16．例如图，矩形纸片abcd中，ab＝3cm，bc＝4cm．现将a，c重合，并使纸片折叠压平，设折痕为ef，试求af的长和重叠部分△aef的面积．18．例如图，e就是矩形abcd的边ad上一点，且be＝ed，p就是对角线bd上任一一点，pf⊥be，pg⊥ad，像距分别为f、g．求证：pf＋pg＝ab．分式方程和不等式应用题：1．（2021?德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：第一批第二批供货数量（件）所用资金（元）x2x1600034000（1）该商场两次共供货这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均值每天销售10件．售罄后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均值每天太少销售2件，商场为了并使这两批电子产品全部售罄后总利润不高于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应属多少元？2．（2021?河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣发货时的价格就是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2021?防城港）上个月某超市供货了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批供货水果的重量就是第一批的2.5倍，且市场价比第一批每千克多1元．（1）谋两批水果共供货了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用领域:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进a、b两种品牌绿茶，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）价格商品a12001350b10001200市场价（元/件）售价（元/件）（1）该茶商第1次供货a、b两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进a、b两种绿茶，购进b种绿茶的件数不变，而购进a种绿茶的件数是第1次的2倍，a种绿茶按原价销售，而b种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则b种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2021?通辽）某商场用36000元供货甲、乙两种商品，销售回去后共买进6000元．其中甲种商品每件市场价120元，售价138元；乙种商品每件市场价100元，售价120元．（1）该商场供货甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3．为了防控甲型h7n9禽流感，某校积极主动展开校园环境消毒，出售了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最轻问题：例如图，△abc的三个顶点座标分别为a（-2，0）、b（6，0）、c（0，?23），2抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过a、b、c三点。

特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型(解析版)

