整式的乘除经典讲义教学(可直接用)

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(完整版)整式的乘除经典讲义(可直接用)

整式的乘除讲义同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a++=⋅⋅（其中m 、n 、p 均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a ⋅=+（m 、n 均为正整数）幂的乘方与积的乘方1. 幂的乘方法则：mn n m a a=)((m,n 都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆. 2. ),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==.3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3 ⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

5．要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b 均不为零）。

6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a-=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n).2. 在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义.③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1=-( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,81)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.整式的乘法1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

七下第一章《整式的乘除》复习课件

七下第一章《整式的乘除》复习课件一、教学内容1. 整式的乘法：多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，单项式乘以单项式。

2. 整式的除法：多项式除以多项式，多项式除以单项式，单项式除以单项式。

3. 平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)。

4. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 2ab + b^2 = (a b)^2。

二、教学目标1. 掌握整式的乘除运算法则，能够熟练地进行整式的乘除计算。

2. 理解并熟练运用平方差公式和完全平方公式。

3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点重点：整式的乘除运算，平方差公式和完全平方公式的运用。

难点：灵活运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：笔记本、练习本、文具。

五、教学过程1. 情景引入：以实际生活中的问题引入，例如计算购物时优惠后的价格。

2. 知识回顾：复习整式的乘法、除法，平方差公式和完全平方公式。

3. 例题讲解：讲解典型例题，让学生理解并掌握整式的乘除运算方法和技巧。

4. 随堂练习：布置随堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时纠正错误。

5. 课堂互动：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和方法。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、板书设计1. 整式乘法法则2. 整式除法法则3. 平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)4. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 2ab + b^2 = (a b)^2七、作业设计1. 题目：计算下列整式的乘除结果。

（1）(x + 2)(x 2)（2）(x + 3)÷(x 1)（3）(a + b)^22. 答案：（1）x^2 4（2）x + 4（3）a^2 + 2ab + b^2八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对整式的乘除运算掌握较好，但在运用平方差公式和完全平方公式解决实际问题时，部分学生还存在一定的困难。

整式的乘除课件

详细描述
分配律是整式乘除中的基本运算规则，即 $a(b+c) = ab + ac$。通过分配律，可以将复杂的整式乘法或除法转化为简单的代数运算。例如，利用分配律计算整式 $(x+y)^2$，可以得出结果$x^2 + 2xy + y^2$。同样地，在整式除法中，也可以利用分配律进行简化计算。
05
THANKS
感谢观看
单项式相除，系数相除，同底数的幂相减。
如果两个单项式相除，可以直接将它们的系数相除，同时将同底数的幂相减。例如，$frac{3x^2}{5x} = frac{3}{5}x^{2-1} = frac{3}{5}x$。
单项式除以多项式
将多项式拆分成单项式，分别与被除式相除。
如果单项式除以多项式，可以将多项式拆分成若干个单项式，然后分别与被除式相除。例如，$frac{x}{x+1} = frac{x}{x+1}$。
在数学教育中，整式的乘除是培养学生逻辑思维和数学素养的重要内容之一。通过整式的乘除训练，可以提高学生的数学思维能力，增强学生的数学应用能力。
02
整式乘法规则
单项式乘单项式
总结词
这是整式乘法中最简单的形式，只需将两个单项式的系数相乘，并将相同的字母的幂相加。
详细描述
例如，$2x^3 times 3x^2 = 6x^{3+2} = 6x^5$。
单项式乘多项式
总结词
将一个单项式与一个多项式中的每一项分别相乘，然后合并同类项。
详细描述
例如，$(2x - 3y) times 3x = 6x^2 - 9xy$。
多项式乘多项式
总结词
将两个多项式的每一对相应项分别相乘，然后合并同类项。

第一章整式的乘除第二讲(教案)

