人教版初中八年级数学上册专题整式的乘除讲义及答案

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八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)

八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9）【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）

人教版八年级上册数学整式的乘除全章课件

17个10 =1017
3个10
通过观察可以发现1014、 103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1014×103的运算叫做
同底数幂的乘法 .
请同学们先根据自己的理解，解答下列各题. 103 ×102 =（10×10×10）×（10×10） = 10（ 5 ） 23 ×22 =（2×2×2）×（2×2）=2×2×2×2×2 =2（ 5 ）
2.计算：（1）23×24×25
（2）y · y2 · y3
【解析】（1）23×24×25=23+4+5=212 （2）y · y2 · y3 = y1+2+3=y6
3.计算:（-a）2×a4
【解析】原式 = a2×a4 =a6
（-2）3×22 原式 = -23 ×22
= -25
当底数互为相反数时，先化为同底数形式.
（an）3·（bm）3·b3=a9b15 a3n ·b3m·b3=a9b15 a3n ·b3m+3=a9b15 3n=9，3m+3=15
n=3,m=4.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
积的乘方法则 (ab)n =anbn （n为正整数）积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.am·an =am+n(m、n都是正整数) 2.am·an·ap = am+n+p （m、n、p都是正整数）
14.1.2 幂的乘方
1.经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.
【解析】xm·x2m= x3m =2 x9m =(x3m)3 = 23 =8 6.若a3n=3，求（a3n）4的值.

人教版初中八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点复习(含答案解析)(1)