特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。

无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。

本专题以各类几个图形(菱形、矩形、正方形等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。

有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。

"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。

特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。

折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

【知识储备】1)矩形的翻折模型【模型解读】1(2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△DEC沿DE翻折得到△DEC ，延长DC 交AB于点M，若AB=4，BC=6，则BM的长度为()A.94B.32C.12D.3【答案】A【分析】根据题意连接ME ，证明△BME ≌△C ME ，得出MC =BM =4-x ，在Rt △AMD 中运用勾股定理即可解答；【详解】连接ME ，∵AB =4,BC =6,ABCD 为矩形，∴AD =BC =6,DC =AB =4.∵E 是BC 的中点∴BE =CE =3∵△DEC 由△DEC 翻折得到，∴C ′E =CE =3,DC ′=DC =4，∠DC E =∠C =90°，∴∠MC E =180°-∠DC E =90°=∠B ，设AM =x ，则BM =4-x .在Rt △BEM 和Rt △C EM 中ME =ME BE =C ′E =3∴△BME ≌△C ME ∴MC =BM =4-x 在Rt △AMD 中AD 2+AM 2=MD 2即62+x 2=(4+4-x )2解得：x =74∴BM =4-x =94故选A【点睛】该题考查了矩形知识点和勾股定理的运用，掌握矩形性质和勾股定理是解答该题的关键2(2023春·陕西西安·八年级校考期末)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 是AB 上一个动点，F 是AD 上一点(点F 不与点D 重合)．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 的对应点A 落在边CD 上，连接EC ，若A E =CE ，则△A DF 的面积为()A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】B【分析】由折叠可知AE =A E ，AF =A F ，设AE =A E =CE =x ,则BE =8-x ,在Rt △BCE 中，利用勾股定理可建立方程8-x 2+42=x 2，解得x =5，则AE =A E =CE =5，BE =3，再根据等腰三角形的性质得到A C =2CG =6，进而算出A D =2，设AF =A F =a ,则DF =4-a ,在Rt △A DF 中，利用勾股定理可建立方程4-a 2+22=a 2，解得a =52，则DF =32，再利用三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，AB =8，AD =4，∴AD =BC =4，AB =CD =8，∠B =∠D =90°，由折叠可知，AE =A E ，AF =A F ，∵A E =CE ，∴AE =A E =CE ，设AE =A E =CE =x ,则BE =AB -AE =8-x ,在Rt △BCE 中，BE 2+BC 2=CE 2，∴8-x 2+42=x 2，解得：x =5，∴AE =A E =CE =5，BE =3，∵∠B =∠BCG =∠CGE =90°，∴四边形BCGE 为矩形，∴CG =BE =3，∵A E =CE ，EG ⊥CD ，∴A C =2CG =6，∴A D =CD -A C =8-6=2，设AF =A F =a ,则DF =AD -AF =4-a ,在Rt △A DF 中，DF 2+A D 2=A F 2，∴4-a 2+22=a 2，解得：a =52，∴DF =32，∴S △A DF =12A D ⋅DF =12×2×32=1.5故选：B ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．3(2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习)如图，长方形ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C 处，BC 与AD 相交于点E ，若AB =3，AE =1，求BC 的长．【答案】10+1【分析】根据翻折的性质，证明△AEB ≅△C ED ，然后求出ED ，最后根据勾股定理即可求出结果．【详解】由翻折的性质可知，在△AEB 与△C ED 中，∠A =∠C∠AEB =∠C ED AB =C D∴△AEB ≅△C ED ∴AE =EC ，∵AB =3，∴BE =AB 2+AE 2=10，∵ED =BE ，∴AD =AE +ED =10+1，∵长方形ABCD ，AD =BC ，∴BC =10+1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．4(2023春·湖北·八年级专题练习)如图，在长方形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE ，BE 与CD 分别相交于点O ，F ，且OE =OD ．则AP 的长为()A.4.5B.4.6C.4.7D.4.8【答案】D【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，证明△ODP≌△OEF(ASA)，得出OP=OF，PD=FE，设AP=EP=x，则DP=FE=6-x，DF=x，求出CF=8-x，BF=8-6-x=2+x，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，∵∠D=∠E，OD=OE，∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，PD=FE，∴DF= EP，设AP=EP=x，则DP=FE=6-x，DF=x，∴CF=8-x，BF=8-6-x=2+x，根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+8-x2，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选：D2=x+2【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5(2023春·陕西商洛·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为()A.20B.18C.16D.15【答案】D【分析】设BE=x，则CE=BC-BE=24-x，根据勾股定理列出关于x的方程122+x2=24-x2，据此即可求解．【详解】解：设BE=x，则CE=BC-BE=24-x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=24-x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即122+x2=24-x2，解得x=9，∴AE=24-9=15，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=15，故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质．6(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A EFD ，边A E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为()A.18-3B.92+37 C.12-372D.6+372【答案】D【分析】在EA上截取EM=EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM=OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM=4=OG，再过点O作OH⊥BC，得OH=3，又因为OC=5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．【详解】解：在EA上截取EM=EG，连接OM，由折叠得：∠MEO=∠GEO，又∵EO=EO，∴△MOE≌△GOE SAS，∴OM=OG，∴OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OM=12BC=4=OG，即OG的最小值是4，在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，∴当OG=4最小值时，ΔOGC面积最小．过点O作OH⊥BC，∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴OH=12AB=3，∴Rt△OGH中，GH=OG2-OH2=42-32= 7，Rt△OHC中，HC=OC2-OH2=52-32=4，∴GC=GH+HC=7+4，∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×(7+4)×3=327+6．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到OG最小值．7(2023春·浙江金华·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=5，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将△PBC沿PC翻折得到△PEC，将△PAQ沿PQ翻折得到△PFQ在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，CF=10时，AP=．【答案】3【分析】利用矩形和翻折的性质求出CE =CB =3，BP =EP ，AP =FP ，∠CEP =∠B =90°，在Rt △CEF 中利用勾股定理求出EF =1，设BP =x ，则EP =x ，AP =5-x ，FP =1+x ，根据AP =FP 可构建关于x 的方程，然求解即可解答．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD =3，AB =5，∴BC =AD =3，∠B =90°，∵翻折，∴CE =CB =3，BP =EP ，AP =FP ，∠CEP =∠B =90°，∴∠CEF =90°，又CF =10，∴EF =CF 2-CE 2=1，设BP =x ，则EP =x ，AP =5-x ，FP =1+x ，∴1+x =5-x ，∴x =2，∴AP =3．故答案为：3．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8(2023秋·山西·九年级专题练习)综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，F 为AD 边上一点，连接CE 、CF ，分别将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，且C 、H 、G 三点共线．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，AB =BC =6，点G 与点H 重合，则∠ECF =°，BE =；(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分∠ECF ，AB =2+1，BC =2，求∠ECF 的度数及BE 的长；(3)AB =5，AD =3，若F 为AD 的三等分点，请直接写出BE 的长．【答案】(1)45；2(2)∠ECF =45°；BE =22-2(3)2或97【分析】(1)根据正方形的性质和翻折的性质，可得出∠ECF =12∠BCD =12×90°=45°；设BE =x ，用x 表示出Rt △AEF 的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出BE 的长；(2)如图，由折叠性质和CG 平分∠ECF ，得出∠1=∠2=∠3=∠4，即可求出∠ECF 的度数；先证明△CBM 和△EHM 是等腰直角三角形，得出BM =BC =2，EM =2BE ，即可求出BE 的长；(3)根据F 为AD 的三等分点，分两种情况：当AF =2DF 时，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，证明Rt △EFP ≌Rt △FEA ，得出AE =FP ，进而求出BE 的长；当DF =2AF 时，点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，根据EF 2=AF 2+AE 2=EP 2+FP 2，计算即可求出BE 的长．【详解】(1)∵AB =BC ，四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC =6，∠BCD =90°，∵将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，∴∠BCE =∠GCE ，∠DCF =∠GCF ，∵∠BCD =90°，∴∠ECF =12∠BCD =12×90°=45°，∵F 为AD 的中点，∴DF =12AD =3，∵将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，∴BE =EG ，DF =FG =3，设BE =x ，则AE =6-x ，∴EF =3+x ，∵EF 2=AE 2+AF 2，∴3+x 2=6-x 2+32，∴x =2，∴BE =2．故答案为：45；2；(2)如图2，延长CG ，交AB 于点M ，∵CG 平分∠ECF ，∴∠2=∠4，由折叠的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=14∠BCD =22.5°，∴∠ECF =45°，∵CD ∥AB ，∠EMH =∠DCM =45°，∴△CBM 和△EHM 均为等腰直角三角形，∴BM =BC =2，EM =2BE ，∴BM =BE +EM =2，即BE +2BE =2，解得BE =22-2．(3)分两种情况：①当AF =2DF 时，如图3，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，则四边形GHEP 为矩形，GH =EP ，EH =GP ，由折叠的性质可知，CD =CG =5，BC =CH =3，∴HG =CG -CH =2，∵AF =2DF ，∴AF =2，DF =FG =1，∴AF =EP ，在Rt △EFP 和Rt △FEA 中，AF =EP EF =EF ，∴Rt △EFP ≌Rt △FEA (HL )，∴AE =FP ，设BE =EH =a ，FP =GP +FG =a +1，AE =FP =5-a ，∴a +1=5-a ，解得a =2，∴BE =2．