最后，总结回顾环节，我觉得可以更加注重学生对知识点的内化。这次课中，虽然学生对整式乘除的概念有了基本的理解，但我认为还可以通过一些互动的方式，比如让学生自己来总结今天学到的内容，或者用他们自己的话来解释某个法则，这样有助于他们更好地记忆和应用。
五、教学反思
在上完这节课后，我思考了几个方面。首先，关于整式乘除的教学，我发现学生在理解单项式相乘的法则上相对容易，但在应用到具体问题，比如单项式乘以多项式时，分配律的应用就变得有些困难。这让我意识到，需要通过更多的实际例子和练习来强化这个概念。
其次，我观察到在小组讨论环节，学生们对整式乘除在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点。这说明他们能够将理论知识与生活实际相结合，这是非常可贵的。但同时，我也注意到有些学生在讨论中较为被动，可能是因为他们对这个主题还不够自信。我考虑在下次课中，更多地鼓励这些学生参与到讨论中来，提高他们的自信心。
3.提升学生的数学建模素养，通过具体的数学实例，让学生掌握整式乘除的实际应用，培养将现实问题转化为数学模型的能力。
4.增强学生的数学运算素养，熟练掌握整式乘除的基本技能，提高准确性和效率，形成解决数学问题的基本策略。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-单项式乘以单项式的法则：核心内容是理解并掌握同类项相乘时指数相加的规则，以及系数相乘的方法。
2.教学难点
-理解指数相加的规则：学生在处理指数相加时可能会出现混淆，特别是当底数相同而指数不同时。
-举例：难点在于理解x^2 * x^3 = x^(2+3) = x^5，需要通过重复练习和直观图示来加深理解。
-分配律的灵活运用：学生在将单项式乘以多项式时，可能会忘记将单项式分别与多项式中的每一项相乘。
-举例：难点如5x * (2x^2 + 3x - 1)，需要学生克服只与第一项相乘的倾向，通过具体例子和练习来强化分配律的运用。

(完整版)整式的乘除法专题讲义

第151讲整式的乘除法专题一、知识框架二、本节重点1.幂的乘法运算：（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘底数不变指数相加.（注意当底数互为相反数时要化成同底数幂，再运用同底数幂乘法法则进行运算）.表示：m n m na a a+⋅=（,m n都是整数）（2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变指数相乘.表示：()n m mna a=（,m n都是整数）；逆运算：()()n mmn m na a a==（3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.表示：()n n nab a b=（n是整数）；逆运用：()nn na b ab=2.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.表示：m n m na a a-÷=（0,,a m n≠都是整数）.3.整式的乘法运算：（1）单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.整式的除法运算：（1）单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数.三、学生笔记四、经典题型题型一：幂的乘法运算1. 计算（1）()()()3225a a a a -⋅-⋅-⋅ （2）()()()24s t t s s t -⋅-⋅-（3）()()3224233a b ab ⋅- （4）()()()()32232228x y x x y +⨯-⨯-（5）()()2003200231515530.12522135⎛⎫⎛⎫⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （6）()()23m n x y y x ⎡⎤⎡⎤-⋅-⎣⎦⎣⎦2. （1）如果1128164n n ⋅⋅=，则_________n =.（2）已知()()535,7x y x y +=+=，则()812x y +的值为_____________. （3）已知333,2m n a b ==，求()()332242m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值_________________. 3. 若()22nab -与29m a b -互为相反数，求m n 的值.4. （1）已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系____________________.（2）比较5554443333,4,5的大小______________________.题型二：同底数幂的除法5. （1）()()()()33323423a a a a ⎡⎤⋅-÷÷⎢⎥⎣⎦（2）1381x =6. 用科学记数法表示下列各数：（1）0.0000512（2）-0.00000717. 计算：（用科学记数法表示结果）（1）()()479101810⨯÷-⨯ （2）()()347210210---⨯÷-⨯8. 若34,97x y ==，则23x y -的值____________.9. 已知()321x x +-=，整数x 的值为________________.10. 计算21103,105αβ--==，求6210αβ+的值.题型三：整式的乘法运算11. （1）()()3252345a a a a -+-⋅-（2）()()2221354a b ab a b a ab b ⎡⎤+--⎣⎦（3）()()()3121x x x x +---+ （4）()()()()221124x x x x -+---12. （1）已知56x y +=，求2530x xy y ++的值.（2）已知+5,6x y xy ==，求22x y xy +的值.13. ()()222762x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求__________,___________A B ==.14. 若多项式28x px ++和多项式23x x q -+的乘积中不含3x 和2x 项，求p 和q 的值.15. 先化简，再求值：()()()()122322x y x y x y x y ----+，其中22,5x y =-=.题型四：整式的除法运算16. （1）()35223123a b c a b -÷- （2）232443232113248a b c ab c a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷÷-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦17. 化简求值：()()()2544545x y y x y x ⎡⎤+-+÷-⎣⎦，其中1,3x y =-=.18. 若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有___________个. 19. 若13x x+=，则2421x x x ++的值为_______________.。