一、选择题1．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解D解析：D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．2．若2()(2)3x a x x x b +-=-+，则实数b 等于（）A ．2-B ．2C ．12-D ．12B 解析：B【分析】等式左边去括号后两边经过比对可以得解．【详解】解：原等式可变为： ()22223x a x a x x b +--=-+，∴可得：232a b a -=-⎧⎨=-⎩，解之得：a=-1,b=2，故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和多项式的乘法，熟练掌握代数式相等的意义、多项式的乘法法则及二元一次方程组的解法是解题关键．3．如果249x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是（）A ．12±B ．9C ．9±D ．12A解析：A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】解：∵()22249=23x mx x mx -+-+，∴223mx x -=±⨯⨯ ，解得m=±12．故选：A ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．4．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（）A ．18B ．12C ．9D ．7D 解析：D【分析】将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．【详解】解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，∴x 2﹣2x ＝1，∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．故选：D ．【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．5．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ C 解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】解：A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式；故选：C ．【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键． 6．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（）A ．()21a a b a ab a +-=+- B ．()2211a a a a --=-- C ．()()22492323a b a b a b -+=-++ D ．1212x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C 解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断．【详解】A 、()21a a b a ab a +-=+-这是整式乘法计算，故该项不符合题意； B 、()2211a a a a --=--，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意； C 、()()22492323a b a b a b -+=-++，故该项符合题意； D 、1212x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，等式右侧是乘积，但1x不是整式，故该项不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键．7．已知3x y +=，1xy=，则23x xy y -+的值是（） A ．7B ．8C ．9D ．12A 解析：A【分析】先把3x y +=代入原式，可得23x xy y -+=22x y +，结合完全平方公式，即可求解．【详解】∵3x y +=，∴23x xy y -+=2()x xy x y y -++=22x xy xy y -++=22xy +， ∵1xy =，∴23x xy y -+=22xy +=22()23217x y xy +-=-⨯=，故选A ．【点睛】本题主要考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． 8．若3a b +=，1ab =，则()2a b -的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7B 解析：B【分析】由3a b +=结合完全平方式即可求出22a b +的值，再由222()2a b a b ab -=+-，即可求出结果．【详解】∵3a b +=，∴22()3a b +=，即2229a ab b ++=，将1ab =代入上式得：229217a b +=-⨯=．∵222()2a b a b ab -=+-，∴2()725a b -=-=．故选：B ．【点睛】本题考查代数式求值以及因式分解．熟练利用完全平方式求解是解答本题的关键． 9．下列各式计算正确的是（）A ．224a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．()22439a a -=D ．22(1)1a a +=+ C 解析：C【分析】根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方进行计算．【详解】解：A. 2222a a a +=，故选项A 计算错误；B. 235a a a ⋅=，故选项B 计算错误；C. ()22439a a -=，故选项C 计算正确；D. 22(11)2a a a +=++，故选项D 计算错误；故选：C【点睛】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则即可解题． 10．下列运算正确的是（）A ．428a a a ⋅=B ．()23624a a =C ．6233()()ab ab a b ÷=D ．22()()a b a b a b +-=+ B 解析：B【分析】根据同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式依次计算判断．【详解】A 、426a a a ⋅=，故该项错误；B 、()23624a a =，故该项正确；C 、4624()()ab ab a b ÷=，故该项错误；D 、22()()a b a b a b +-=-，故该项错误；故选：B ．【点睛】此题考查整式的计算法则，正确掌握整式的同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂除法法则、平方差公式是解题的关键．二、填空题11．2007200820092()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键解析：-1.5【分析】首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．【详解】解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭＝﹣1.5，故答案为-1.5 ．【点睛】本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．12．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示．例如，对于多项式()35f x mx nx =++，当3x =时，多项式的值为()32735f m n =++，若()36f =，则()3f -的值为__________．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想解析：4【分析】由()36f =得到2731m n +=，整体代入()32735f m n -=--+求出结果．【详解】解：∵()36f =，∴27356m n ++=，即2731m n +=，∴()()327352735154f m n m n -=--+=-++=-+=．故答案是：4．【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．13．因式分解269x y xy y -+-=______．