②当DF =2AF 时，如图4，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，则四边形GHEP 为矩形，GH =EP ，EH =GP ，由折叠的性质可知，CD =CG =5，BC =CH =3，∴EP =HG =CG -CH =2，∵DF =2AF ，∴AF =1，DF =FG =2，设BE =EH =a ，FP =GP +FG =a +2，AE =5-a ，∵EF 2=AF 2+AE 2=EP 2+FP 2，∴12+5-a 2=22+a +2 2，解得a =97，∴BE =97．综上可知，BE 的长为2或97．【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．2)菱形的翻折模型【模型解读】9(2023·四川成都·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．【答案】2.8【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8-x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=32x2+6-12x2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10(2023·安徽·统考一模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长度的最小值是( ).A.7B.7-1C.3D.2【答案】B【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．【详解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=12MD=12，∴FM=DM×cos30°=32，∴MC=FM2+CF2=7，∴A′C=MC-MA′=7-1．故选B．11(2023·山东八年级统考期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为()A.18B.17C.16D.15【答案】B【分析】连接BP ，BD ，证明ΔBCD 是等边三角形，证得∠ABP =∠CPB =90°，由折叠可得AM =MP ，由MP 2=BM 2+BP 2可求出MP 的长，进而得出答案．【详解】解：如图，连接BP ，BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60°，∴AB =BC =CD ，∠A =60°=∠C ，∴ΔBCD 是等边三角形，∵P 是CD 中点，∴DP =CP =12CD ，BP ⊥CD ，∠PBC =30°，∴CP =12BC ,BP =3CP ，∵CD ⎳AB ，∴∠ABP =∠CPB =90°，由折叠可得AM =MP ，设AB =BC =CD =2a ，∴BP =3a ，∵MP 2=BM 2+BP 2，∴MP 2=3a 2+(2a -AM )2，即MP 2=3a 2+(2a -MP )2∴AM =MP =74a ，∴BM =AB -AM =AB -MP =14a ，∴BM AM=17．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键．12(2023秋·广西九年级专题练习)如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，P 为AB 中点．折叠该纸片使点C 落在点C 处且点P 在DC 上，折痕为DE ，则∠CED 的大小为()A.40°B.45°C.60°D.75°【答案】D 【分析】连接BD ，易得△DAB 为等边三角形，根据三线合一，易得∠DPA =90°，利用菱形的性质，易得：∠PDC =90°,∠C =60°，根据折叠的性质，易得∠CDE =12∠PDC =45°，再利用三角形的内角和求出∠CED 的度数即可．【详解】解：∵在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，∴∠C =∠A =60°,AD =AB ,AB ∥CD ，连接BD ，∴△DAB 为等边三角形，∵P 为AB 中点，∴DP ⊥AB ，∵AB ∥CD ，∴PD ⊥DC ，∴∠PDC =90°，∵折叠该纸片使点C 落在点C 处且点P 在DC 上，折痕为DE ，∴∠CDE =12∠PDC =45°，∴∠CED =180°-∠CDE -∠C =75°；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和个定理．熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．13(2023春·浙江·八年级专题练习)对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B 两点重合，MN 是折痕．若B M =1.5，则CN 的长为()A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【答案】A【分析】连接AC 、BD ，利用菱形的性质得OC =12AC =3，OB =OD =12BD =4，∠COD =90°，再利用勾股定理计算出CD =5，由ASA 证得△OBM ≌△ODN 得到DN =BM ，然后根据折叠的性质得BM =B M =1.5，则DN =1.5，即可得出结果．【详解】解：连接AC 、BD ，如图，∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，∴OC =12AC =3，OB =OD =12BD =4，∠COD =90°，在Rt △COD 中，CD =OC 2+OD 2=32+42=5，∵AB ∥CD ，∴∠MBO =∠NDO ，在△OBM 和△ODN 中，∠MBO =∠NDOOB =OD ∠BOM =∠DON，∴△OBM ≌△ODN ASA ，∴DN =BM ，∵过点O 折叠菱形，使B ，B 两点重合，MN 是折痕，∴BM =B M =1.5，∴DN =1.5，∴CN =CD -DN =5-1.5=3.5，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定和折叠的性质是解题的关键．14(2023·山东九年级课时练习)如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片ABCD 分别沿AM ，AN 所在直线进行折叠，使得菱形的两边AB ，AD 重合于AO ．若此时∠MON =80°，则∠AMO =．【答案】30°/30度【分析】根据菱形的性质得∠B =∠D ，∠B +∠BAD =180°，再由折叠的性质得∠B =∠AOM ，∠D =∠AON ，∠BAM =∠OAM =∠DAN =∠OAN =14∠BAD ，所以∠AOM =∠AON =12(360°-∠MON )=140°，所以∠B =∠AOM =140°,从而可求得∠BAD =40°,继而求得∠OAM =10°,再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴∠B =∠D ，∠B +∠BAD =180°，由折叠的性质得：∠B =∠AOM ，∠D =∠AON ，∠BAM =∠OAM =∠DAN =∠OAN =14∠BAD ，∵∠MON =80°，∴∠AOM =∠AON =12(360°-80°)=140°，∴∠B =∠AOM =140°,∴∠BAD =40°,∴∠OAM =10°,∴∠AMO =180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键．3)正方形的翻折模型【模型解读】15(2023·湖南郴州·八年级校考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 边的中点，连接BE ，将△ABE 沿直线BE 翻折至△FBE ，延长EF 交CD 于点G ，则CG 的长度是()A.23B.34C.43D.32【答案】C【分析】连接BG ，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB =BF =BC =4，AE =FE =12AD =2=DE ，∠A =∠BFE =90°=∠C ，即可证明Rt △BFG ≌Rt △BCG 得到FG =CG ，设CG =FG =x ，则DG=4-x ，EG =2+x ，在Rt △DEG 中，由勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =DC =4，∠A =∠ABC =∠C =90°，由折叠的性质可得，AB=BF=BC=4，AE=FE=12AD=2=DE，∠A=∠BFE=90°=∠C，∵∠BFE+∠BFG=180°，∴∠C=∠BFG=90°，又∵BG=BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)，∴FG=CG，设CG=FG=x，则DG=4-x，EG=2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2=DE2+DG2，∴(2+x)2=22+(4-x)2，解得x=43，即CG=43，故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF=2，则BF2=()A.42+4B.6+42C.12D.8+42【答案】D【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则AC=2x，由折叠可知，DE=EF，AD= AF，∠D=∠EFA=90°，可得DE=2，EC=x-2，AC=2x，在Rt△EFC中，由勾股定理可得(x-2)2 =4+(2x-x)2，解得x，即为正方形的边长为22+2，再求出FC=2，由∠ACB=45°，可求FG=CG =2，BG=2+2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2=(2+2)2+2=8+42．【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE=EF，AD=AF，∠D=∠EFA=90°，设正方形的边长为x，∵EF=2，∴DE=2，EC=x-2，AC=2x，在Rt△EFC中，EC2=FE2+FC2，∴(x-2)2=4+(2x-x)2，解得x =22+2，∴FC =2x -x =2，∵∠ACB =45°，∴FG =CG =2，∴BG =2+2，在Rt △BFG 中，BF 2=BG 2+GF 2=(2+2)2+2=8+42，故选：D ．【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．17(2023·江苏·九年级专题练习)如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A ′处，则EG =cm ．【答案】43-6【分析】由ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，可得AE =DF =2cm ，EF =AD =4cm ，由翻折的性质可得AG =A ′G ，AD =A ′D ，在Rt △DFA ′与Rt △A ′EG 中，用勾股定理可求得答案．【详解】解：∵ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E 、F 分别为AB ，CD 的中点，∴AE =DF =2cm ，EF =AD =4cm ，∵沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A ′处，∴AG =A ′G ，AD =A ′D =4cm ，在Rt △DFA ′中，A ′F =A ′D 2-DF 2=42-22=23cm ，∴A ′E =4-23 cm ，在Rt △A ′EG 中，设EG =x ，则A ′G =AG =(2-x )cm ，∴A ′G 2=A ′E 2+EG 2，即2-x 2=x 2+4-23 2，解得x =43-6．故答案为：43-6．【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是正确解答本题的关键．18(2023·山西朔州·校联考模拟预测)如图，在正方形ABCD 中，AB =2，将其沿EF 翻折，使∠EFC =120°，顶点B 恰好落在线段AD 上的点G 处，点C 的对应点为点H ．则线段AE 的长为．【答案】23【分析】设AE =x ，则BE =2-x ，由翻折性质，得EG =EB =2-x ，∠GEF =∠BEF =60°，所以∠AEG =60°，在Rt △AEG 中，利用三角函数可求出x ，从而得到线段AE 的长．【详解】解：设AE =x ，∵正方形ABCD 中，AB =2，∴BE =2-x ，AB ∥CD ，∵∠EFC =120°，∴∠BEF =60°，∵四边形EFHG 是四边形EFCB 折叠得到，∴∠GEF =∠BEF =60°，EG =BE =2-x ，∴∠AEG =180°-∠GEF -∠BEF =60°，在Rt△AGE中，cos∠AEG=AEEG，即cos60°=x2-x=12，解得x=23，经检验x=23是原方程的解，∴原方程的解为x=23，∴AE=23，故答案为：23．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，解直角三角形，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．19(2023·广东九年级课时练习)如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB+∠AED=135°③GF=3；④AG⎳CF；其中正确的有(填序号)．【答案】①②③④【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据∠DAE=∠EAF,∠BAG=∠FAG，进而可得∠GAE=45°，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF=135°，得到∠AGB+∠AED=135°，进而判断②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，CE=4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程(x+2)2= (6-x)2+42，解方程可得GF=3，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD=6，∵CD=3DE，∴DE=2，∴CE=4，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=90°，AF=AD，EF=DE=2，∴∠AFG=∠ABG=90°，AF=AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AF AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴①正确；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠DAE=∠EAF，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠BAG=∠FAG，∵∠DAE+∠EAF+∠BAG+∠FAG=∠DAB=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=12∠DAB=45°，∴∠AEF+∠ADF=135°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，∵CE=4，∴(x+2)2=(6-x)2+42，解得x=3，∴BG=GF=3，∴③正确；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．