《整式的乘除》研课标说教材PPT

螺旋上升的思想
知识横向联系
联系实际形成应用
整
式
将整式的运算法则与“探究
的
规律题”，“图形面积问
运
题”，等相联系，体现了数学来源于生活又服务与生活
算
的思想
发展学生
有条理的
思考与表达
发展学生符号感
发展学生的推理能
力
保证基本运算技能，避免繁杂运算
教学建议
理解与应用
积极、主动
学习过程
会进行整式的运算
整
知识与技能
式
的
理解幂的运算性质
运算
了解数学的价值
发展用数学的信心
问题情境
想一想
做一做
议一议
猜一猜
为学生提供探索、交流的时间与空间
数
问
学
题
模
情
型
境
展现数学知识的形成与应用过程
求
解
分解因式
模
型
整式的运算
字母表示数
知识编排上螺旋上升
与实际生活和其他学科联系
黑
洞
装饰物面
积
编写特点
习题编排
读一读
练习习题
带
﹡ 复
习题题
知识点回顾
复习题
激发兴趣
性经学历习研
究
应体用会价数值学
的
问题情境
问题串
想一想
做一做议
一议
增加学习信心
正文
读一读
介绍与正文相关的背景知识
课题
学习

(文德教育材料)整式的乘除讲义

整式的乘除讲义知识总结：1、知识框图单项式式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、同底数幂的乘法1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作a n，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a n的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：a m﹒a n=a m+n。

4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m﹒a n。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

二、幂的乘方1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（a m）n表示n个a m相乘。

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（a m）n =a mn。

3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m）n=（a n）m。

三、积的乘方1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=a n b n。

3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab）n。

四、三种“幂的运算法则”异同点1、共同点：（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。

（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

（3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。

2、不同点：（1）同底数幂相乘是指数相加。

（2）幂的乘方是指数相乘。

（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

五、同底数幂的除法1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n（a ≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n（a ≠0）。

七年级数学整式的乘法(学生讲义)

七年级数学整式的乘法(学生讲义)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2章：整式的乘除与因式分解一、基础知识1.同底数幂的乘法：m n m n=，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底a a a+数不变，指数相加。

2.幂的乘方：()m n mn=，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数a a相乘。

3.积的乘方：()n n n=，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个ab a b因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

整式乘除全章讲义

幂的乘方【学习目标】1．会根据乘方的意义推导幂的乘方法则．2．熟练运用幂的乘方法则进行计算．预习案一、知识3(-5)底数为_______，指数为_____，幂为______ 二、探究新知1想一想()3210等于多少分析：()3210将括号里的数看作整体，()3210表示3个210相乘，即（210）×（210）×（210）321010222⨯==++2.仔细阅读第一上面部分，计算下列各式，并说明理由。

（1）()426=（）×（）×（）×（）=()()()()()()⨯+++=66=（2）32)(a =（）×（）×（）=()()()()()⨯++=a a（3）2)(m a =（）×（）=()()()()⨯+=a a（4）n m a )(=（）×（）×……×（）×（）=()()()()()⨯+++=a a总结为:()=nm a ____即：幂的乘方，底数______，指数______ 3牛刀小试（1）()5310=_______(2)()24a =____________(3)()3m a =___________ ⑷()4mx =_________(5)x 2·x 4+(x 3)2=___________ (6)、()()()()234612====x教学案例1、⑴ ()1033 ⑵ ()x 32 ⑶ ()x m 5- ⑷()a a 533•（5）()4p p -⋅- （6） ()2332)(a a ⋅（7）()t t m ⋅2（8）()()8364x x -例2、已知3,2==n m a a (m 、n 是正整数).求n m a 23+ 的值.例3.已知3460x y +-=，求816x y ⋅ 当堂检测1、43)2(2、()23a -3、2221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4、()423)(p p -⋅- 5、－（a2）7 6、（103）37、4332⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛8、()[]436-9、（x3）4·x 2； 10；()()3232a a a --⋅（11）［－(a ＋b )4］3（12）523423)()(2)()(c c c c ----⋅⋅2若()[]1223xxm=，则m=________。