-y （x-3）2【分析】提公因式-y 再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x2y+6xy-9y=-y （x2-6x+9）=-y （x-3）2故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式解析：-y （x-3）2【分析】提公因式-y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x 2y+6xy-9y=-y （x 2-6x+9）=-y （x-3）2，故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．14．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．﹣25【分析】将3x+3y ﹣4xy 变形为3（x+y ）﹣4xy 再整体代入求值即可【详解】解：∵x+y ＝﹣3xy ＝4∴3x+3y ﹣4xy ＝3（x+y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25故解析：﹣25【分析】将3x +3y ﹣4xy 变形为3（x +y ）﹣4xy ，再整体代入求值即可．【详解】解：∵x +y ＝﹣3，xy ＝4，∴3x +3y ﹣4xy ＝3（x +y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25，故答案为：﹣25．【点睛】此题考查已知式子的值求代数式的值，将代数式变形为已知式子的形式是解题的关键． 15．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；（1）将数对放入其中，最后得到的数________；（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时解析：-1 -2 -2m 2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和(23,2)+放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)m 放入其中，得到数n ，计算出m 与n 的关系，再计算数对(,)n m ，即可得到结果．【详解】解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1；故答案为：-1；（1）将数对(23,2)+放入其中，最后得到的数是：（23+-1）（2-2）＝-2；故答案为：-2；（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ，则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．故答案为：-2m 2+5m-2．【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第n 个图形需要的黑色棋子的个数是______．（n 为正整数）【分析】根据题意分析可得第一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5依此类推可得第n 个图形需要黑色棋子的个数为计算可得答案解析：()2n n +【分析】根据题意分析可得第一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3，第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4，第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5，依此类推可得第n 个图形需要黑色棋子的个数为()()()122n n n ++-+，计算可得答案．【详解】解：观察图形可得：第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3-3个，第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4-4个，第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5-5个，按照这样的规律下去：则第n 个图形需要黑色棋子的个数是()()()()1222n n n n n ++-+=+，∴当n=6时，()26848n n +=⨯=；故答案为48；()2n n +．【点睛】本题主要考查图形规律及整式乘法的应用，关键是根据图形得到一般规律，然后问题可求解．17．分解因式3225a ab -=____．a （a+5b ）（a-5b ）【分析】首先提取公因式a 进而利用平方差公式分解因式得出答案【详解】解：a3-25ab2=a （a2-25b2）=a （a+5b ）（a-5b ）故答案为：a （a+5b ）（a-5b ）解析：a （a+5b ）（a-5b ）【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：a 3-25ab 2=a （a 2-25b 2）=a （a+5b ）（a-5b ）．故答案为：a （a+5b ）（a-5b ）．【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题的关键． 18．下列说法：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上依据的是“两点之间，线段最短”；②若2210m m +-=，则2425m m ++的值为7；③若a b >，则a 的倒数小于b 的倒数；④在直线上取A 、B 、C 三点，若5cm AB =，2cm BC =，则7cm AC =．其中正确的说法有________（填号即可）．②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是两点确定一条直线；②利用整体代换的思想可以求出代数式的值；③根据倒数的定义举出反例即可；④直线上ABC 三点的位置关系要画图分情况讨论【详解】①用两个钉子可解析：②【分析】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”；②利用“整体代换”的思想，可以求出代数式的值；③根据倒数的定义，举出反例即可；④直线上A 、B 、C 三点的位置关系，要画图，分情况讨论．【详解】①用两个钉子可以把木条固定的依据是“两点确定一条直线”，故①错误；②∵2210m m +-=，∴()2242522172077m m m m ++=+-+=⨯+=，故②正确；③∵a ＞b ，取a=1，b=－1， ∴11a =，11b=-，11a b >，故③错误； ④当点C 位于线段AB 上时，AC=AB －BC=5－2=3cm ；当点C 位于线段AB 的延长线上时，AC=AB+BC=5+2=7cm ，则AC 的长为3cm 或7cm ，故④错误；综上可知，答案为：②．【点睛】本题考查了两点确定一条直线、整体代换思想、求代数式的值、倒数的有关计算及数形结合法求线段的长度，综合性较强，需要学生熟练掌握相关的知识点．19．若210a a +-=，则43222016a a a a +--+的值为______．【分析】原式变形为由已知得到整体代入即可求解【详解】已知得：故答案为：【点睛】本题考查了代数式求值熟练掌握整体代入法是解题的关键解析：2015【分析】原式变形为()22222016aa a a a +--+，由已知得到21a a +=，整体代入即可求解．【详解】已知得：21a a +=， 43222016a a a a +--+()22222016a a a a a =+--+2222016a a a =--+ ()22016a a =-++ 12016=-+2015=．故答案为：2015．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．20．设（2a+3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+A ，则A ＝__________24ab 【分析】由完全平方公式（a±b ）2＝a2±2ab+b2得到（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab 据此可以作出判断【详解】解：∵（2a+3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+4×2a×3b ＝（2a ﹣3b ）2解析：24ab【分析】由完全平方公式（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2，得到（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ，据此可以作出判断．【详解】解：∵（2a +3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+4×2a ×3b ＝（2a ﹣3b ）2+24ab ，（2a +3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+A ，∴A ＝24ab ．