20(2023·江苏扬州·校考二模)如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A 、C ，若∠A BC =14°，则∠EBF=．【答案】38°【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得∠ABC=90°，∠ABE=∠A BE，∠CBF=∠C BF，利用角之间的和差关系可得2∠A BE+2∠C BF=90°+∠A BC =104°，进而求得∠A BE+∠C BF=52°，再利用∠EBF=∠A BE+∠C BF-∠A BC 即可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，由折叠可知，∠ABE=∠A BE，∠CBF=∠C BF，∵∠A BF=∠C BF-∠A BC ，∠ABE+∠A BE+∠A BF+∠CBF=90°，∴2∠A BE+2∠C BF-∠A BC =90°，即：2∠A BE+2∠C BF=90°+∠A BC =104°，∴∠A BE+∠C BF =52°，∴∠EBF=∠A BE+∠C BF-∠A BC =52°-14°=38°，故答案为：38°．【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到∠A BE+∠C BF的度数是解决问题的关键．21(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，AB=6，点F是边AD上一点(点F不与A,D重合)，将△CDF沿直线CF翻折，点D落在点E处．(1)如图2，当点E落在对角线AC上时，求DF的长．(2)如图3，连接AC,BD,BD分别交CF,AC于点M，点O，连接OE并延长交AD于点G，当M为OD中点时，试判断OG与CF的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段CE上取一点Q，且使CQ=2，连接AE,BQ，则在点F从点A运动到点D的过程中，AE+BQ的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．【答案】(1)62-6(2)CF∥OG，理由见解析．(3)213【分析】(1)可证得△FEA为等腰直角三角形，AF=2EF，结合DF=EF，可得AD=DF+AF=DF+ 2DF．(2)连接DE，交FM于点H，可知DH=EH，根据三角形的中位线定理，即可求得OG与CF的位置关系．(3)在线段CB上取一点P，使CP=CQ=2，连接AP，EP，可证得△CBQ≌△CPE，则AE +BQ=AE+EP，观察图形可知，当点A，E，P在同一条直线上时，AE+EP最小，最小值为AP．【详解】(1)根据折叠的性质可知DF=EF，∠D=∠FEC=90°，∴∠FEA=90°．∵∠FAE=45°，∴△FEA为等腰直角三角形．∴EF=EA．∴AF2=EF2+AE2=2EF2．∴AF=2EF．∴AF=2DF．∴AD=DF+AF=DF+2DF=6．∴DF=62-6．(2)CF∥OG，理由如下：如图所示，连接DE，交FM于点H．根据题意可知CF 为线段DE 的垂直平分线，∴DH =EH ．∵M 为OD 中点，∴MH ∥OE ，即CF ∥OG ．(3)如图所示，在线段CB 上取一点P ，使CP =CQ =2，连接AP ，EP ．在△CBQ 和△CPE 中，CQ =CP∠QCB =∠PCE CB =CE∴△CBQ ≌△CPE ．∴BQ =EP ．∴AE +BQ =AE +EP ．观察图形可知，当点A ，E ，P 在同一条直线上时，AE +EP 最小，最小值为AP ．∴AP =AB 2+BP 2=62+42=213．【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．课后专项训练1(2023·湖北随州·八年级统考期末)如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =4，∠A =60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB，AD 上，则EF 的长为()A.72 B.94 C.196 D.733【答案】A【分析】连接BE ，BD ，则△BCD 是等边三角形，则求出BE 的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF 的长度．【详解】解：如图，连接BE ，BD ，∵AB =4=BC =CD ，∠A =60°=∠C ，∴△BCD 是等边三角形，∵E 是CD 中点∴DE =2=CE ，BE ⊥CD ，∠EBC =30°，∴BE =3CE =23，∵CD ∥AB ，∴∠ABE =∠CEB =90°，由折叠可得AF =EF ，∵EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=12+(4-EF )2，∴EF =72．故选：A ．【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．2(2023春·江西新余·八年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是BC 上的一点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，AN 的延长线交DC 于点M ，当AB =2CF 时，则NM 的长为()A.12B.1C.32D.54【答案】A【分析】由折叠的性质可得AN =AB =6，∠BAE =∠NAE ，再由平行线的性质得到∠BAE =∠F ，则可证明∠NAE =∠F 得到AM =FM ，设CM =x ，则DM =6-x ，AM =FM =3+x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得3+x 2=62+6-x 2，解方程求出AM =132，则NM =AM -AN =12．【详解】解：∵△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，∴AN =AB =6，∠BAE =∠NAE ，∵正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAE =∠F ，∴∠NAE =∠F ，∴AM =FM ，设CM =x ，∵AB =2CF =6，∴CF =3，∴DM =6-x ，AM =FM =3+x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得，AM 2=AD 2+DM 2，即3+x 2=62+6-x 2，解得x =72，∴AM =3+72=132，∴NM =AM -AN =132-6=12．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明AM =FM 是解题的关键．3(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边CD 上，且CE =1，连结AE ，点F 在边AD 上，连结BF ，把△ABF 沿BF 翻折，点A 恰好落在AE 上的点G 处，下列结论：①AE =BF ；②AD =3DF ；③S △ABF =6；④GE =0.2，其中正确的是()A.①②③④B.①③④C.①②③D.①③【答案】B 【分析】根据翻折的性质证△ABF ≌△DAE (ASA )，得出AF =DE =3，BF =AE ，即可判断①正确；根据DF =AD -AF =4-3=1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF =5，由S △ABF 求出即可求得③正确；根据S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，求出AH ，即可判断④正确，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =CD =4，∠BAD =∠D =90°，∵CE =1，∴DE =3，由折叠的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠D AB=AD∠ABF=∠DAE，∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AF=DE=3，BF=AE，故①正确；∵DF=AD-AF=4-3=1，∴AD=4DF，故②错误；在Rt△ABF中，∵BF=AB2+AF2=42+32=5∴S△ABF=12AB•AF=12×4×3=6，故③正确；∵S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，∴4×3=5AH，∴AH=125，∴AG=2AH=245，∵AE=BF=5，∴GE=AE-AG=5-245=0.2，故④正确；综上所述：正确的是①③④，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．4(2023春·山西长治·八年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，将边AB沿AF折叠得到AB ,AB交CD于点E，当E为CD中点时，∠EFC的大小为()A.28°B.75°C.40°D.30°【答案】D【分析】延长AE交BC的延长线于点H，过点A作AI⊥BH于点I，可证△ADE≌△HCE，故CH=AD= BC=AB，即BH=2AB，即可求解．【详解】解：延长AE交BC的延长线于点H，过点A作AI⊥BH于点I∵AD∥BC，∴∠D=∠ECH，∵E为CD中点，∴DE=CE，∵∠AED=∠HEC，∴△ADE≌△HCE，∵在菱形ABCD中，∴CH=AD=BC=AB，∴BH=2AB，∵AI⊥BH，∠B=60°，∴∠BAI=30°,BI=12AB,AI=AB2-BI2=32AB，∵HI=BH-BI=2AB-12AB=32AB，∴在Rt△AIH中：AH=AI2+HI2=3AB，∴AH=2AI,∠H=30°，∴∠BAH=90°=∠BAF+∠HAF，由折叠可知：∠BAF=∠HAF=45°，∴∠BFE=2∠AFB=2180°-∠B-∠BAF=150°，∴∠EFC=180°-∠BFE=30°，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形以及折叠的性质．掌握相关几何结论是解题关键．5(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=23，折叠后，点C落在AD边上的C 处，并且点B落在EC 边上的B 处．则BC的长为()A.6B.43C.4D.33【答案】A【分析】由勾股定理得出232，求出BE=2，AE=4，根据翻折和对边平行可得△AEC2+BE2=2BE和△CC E为等边三角形，那么就得到EC=EC =AE=4，相加即可．【详解】解：连接CC ，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=23，AB2+BE2=AE2，∴AE=2BE，∠AEB =∠AEB=60°，∴232+BE2=2BE2，∴BE=2，∴AE=4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠C AE=∠AEB=60°，∴△AEC 为等边三角形，同理△CC E也为等边三角形，∴EC=EC =AE=4，∴BC=BE+EC=2+4=6，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6(2023春·浙江杭州·八年级统考期末)如图，将菱形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设∠ABE=α，∠BAE=β，∠C=γ，则关系正确的是()A.γ=α+2β-180°B.3β+γ=180°C.3α+2β=360°D.2α+γ=180°【答案】C【分析】可求∠AEB=180°-α-β，∠CED=2α+2β-180°，可求∠ADF=∠CED=2α+2β-180°，可证∠ADF=∠AFD，即可求解．【详解】解：∵∠ABE=α，∠BAE=β，∴∠AEB=180°-α-β，根据折叠可知，∠AEF=∠AEB=180°-α-β，∠AFE=∠ABE=α，AB=AF，∴∠CED=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°，在菱形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∴∠ADF=∠CED=2α+2β-180°，AD=AF，∴∠ADF=∠AFD，∵∠AFD =180°-α，∴180°-α=2α+2β-180°，∴3α+2β=360°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．7(2023·广东江门·统考二模)如图，在矩形片ABCD 中，边AB =4，AD =2，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF 的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =CE =AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF =BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE =AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，AB =4，AD =2，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF =BE ，设DF =x ，则CF =AF =4-x ，在Rt △ADF 中，DF 2+AD 2=AF 2，即x 2+22=(4-x )2解得x =1.5，即BE 的长是1.5；故②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，∴四边形ADFH 是矩形，∴FH =AD =2，AH =DF =1.5，∵AE =AB -BE =2.5，∴HE =AE -AH =1，由勾股定理得EF =FH 2+HE 2=22+12=5；故③正确；∵DF =BE ，AD =GC =2，DF =GF =32，∴S 阴影部分=S 四边形BCFE +S △CGF ，=12S 矩形ABCD +S △CGF ，=12AB •AD +12CG •GF ，=12×4×2+12×2×32，=4+32=112；故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．。

平行四边形折叠问题

平行四边形折叠问题
平行四边形折叠问题是一个几何问题，它涉及到将一个平行四边形沿着其边界线进行折叠，使得一些特定的条件得到满足。

具体来说，给定一个平行四边形，我们可以将它的两个相对边折叠在一起，形成一个三角形或者一个平行四边形。

问题的目标通常是找到能够实现特定条件的折叠方式。

有一些常见的平行四边形折叠问题，例如：
1. 平行四边形的对角线折叠问题：给定一个平行四边形，我们需要找到一种折叠方式，使得对角线之间的夹角保持不变。

2. 平行四边形的三角形折叠问题：给定一个平行四边形，我们需要找到一种折叠方式，使得折叠后形成的是一个三角形。

3. 平行四边形的正方形折叠问题：给定一个平行四边形，我们需要找到一种折叠方式，使得折叠后形成的是一个正方形。

对于这些问题，一般可以通过几何知识和数学推理来解决。

可以使用平行四边形的性质、角度关系、对称性等来推导出正确的折叠方式。

四边形中的折叠问题

图 1DACG 图 2A BDC图3ADCEF 四边形中的折叠问题湖北杨育颖折叠问题，就是把一个图形按照给定的条件折叠，然后进行作图、计算或证明．此类问题，不仅考查学生的动手操作能力和分析、推理能力，而且是培养学生空间想像能力的好题材，也是中考命题的热点,现举例以飨读者．一、折叠四边形对角线法例1、如图1，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG 长．解：过点G 作GE ⊥BD 于E ，E 为垂足，设AG=X ，有提意得到∠ADG=∠BDG ∴GE=AG=X ，则GB=2-X ，在Rt △BCD 中，BC=1，DC=AB=2， ∴BD=22DC BC +=5∵DE=AD=1 ∴BE=5-1，在Rt △GEB 中，GE 2+BE 2=BG 2 ∴X 2＋（5-1）2=（2－X ）2，解这个方程得X=215-，即AG=215-例2、（山西中考题）如图2，已知将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在H 处，BH 交AD 于E ，AD=8，AB=4，求△BDE 的周长．解：∵AD ∥BC ，∴∠DBC=∠ADB∵∠DBC 折叠后与∠HBD 重合∴∠ADB=∠HBD ∴△BDE 是等腰三角形 ∴BE=ED ∵C 点、H 点关于BD 对称，CD=HD ，BC=BH∴作EF ⊥BD 于F ，则BF=21BD ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠C=90°∴∠H=∠C=∠EFB=90° ∴△BEF ∽△BDH∴HD EF =BH BF ∵BD=45，∴BF=25．∵HD=4，BH=8 ∴EF=5 ∴BE=22EF BF +=5∴C △BED =BD ＋BE ＋ED =45＋2×5=10＋45二、折叠四边形角平分线法例3、（福州市中考题）如图3，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点在BC 边上的F 点处，若∠BAF=60°，求∠DAE 的度数．解：在矩形ABCD 中，∠BAD=90° ∵∠BAF=60°，∴∠DAF=30°∵∠DAE 与∠FAE 是关于AE 对称图 4AD C EFDBE∴∠DAE=21∠DAF=15°例4、（云南中考题）如图4，在矩形ABCD 中，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 处，AE 为折痕，求证：△AFB ∽△FEC ．解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠B=∠C=∠D=90° ∵△AFE 是由△ADE 沿AE 折叠得到的，∴△AFE ≌△ADE ∴∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFB ＋∠EFC=90° ∵∠EFC ＋∠FEC=90° ∴∠AFB=∠FEC ∴△ABF ∽△FCE三、四边形中不规则折叠法例5、（十堰市中考题）如图5，ABCD 是边长为3的正方形，E 是BC 的上一点，且BE=21EC 将正方形折叠，使点A 与点E 重合，折痕为MN ，求△ANE 的面积．解：连结EN ，∵MN 为A 、E 两对称点的对称轴∴EN=AN ，设BN=X ，则AN=EN=3－X在Rt △BNE 中，EN 2=BN 2＋BE 2，BE=21EC ∴EN=12+x ，3－X=12+x ，解得X=34 在Rt △ABE 中，AE=22BE AB +=10，F 为AE 中点，∴EF=210，在Rt △EFN 中，FN=22EF EN -=610∴S △ANE=21AE·FN=21×10×610=65由以上几例可知，解折叠问题的关键是要分析清楚题中折叠后的变量和不变量，由轴对称的特殊性质，得到有关边、角的等量关系，然后用勾股定理或相似三角形等方法求解．。

八年级四边形与折叠、旋转

四边形与折叠、旋转1、如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且△ABP为等边三角形，那么∠DCP＝_______。

2、如图，将一张边长为 12 的正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至 DC 边上的点 E ，使DE ＝ 5 ，折痕为PQ，则 PQ的长为_______。

（第1题图）（第2题图）3、将边长为 4cm 的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、DC上），使点 B 落在 AD 边上的点M处，点 C 落在点N处，MN与 DC 交于点P，连接EP。

如图，若M为AD边的中点。

（1）△AE M的周长为___________；（2）求证：EP＝AE+DP。

知识点一四边形与折叠【知识梳理】1、翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折 180º后所形成的新的图形的变化。

2、翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

3、解题方法：解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。

翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多。

另外，从运动变化的图形的特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。

侧重考察翻折问题中勾股定理的几何计算。

【例题精讲】例1.1、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1处，并且点 B 落在 EC1边上的 B1处。

则 BC的长为_________。

2、如图， EF 为正方形 ABCD 的对折线，将∠A 沿 DK 折叠使它的顶点 A 落在 EF 上的 G 点，则∠ DKG 为__________。

3、如图，将矩形 ABCD沿AC翻折，使点B落在点 E 处，连接 DE、CE ，过点 E 作 EH⊥AC ，垂足为H 。

九年级四边形中的折叠问题

求角度：利用轴对称性质找等角来计算相关的度数
巩固测试：1. 如图，矩 B
形ABCD沿BE折叠，使
点C落在AD边上的F点
处，如果ABF=60º，则CBE等于（）。
A
(A)15º (B)30º
(C )45º (D)60º
C E
FD
如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，折叠后点B落在点E上，若AD=4,AB=3.
E
D
B
C
F
C’Leabharlann （08湖北荆门）例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________．
10
A
E
D
H
B
GF
C
C’
全等性
折
利用Rt△
轴对称本质重结果折叠问题
精髓方程思想
对称性
叠
利用∽
☞透过现象看本质:
A
A
D
折实质 E叠
1、直接说出下列线段的长度：
①BC= 4 ， DC= 3 ，矩形对边相等
②AC= 5 ③AE= 3
，勾股定理
A
，CE=_4___. 轴对称的性质
E
F
D
2、求FC的长度。
B
C
将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落在点E处。求证：AF=CF
E
方法一：
A
E D Rt
EFA
证明：
E
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵折叠
A
F
D
∴AE=AB=CD,CE=BC=AD 又∵ED=ED

初二数学四边形的折叠问题技巧

初二数学四边形的折叠问题技巧初二数学四边形的折叠问题技巧数学中的几何形状是我们学习的重要内容之一。

四边形作为一种常见的几何形状，其折叠问题技巧也是我们需要掌握的。

本文将介绍初二数学中四边形的折叠问题技巧。

一、矩形的折叠问题技巧矩形是一种特殊的四边形，其两对边相等且平行。

在处理矩形的折叠问题时，我们需要注意以下几个技巧。

1. 折叠对角线：将一个矩形沿对角线方向折叠，可以得到重叠的两个直角三角形。

这个技巧在解决一些矩形面积、周长等问题时很有用。

2. 平行线折叠：我们还可以将矩形沿其中一对平行边折叠，使得另外一对平行边重合。

这样可以得到一个与原来矩形相似且大小相等的矩形。

这个技巧在解决一些矩形相似性质的问题时很有帮助。

二、平行四边形的折叠问题技巧平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。

在处理平行四边形的折叠问题时，我们也可以运用一些技巧。

1. 对折：可以将平行四边形沿两对平行边分别对折，使得两对对折线上的点重合。

这样可以证明平行四边形的对角线互相平分。

2. 平移：可以将平行四边形平移，使得相邻两边重合，从而得到一个与原平行四边形相似的形状。

这个技巧在解决一些平行四边形相似或面积问题时很有用。

三、菱形的折叠问题技巧菱形是一种特殊的平行四边形，其四条边相等且对角线垂直。

在折叠菱形时，我们可以运用一些技巧。

1. 中点折叠：可以将菱形沿对角线方向折叠，使得两个对角线的中点重合。

这样可以得到一个与原菱形相似的等腰直角三角形。

2. 对称折叠：可以将菱形沿其中一条对称轴折叠，使得两个顶点重合。

这样可以得到一个与原菱形相似的小菱形。

四、梯形的折叠问题技巧梯形是一种具有一对平行边的四边形。

在折叠梯形时，有如下技巧可用。

1. 平行线折叠：可以将梯形沿长边折叠，使得两个平行边重合。

这样可以得到一个与原梯形相似的矩形。

这个技巧在解决一些梯形相似性质的问题时很有帮助。

2. 对称折叠：可以将梯形沿对称轴折叠，使得两个底边重合。

这样可以得到一个与原梯形相似的小梯形。

中考复习专题三角形、四边形实践探究(旋转、动点、折叠问题)

专题七三角形、四边形实践探究(旋转、动点、折叠问题)1．将矩形ABCD 绕点A 按顺时针方向旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E 在BD 上时．求证：FD ＝CD ；(2)当α为何值时，GC ＝GB ？画出图形，并说明理由．(1)证明：由旋转可得AE ＝AB ，∠AEF ＝∠ABC ＝∠DAB ＝90°，EF ＝BC ＝AD.∴∠AEB ＝∠ABE.又∵∠ABE ＋∠EDA ＝90°＝∠AEB ＋∠DEF ，∴∠EDA ＝∠DEF.又∵DE ＝ED ，∴△AED ≌△FDE(SAS )．∴FD ＝AE.又∵AE ＝AB ＝CD ，∴FD ＝CD ；(2)解：当α为60°或300°时，GC ＝GB.理由：如图，当GB ＝GC 时，点G 在BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G 在AD 右侧时，GH 垂直平分BC ，AG ＝AD.又∵AD ∥BC ，∴GH ⊥AD.∴四边形ABHM 是矩形．∴AM ＝BH ＝12AD. ∴GM 垂直平分AD ，∴GD ＝GA ＝DA.∴△ADG 是等边三角形．∴∠DAG ＝60°.∴旋转角α＝60°；②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG ＝60°.∴旋转角α＝360°－60°＝300°.2．(2019·唐山路北区三模)如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，S △ABC ＝272，动点P 从点A 出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当点Q 运动到点A 时，P ，Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF(P ，Q ，E ，F 按逆时针排序)，以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH.(1)tan A ＝________；(2)设点P 运动时间为t s ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；(3)当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点(点Q 除外)落在正方形QCGH 的边HG 上？请直接写出t 的值．解：(1)34；[过点B 作BM ⊥AC 于点M.∵AC ＝9，S △ABC ＝272，∴12AC·BM ＝272，即12×9BM ＝272，解得BM ＝3.由勾股定理，得AM ＝52－32＝4，则tan A ＝BM AM ＝34.](2)存在．过点P 作PN ⊥AC 于点N.依题意，得AP ＝CQ ＝5t.∵tan A ＝34，∴AN ＝4t ，PN ＝3t.∴QN ＝AC －AN －CQ ＝9－9t.根据勾股定理得PN 2＋QN 2＝PQ 2.∴S ＝PQ 2＝(3t)2＋(9－9t)2＝90t 2－162t ＋81⎝⎛⎭⎫0＜t ≤95.∵－b 2a ＝1622×90＝910＜95，∴S 最小＝4ac －b 24a ＝4×90×81－16224×90＝8110；(3)①如图1，当点E 在边HG 上时，t 1＝914；图1图29②如图2，当点F在边HG上时，t2＝11.。