整式的乘除复习讲义资料

• 单项式乘多项式的应用： a. 计算复杂表达式 b. 解决实际问题
• a. 计算复杂表达式 • b. 解决实际问题
多项式乘多项式
乘法法则：多项式乘多项式，用每个单项式分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
乘法公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
乘法性质：乘法满足交换律、结合律和分配律
乘法和除法可以交换顺序，但需要保证结果的正确性
整式乘除法中，要注意符号的变化和结果的简化
代数公式的正确使用
牢记公式：牢记整式乘除法的基本公式，如乘法公式、除法公式等。理解公式：理解公式的含义，知道公式中每个符号代表的意义。正确运用：在解题过程中，根据题目要求，正确运用公式进行计算。注意细节：注意公式中的细节，如符号、系数等，避免因疏忽而导致的错误。
例子：3x^2 * 2y^3 = 6x^2y^3
注意事项：系数和同底数幂相乘时，要注意符号和指数
的变化
单项式乘多项式
• 单项式乘多项式：单项式乘以多项式，等于单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
• 单项式乘多项式的步骤： a. 单项式乘以多项式的每一项 b. 将所得的积相加
• a. 单项式乘以多项式的每一项 • b. 将所得的积相加
单项式除以多项式
单项式除以多项式，首先将多项式分解为两个因式，其中一个因式与单项式相同，另一个因式与单项式相乘。
计算结果等于两个因式的乘积，即单项式除以多项式的商。
如果多项式不能分解为两个因式，则不能进行除法运算。
除法运算的步骤：分解多项式、计算商、验证结果。
多项式除以多项式
除法运算：多项式除以多项式，结果仍是
多项式

第一章整式的乘除(教案)

4.增强学生的数学建模和问题解决能力：让学生在实际问题中运用整式的乘除法则，学会建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
5.培养学生的团队协作和交流能力：在小组讨论和合作完成练习的过程中，引导学生学会倾听、表达和交流，培养团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）单项式乘以单项式的运算法则：强调同类项的概念，以及如何将两个单项式相乘并合并同类项。
举例：3x^2 * 4x = 12x^3，在此例中，重点讲解如何将系数相乘，并将相同字母的指数相加。
（2）单项式乘以多项式的运算法则：掌握分配律在整式乘法中x * (3x^2 + 2x - 1) = 12x^3 + 8x^2 - 4x，重点强调如何将4x分别与括号内的每一项相乘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式乘除在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
第一章整式的乘除（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材《第一章整式的乘除》。教学内容主要包括以下两部分：
1.单项式乘以单项式：介绍并掌握同类项的概念，以及如何将两个单项式相乘，得出积的同类项合并的方法。
2.单项式乘以多项式：通过具体例题，引导学生理解并掌握将一个单项式乘以一个多项式的过程，掌握分配律在整式乘法中的应用。
关于学生小组讨论环节，我觉得效果还是不错的，大部分学生能够积极参与，提出自己的观点。但我也注意到，有些学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是因为他们的语言组织能力不足。针对这个问题，我打算在课堂上多给他们一些锻炼的机会，比如让他们多做一些口头表达和总结。

第15讲：整式的乘除(全章)

第15讲：整式的乘除一、本讲知识标签（一）幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（二）整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.二、范例分析例1.（2015•杭州模拟）已知代数式（mx 2+2mx ﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m ，n 的值，并求出一次项系数．m n ，m n ，n a m n ，m n >()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++【分析】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．解：（mx 2+2mx ﹣1）（x m +3nx+2）=mx m+2+3mnx 3+2mx 2+2mx m+1+6mnx 2+4mx ﹣x m﹣3nx ﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2=4，解得：m=2，原式=2x 4+（6n+4）x 3+（3+12n ）x 2+（8﹣3n ）x ﹣2∵多项式不含二次项，∴3+12n=0，解得：n=，所以一次项系数8﹣3n=8+=．本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．【变式】若的乘积中不含的一次项，则等于______．【答案】例2.若，化简＝_________．【分析】因为，所以，原式＝. 【答案】【变式1】．【答案】解：原式．【变式2】若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数．34354()13x m x ⎛⎫++⎪⎝⎭x m 13-230x y <|)(21|276y x xy --⋅-230x y <0y <676778112||222xy x y xy x y x y ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭78x y 224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-n ()()2121n n n n +--【答案】解：＝因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．三、训练提高（一）选择题:1. 已知：，则的值为（） A.－1 B.0 C. D.12.（2015•广元）下列运算正确的是（）A ．（﹣ab2）3÷（ab2）2=﹣ab2B ．3a+2a=5a2C ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a2﹣b2D ．（2a+b ）2=4a2+b23．（2018•河北）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A ．﹣1B ．﹣2C ．0D ．（二）填空题: 4.把展开后得，则5.已知，则＝___________. 6.若，，则用含的代数式表示为______． (三) 解答题:7．（2018•河北）嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？8. 观察下列各式：；()()2121n n n n +--222223n n n n n +-+=n ()()2121n n n n +--222440,23a b a b --=+=2122a b b +1262)1(+-x x 0122101011111212......a x a x a x a x a x a ++++++=++++++024681012a a a a a a a 20m n +=332()48m mn m n n +++-21=+m x 34=+my x y 22()()x y x y x y -+=-；；根据这些式子的规律，归纳得到：9. 观察下列等式：第1式，20211⨯-=-；第2式，21321⨯-=-；第3式，22431⨯-=-；第4式，23541⨯-=-；… …（1）请写出第n 个式子，并加以推导；（2）根据（1）中得到的式子，计算1999×2001的值.10.如图甲所示,边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.（1）请用字母a 和b 表示出图甲中阴影部分的面积；（2）将阴影部分还能拼成一个长方形,如图乙这个长方形的长和宽分别是多少？表示出阴影部分的面积；（3）比较（1）和（2）的结果,你能得到一个怎样的等式能否通过计算验证你的发现?（4）试用你发现的规律进行计算：11．（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数2233()()x y x xy y x y -++=-322344()()x y x x y xy y x y -+++=-43223455()()x y x x y x y xy y x y -++++=-123221()()n n n n n x y x x y x y xy y ------+++++=……与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）又∵m+n=logaM+logaN∴loga（M•N）=logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式3=log464 ；（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34=1。

整式的乘除经典讲义(可直接用)

整式的乘除经典讲义(可直接用)整式的乘法讲义同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则如下：1.幂的底数相同且相乘时，底数a可以是一个具体的数字或字母，也可以是一个单项或多项式。

2.指数是1时，不要误以为没有指数。

3.对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加。

4.当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为a^m * a^n = a^(m+n) （其中m、n均为正数）。

5.公式还可以逆用：a^m * a^n = a^(m+n)（m、n都是正数）；a^m * a^-n = a^(m-n)（m为正数，n为负数）。

幂的乘方与积的乘方1.幂的乘法法则为基础推导出幂的乘方法则：(a^m)^n = a^(mn)（m、n都是正数）。

2.幂的乘方法则可以逆向运用：a^(mn) = (a^m)^n（m、n 都为正数）。

3.积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n = a^n * b^n（n为正整数）。

底数有负号时的运算1.底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘法法则化成同底。

2.一般地，(-a)^n = a^n（当n为偶数时），(-a)^n = -a^n（当n为奇数时）。

3.底数有时形式不同，但可以化成相同。

4.要注意区别（ab）^n与（a+b）^n意义是不同的，不要误以为（a+b）^n= a^n + b^n（a、b均不为零）。

幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a^m ÷ a^n =a^(m-n)（a≠0，m、n都是正数，且m。

n）。

在应用时需要注意以下几点：1.法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且不能做除数，所以法则中a≠0.2.任何不等于0的数的次幂等于1，即a^0 = 1，(-2.5)^0 = 1，则无意义。

3.任何不等于0的数的负p次幂(p是正整数)，等于这个数的p的次幂的倒数，即a^-p = 1/a^p（a≠0，p是正整数），而-1、0、-3都是无意义的；当a>0时，a^-p的值一定是正的；当a<0时，a^-p的值可能是正也可能是负的，如(-2)^-2 = 1/(-2)^2 = 1/4.4.运算要注意运算顺序。