故答案为：24ab ．【点睛】本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a ﹣b ）2与（a +b ）2展开式中区别就在于2ab 项的符号上，通过加上或者减去4ab 可相互变形得到．三、解答题21．（1）计算：()()()()23232121a a a a a -++-+-（2）分解因式：244xy xy x -+ 解析：（1）10；（2）()22x y -【分析】（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；（2）先提取x ，再根据完全平方公式即可因式分解．【详解】（1）解：原式222366941a a a a a =-+++-+ 10=()2解：原式()244x y y =-+()22x y =-．【点睛】此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．22．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系；（2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =，试求x y +的值；（3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．解析：（1）()()224a b a b ab +--=；（2）6x y +=±；（3）-15．【分析】（1）由长方形的面积公式解得图1的面积，图2中白色部分面积为大正方形面积与小正方形面积的差，又由图1与图2中的空白面积相等，据此列式解题；（2）由（1）中结论可得()()224x y x y xy +--=，将5x y -=，114xy =整体代入，结合平方根性质解题；（3）将()2019m -与()2021m -视为一个整体，结合（1）中公式，及平方的性质解题即可．【详解】解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为()()()()2222a b b a a b a b +--=+--∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等 ∴()()224a b a b ab +--=（2）根据（1）中的结论，可知()()224x y x y xy +--= ∵5x y -=，114xy =∴()2211544x y +-=⨯ ∴()236x y +=∴6x y +=±（3）∵()()201920212m m -+-=- ∴()()2201920214m m -+-=⎡⎤⎣⎦∴()()()()22201922019202120214m m m m -+--+-=∵()()222019202134m m -+-=∴()()22019202143430m m --=-=- ∴()()2019202115m m --=-．【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．23．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如22926a b a b --+，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：()()2222926926a b a b a b a b --+=---()()()3323a b a b a b =+---()()332a b a b =-+-．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：22222x xy y x y -+-+；（2）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足220a bc b ac +--=，判断ABC 的形状并说明理由．解析：（1）()()2x y x y ---；（2）ABC 为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）前三项符合完全平方公式，最后一项用提公因式法进行分解因式，最后再提公因式（x-y ）即可．（2）通过因式分解22a bc b ac +--()()0a b a b c =-+-=，因为0a b c +->，所以得0a b -=，则a b =，那么ABC 为等腰三角形．【详解】解：（1）原式()()22222x xy yx y =-+--()()22x y x y =---()()2x y x y =---．（2）结论：ABC 为等腰三角形理由：∵22a bc b ac +--()()22a b ac bc =---()()()a b a b c a b =+--- ()()a b a b c =-+-0=又∵0a b c +-> ∴0a b -= ∴a b =∴ABC 为等腰三角形．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．24．如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为acm 的大正方形，两块是边长都为bcm 的小正方形，五块是长、宽分别是acm bcm 、的全等小长方形，且a b >．（1）用含a b 、的代数式表示切痕的总长为_ cm ；（2）若每块小长方形的面积为212cm ，四块正方形的面积和为280cm ，试求+a b 的值．解析：（1）()66a b +；（2）8 【分析】（1）根据切痕长有两横两纵列出算式，再根据合并同类项法则整理即可；（2）根据小矩形的面积和正方形的面积列出算式，再利用完全平方公式整理求出a+b 的值，即可得到结论．【详解】解：（1）切痕总长=2[（b+2a ）+（2b+a ）]， =6a+6b ；故答案为：()66a b +；（2）依题意得，222280,12a b ab +==，2240,a b ∴+=()2222,a b a ab b +=++()24021264a b ∴+=+⨯=， 0,a b +>8a b +=．【点睛】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形周长和面积展开分析．25．把一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m ，n 的代数式表示）．方法1：______________________________．方法2：______________________________．（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式()2m n +，()2m n -，mn 间的等量关系：________（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数x ，y 满足6xy =，5x y -=，请求出x y +的值．解析：（1）方法1：()24m n mn +-，方法2：()2m n -；（2）()()224m n m n mn -=+-；（3）7x y +=【分析】（1）由题意知，阴影部分为一正方形，其边长正好为m ﹣n ．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得：（2）大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积．（3）（x +y ）2正好表示大正方形的面积，（x ﹣y ）2正好表示阴影部分小正方形的面积，xy 正好表示一个小长方形的面积．根据（2）中的等式代入计算即可．【详解】解：（1）()24m n mn +-；()2m n -．（2）()()224m n m n mn -=+-．（3）∵()()224x y x x y y +=-+，5x y -=，6xy =， ∴()2254649x y +=+⨯=，∴7x y +=．【点睛】本题考查了完全平方式和整式的混合运算，主要考查学生的理解能力和计算能力． 26．在通常的日历牌上，可以看到一些数所满足的规律，表①是2020年12月份的日历牌．28 29 30 31（表①）（1）在表①中，我们选择用如表②那样22⨯的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．如：用正方形框圈出3,4,10,11四个数，然后将它们交叉相乘，再相减，即3114107⨯-⨯=-或4103117⨯-⨯=．请你用表②的正方形框任意圈出22⨯个数，将它们先交叉相乘，再相减．列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)．（2）在用表②的正方形框任意圈出的22⨯个数中，将它们先交叉相乘，再相减．若设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字，列出算式并算出结果（选择其中一个算式即可)．（3）若选择用表③那样33⨯的正方形方框任意圈出33⨯个数，将正方形方框四角．．．．位置上的4个数先交叉相乘，再相减，你发现了什么．选择一种情况说明理由．解析：（1）91710167⨯-⨯=-或10169177⨯-⨯=，（2）+1n ,n+7，n+8，()()()+178n n n n +-+，7，或()()()8+17n n n n +-+，-7；（3）1×17-3×15=-28或3×15-1×17=28，发现：它们最后得结果是28或-28，n ，+2n ，n+14，n+16，()()()+21416n n n n +-+，28，()()()16+214n n n n +-+，-28，它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28．【分析】（1）先画出选出的各数，再计算即可；（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+1n+7n+8n ，，,列出算式()()()+178n n n n +-+或()()()8+17n n n n +-+，求出即可；（3）先圈出各个数，列出算式，设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，，列出算式，求出即可．【详解】（1）圈出的数如图，9,10；16,17，91710161531607⨯-⨯=-=-或10169171601537⨯-⨯=-=，（2）设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为，+1n+7n+8n ，，,()()()+178n n n n +-+，=22878n n n n ++--， =7，或()()()8+17n n n n +-+， =22887n n n n +---， =-7；（3）圈出的数为1,2,3；8,9,10；15,16,17四角数位1,3,15,17 1×17-3×15=17-45=-28或3×15-1×17=35-17=28，发现：它们最后得结果是28或-28，理由是：设设左上角的数字为n ，用含n 的代数式表示其它三个位置的数字分别为+2n+14n+16n ，，,()()()+21416n n n n +-+，=22162816n n n n ++--， =28，()()()16+214n n n n +-+，=22161628n n n n +---， =-28．结论：它们的结果与n 的值无关，最终结果保持不变，值是28或-28．【点睛】本题考查整式的混合运算的应用，掌握整式的混合运算法则，能理解题意，会按要求列式是解题关键，培养阅读能力和计算能力． 27．阅读下列各式：222333444(),(),()a b a b a b a b a b a b ⋅=⋅=⋅=回答下列三个问题：①验证：100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭_________，100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭___________；②通过上述验证，归纳得出：()n a b ⋅=_________；()n a b c ⋅⋅=________； ③请应用上述性质计算：201920182017(0.125)24-⨯⨯ 解析：①1,1； ②n n a b ，n n n a b c ； ③-132. 【分析】①把问题分别转化为1001和100100100122⨯处理即可； ②将猜到规律推广到n 次方和三个因数情形即可；③把2019(-0.125)和20182分别变形为20172(-0.125)(-0.125)⨯和20172⨯2就可逆用上述规律计算即可.【详解】①∵1001001212⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭=1， ∴100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1；∵100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1001001001212⨯=， ∴100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1，故依次填1,1；②∵100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1，100100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭1，∴100122⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭100100122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，由此可得：()na b ⋅=n n a b ；()na b c ⋅⋅=n n n a b c ；故依次填n n a b ，n n n a b c ；③ ∵2019(-0.125)=20172(-0.125)(-0.125)⨯，201822017=2⨯2， ∴201920182017(0.125)24-⨯⨯=20172(-0.125)(-0.125)⨯20172⨯⨯2×20174 =20172(-0.12524)(-0.125)2⨯⨯⨯⨯ =1-32. 【点睛】本题考查了规律的验证，猜想和应用，熟练逆用同底数幂的乘法公式和发现的规律是解题的关键. 28．因式分解：（1）4x 2y ﹣4xy +y ；（2）9a 2﹣4（a +b ）2．解析：（1）y （2x ﹣1）2；（2）（5a +2b ）（a ﹣2b ）【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式；（2）先利用平方差公式分解，再化简即可．【详解】解：（1）4x 2y ﹣4xy +y ＝y （4x 2﹣4x +1）＝y （2x ﹣1）2；（2）9a2﹣4（a+b）2＝[3a+2（a+b）][3a﹣2（a+b）]＝（5a+2b）（a﹣2b）．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。

人教版数学八上第22讲整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(提高)知识讲解

整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (mn ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, mn ，为正整数，并且m n >). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知25mx=，求6155m x -的值．【思路点拨】由于已知2mx 的值，所以逆用幂的乘方把6mx变为23()m x ，再代入计算．【答案与解析】解：∵25mx=，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)(带答案)

八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解知识点归纳总结(精华版)单选题1、若(2020×2020×…×2020⏟ 共2020个)×(2020+2020+⋯+2020⏟ 共2020个)=2020n ，则n ＝（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019 答案：A分析：2020个2020相乘，可以写成20202020，2020个2020相加，可以写成2020×2020=20202，计算即可得到答案．∵2020×2020×⋯×2020=20202020⏟ 2020，2020+2020+⋯+2020⏟ 2020=2020×2020=20202，∴原式左边=20202020×20202=20202022，即2020n =20202022， ∴n =2022．故选：A ．小提示：本题考查了乘方的意义，以及同底数幂的乘法运算．注意：求n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．2、如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为（）A ．ad +bcB ．ad +c (b −d )C ．ab −cdD ．c (b −d )+d (a −c ) 答案：B分析：把阶梯型的图形看成是两个长方形的面积之和或面积之差即可求解．解：S 阶梯型＝bc +（a ