折叠问题涉及6种题型梳理

折叠问题涉及6种题型梳理

一、问题导读

折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。这类问题的解法思路，常常会困扰同学们，同样是翻折类题目，条件不一样，问题不一样，用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下，遇到这类题目，如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。

二、典例精析

类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题

例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）

【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．

【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，

∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），

解得x＝4．即BN＝4．故选：A．

例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）

A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3

【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），

∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，

解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．

例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC 上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．

【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE+EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x+4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。

类型2 翻折前有平行线这一条件的问题

例2．（2018秋宜兴市期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC＝5cm，则CD的长为（）

A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm

【分析】由折叠的性质可得：∠BAC＝∠EAC＝∠ACD，可得AO＝CO＝5cm，根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长．

【解答】∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠EAC＝∠ACD，∴AO＝CO＝5cm，

在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO＝3cm，

∴CD＝DO+CO＝3+5＝8cm．故选：C．

例2变式．（2018春南岗区校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为_____．

【解析】设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8﹣x，

在Rt△ABE中，AB +BE＝AE，即4 +（8﹣x）＝x，解得：x＝5，

由折叠可知∠AEF＝∠CEF，

∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，

∴S△AEF＝1/2×AF×AB＝1/2×5×4＝10．

故答案为：10．

方法策略模式：图形折叠后，相当于出现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一般就会使得问题得到解决。