四边形中的折叠问题及解析

【问题背景】小明和小华这两个小组的同学在学习数学的过程中，对动手实践有较大的兴趣，一天两各组的同学对折纸展开了研究。

两人各取一张矩形纸片，开始了各自的活动。

【问题发现】小华组的同学进行了以下活动：（1）对折矩形纸片ABCD ，使AB 于CD 重合，得到折痕EF ，把纸片展平。

（2）再一次折叠纸片，使点D 落在EF 上，并使折痕经过点A,得到折痕AM.同时得到了线段AN.小华组的同学发现tan ∠NAB= .小明组的同学的活动别具一格：（1）首先用矩形纸片折出一个正方形，然后把纸片展平。

（2）把正方形对折成两个相等的矩形，再把纸片展平。

（3）折出内侧矩形的对角线AB ，展平纸片后折叠纸片使AB 落在矩形纸片的AD 边上.(4)展平纸片，按照所得的点D,折出DE,得到矩形BCDE.小华组的同学发现tan ∠EBC= .【问题解决】1.如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，折叠矩形的边AB,使点A 落在矩形内部F 点处，延长BF 交边DC 于点G,求证:EG ꞱBE .2.如图,点E 为矩形ABCD 边AD 上一点,将矩形的边AB 沿BE 折叠 ,使点A 落在CD 边上的F 点处，(1)已知折痕BE=10√5,且tan ∠DEF=43,求AB 的长.E图1 图2(2)连结AC,过点E 做EG ꞱAC 交AB 于点G,求证：四边形ADFG 为矩形.参考答案：问题发现：小华组的同学发现tan ∠NAB=33 小华组的同学发现tan ∠EBC=21-5 问题解决：1、证明：∵E 是矩形AD 的中点。

∴AE=DE,∠D=90°∵ΔABE 折叠到ΔBFE∴AE=FE,∠BEF=∠A=90°,∠AEB=∠FEB∴DE=EF,∴ΔEDG ≌ΔEFG∴∠DEG=∠FEG∴∠GEF+∠FEB=21(∠DEF+∠AEF)=90° 即EG ⊥BE2.（1）∵∆ABE 折叠到∆BFE∴AE=FE,∠BFE=∠A=90°在直角三角形DEF 中tan ∠DEF=43,设DF=4x,DE=3x,则可得：EEEF=AE=5x,BC=AD=5x,∵在矩形ABCD 中∠D=∠C=90°, ∴∠DEF+∠DFE=90°, ∵∠DFE+∠BFC=90° ∴∠DEF=∠BFC.∴∆DEF ∽∆BFC ∴DF DE =BCFC ∴FC=6x ，∴BF=AB=DC=DF+CF=10x, 在直角三角形BFE 中，BE 2=EF 2+BF 2 即（105）2=（5x)2+(10x)2 解得x=2,所以AB=10x=20（2）易证∆AEG~∆BAC, 得ABBC AE AG = 易证∆DEF~∆BFC,得ABBC BF BC EF DF == 由折叠可知AE=EF∴AG=DF又∵∠D=90°,DF ∥AG ∴四边形ABCD 是矩形。

北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)

专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。

【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。

中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转及动点最值问题

C DEB A 图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数〔1〕将一长方形纸片按如下图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，那么∠CBD 的度数为〔〕A ．600B ．750C ．900D ．950〔2〕如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，假设∠EFB ＝65°，那么∠AED′等于〔〕A ．50° B．55° C ．60° D．65°〔3〕用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度〔1〕将矩形纸片ABCD 按如下图的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．那么BC 的长为〔〕．A 、3B 、2C 、3D 、32〔2〕如图，边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，那么CE 的长是〔〕〔A 〕10315- 〔B 〕1053-〔C 〕535- 〔D 〕20103-图① ABEF〔3〕如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，那么线段的长是〔〕 A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm〔4〕如图，将矩形纸ABCD 的四个角向折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，假设EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，那么边AD 的长是___________厘米. 〔5〕如图，是一矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，假设将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，假设BE =6cm ，那么CD =〔6〕如图〔1〕，把一个长为m 、宽为n 的长方形〔m n >〕沿虚线剪开，拼接成图〔2〕，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，那么去掉的小正方形的边长为〔〕A ．2m n-B ．m n -C ．2m D ．2n3、折叠后求面积〔1〕如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，那么△CEF 的面积为〔〕 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10〔2〕如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，假设沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅〞，那么图中阴影局部的面积是〔〕 NM F E DC B Amn n n〔2〕〔1〕A ．2B ．4C ．8D ．10〔3〕如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

初二数学四边形的折叠问题技巧

初二数学四边形的折叠问题技巧
摘要：
一、折叠问题的概念及分类
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
2.相对面不相邻法
三、折叠问题在中考中的重要性
四、总结
正文：
一、折叠问题的概念及分类
折叠问题是指将一个平面图形通过折叠的方式，转变成另一个平面图形的问题。

它主要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

折叠问题可以分为两类：一类是给出一个平面图形，要求在四个备选的图形中选出可以由左侧图形折叠而成的一个；另一类是给出一个立体图形，要求通过折叠将其变成一个平面图形。

二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
在解决折叠问题时，可以先观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置。

然后对比选项，与之不符的直接排除。

这样可以缩小答案范围，提高解题效率。

2.相对面不相邻法
空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。

即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案。

违背这些特征的，便是错误选项。

三、折叠问题在中考中的重要性
折叠问题是我国中考数学判断推理的一个必考题型。

它对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有较高的要求，同时也是检验学生综合运用数学知识解决实际问题的能力的重要途径。

因此，掌握折叠问题的解题技巧，对于提高中考数学成绩具有重要意义。

四、总结
总之，折叠问题作为中考数学中的一个重要题型，需要我们熟练掌握其解题技巧。

通过观察特殊图形法和相对面不相邻法，可以帮助我们在解决折叠问题时更好地把握答案，提高解题正确率。

四边形中的折叠问题

四边形中的折叠问题教学设计一．教学内容分析折叠问题是中考中常见类型，以填空选择形式出现，应用到的知识较多，如四边形的性质、判定，勾股定理等，折叠前后的部分全等，注意总结“角平分线平行线等腰三角形来出现，折叠全等见勾股”二．教学目标：1.知识与技能：在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，能较为综合运用角平分线、平行线及与三角形,多边形相关角的一些知识。

2.过程与方法：经历做数学（实践），思考，再合情推理的数学知识形成过程；通过观察一探索一猜想一验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。

3.情感态度、价值观：建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。

感受到运动中蕴涵着静止，变与不变得辩证关系，在折纸中加强学生的发现探究能力和创造力。

三．教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决,让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归纳与总结。

促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识.四．教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题五．教学方式：探索式,启发式六．教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件七．教学过程（一）创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:折纸与几何解题例1：如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。

2.学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极思考理由。

3.教师活动设计：此题结论明显，易操作，主要目的使学生感受折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平分线，从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，进一步得到思想方法，化复杂图形为基本图形；运动中有静止。

（板书）解答：∠EFH＝90°理由：由折叠过程可知: ∠1=∠2, ∠3=∠4又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°所以∠1＋∠3＝90°即∠EFH＝90°小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。

19.3.2平行四边形中的折叠问题优质教案

19.3.2 平行四边形中折叠问题优质教案一、教学内容本节课，我们将深入探讨教材第19章第3节第2部分，关于平行四边形中折叠问题。

具体内容包括：理解平行四边形性质，掌握折叠过程中各边和角关系，以及运用这些性质解决实际问题。

二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形性质。

2. 学会运用折叠方法，解决平行四边形相关问题。

3. 培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点教学难点：理解平行四边形折叠过程中各边和角关系。

教学重点：掌握平行四边形性质，并运用其解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、圆规。

2. 学具：每人一份平行四边形纸张、剪刀、尺子、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入向学生展示一个平行四边形模型，提问：“如何通过折叠，将这个平行四边形变成一个矩形？”邀请学生上台演示，并分享他们思考过程。

2. 例题讲解讲解平行四边形性质，如对边平行且相等，对角相等。

以一个具体折叠问题为例，引导学生运用性质，解决问题。

3. 随堂练习让学生分组讨论，解决教材中折叠问题。

指导学生运用所学知识，分析问题，得出结论。

4. 课堂小结强调在解决折叠问题时，要注意边和角关系。

六、板书设计1. 平行四边形性质对边平行且相等对角相等2. 折叠问题解决方法确定折叠前后关系运用性质，推导出答案七、作业设计1. 作业题目1）一个平行四边形，将其沿对角线折叠，求折叠后得到图形面积。

2）已知一个平行四边形，求将其折叠成一个矩形所需最小折叠次数。

2. 答案作业1：折叠后得到图形为两个全等三角形，根据全等三角形性质，可求出面积。

作业2：最少折叠两次，先将平行四边形沿一条对角线折叠，再沿另一条对角线折叠。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过折叠问题，让学生深入理解平行四边形性质，提高学生空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 拓展延伸：引导学生思考，如何将平行四边形折叠成一个正方形？鼓励学生进行课外探究，提高他们自主学习能力。

四边形中的折叠问题+应用题

FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形；（2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3．为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。

初二数学四边形的折叠问题技巧

初二数学：四边形的折叠问题技巧四边形是几何学中重要的图形之一，它具有丰富的性质和应用。

在数学学习中，我们常常会遇到与四边形相关的问题。

其中一个有趣且常见的问题就是四边形的折叠问题。

本文将介绍四边形折叠问题的基本概念和解题技巧，帮助初中生更好地理解和解决这类问题。

什么是四边形的折叠问题？四边形的折叠问题是指给定一个四边形，在保持边长不变的情况下，把它折叠成二维平面上的一个点或一条线段。

常见的四边形包括正方形、长方形、平行四边形和梯形等。

这类问题常常涉及如何折叠和旋转四边形，并要求计算折叠后的形状、面积、体积等数值。

基本概念在解决四边形的折叠问题之前，先了解一些基本概念是很有帮助的。

1.边长：四边形的每条边的长度，通常用a、b、c和d表示。

2.对角线：连接四边形的两个非相邻顶点的线段，通常用e和f表示。

3.高度：以顶点为基点，垂直于底边或顶边的线段的长度，通常用h表示。

4.面积：四边形所围成的区域的大小，通常用S表示。

折叠技巧解决四边形折叠问题的关键在于理解形状的变化和如何利用对称性质。

下面将介绍常见四边形的折叠技巧。

正方形折叠技巧正方形是最简单的四边形之一，它的所有边长相等，对角线相等且互相垂直。

当折叠一个正方形时，我们可以沿着对角线折叠，从而使正方形折叠成一个边长等于对角线长度的等边三角形。

长方形折叠技巧长方形是另一种常见的四边形，它拥有两组相等的边长，且相邻边互相垂直。

当折叠一个长方形时，我们可以沿着较短的一组边折叠，从而使长方形折叠成一个等腰直角三角形。

平行四边形折叠技巧平行四边形具有两对平行边，对角线互相交叉，但长度不相等。

当折叠一个平行四边形时，我们可以选择沿着任意一条对角线折叠。

如果选择沿着短对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形等面积的直角梯形；如果选择沿着长对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形相等的直角三角形。

梯形折叠技巧梯形的特点是两边平行，而另外两边不平行。

平行四边形中的折叠问题

平行四边形中的折叠问题
问题描述
给定一个平行四边形，我们要找到一种折叠方式，使得折叠后的形状尽可能接近原始外形。

折叠是指将平行四边形的不同边折叠到一起，形成一个新的图形。

我们的目标是使得折叠后的图形尽可能接近原始外形，而且要保持对称。

解决方案
为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：
1. 首先，我们需要确定要折叠的边和折叠的方向。

我们可以选择折叠平行四边形的相邻边，保持对称的同时，最大限度地保持外形的相似性。

2. 然后，我们需要确定每个边折叠的比例。

我们可以根据需要将每个边的长度按比例减小，以适应折叠后的形状。

这样可以确保折叠后的图形更接近原始外形。

3. 接下来，我们可以开始折叠。

根据先前确定的折叠方向和比例，将平行四边形的边折叠到一起。

在折叠过程中要小心，确保折叠后的图形保持对称。

4. 最后，我们可以调整折叠后的图形，使其尽可能接近原始外形。

我们可以微调每个边的位置和角度，以使整个图形更接近原始形状。

总结
通过以上步骤，我们可以解决平行四边形中的折叠问题。

通过选择合适的折叠方向和比例，并进行适当的微调，我们可以使折叠后的图形尽可能接近原始外形。

这个问题涉及了几何学中的对称性和相似性概念，同时也考察了我们的折叠技巧。

希望这个文档对你理解和解决平行四边形中的折叠问题有所帮助！
参考文献：。

四边形中的折叠问题孙福荣课件

四边形中的折叠问题孙福荣课件一、教学内容本节课我们将探讨《四边形中的折叠问题》，教学内容主要围绕初中数学教材中的“空间与图形”章节，特别是折叠图形的对称性和性质。

具体内容包括：理解折叠的基本概念，掌握折叠过程中四边形边长和角度的变化规律，以及运用折叠性质解决实际问题。

二、教学目标1. 理解并掌握折叠图形的基本概念，能够识别不同的折叠方式。

2. 学习并运用折叠过程中四边形边长和角度的变化规律，解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点教学难点：折叠过程中四边形边长和角度的变化规律。

教学重点：理解折叠图形的概念，以及运用折叠性质解决实际问题。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、折叠模型。

学具：彩纸、剪刀、直尺、量角器。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的折叠现象，如纸飞机、折扇等，引出本节课的主题——四边形中的折叠问题。

2. 知识讲解：（1）介绍折叠图形的基本概念，让学生了解折叠图形的分类。

（2）讲解折叠过程中四边形边长和角度的变化规律，通过实际操作让学生感受折叠的性质。

（3）通过例题讲解，让学生学会运用折叠性质解决实际问题。

3. 随堂练习：（1）让学生动手折叠四边形，观察并记录折叠过程中的变化。

（2）解答练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 折叠图形的基本概念2. 折叠过程中四边形边长和角度的变化规律3. 例题讲解及解答步骤4. 课堂小结七、作业设计1. 作业题目：（1）折叠一个正方形，求折叠后得到的长方形的周长和面积。

（2）将一个正三角形沿一条边折叠，使顶点A落在底边BC上，求折叠后得到的三角形BDC的面积。

2. 答案：（1）周长：原正方形周长的一半；面积：原正方形面积的四分之一。

（2）三角形BDC的面积等于原正三角形面积的一半。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践操作和例题讲解，让学生掌握了折叠图形的性质和运用。

但在教学过程中，要注意关注学生的动手能力和空间想象能力的培养。

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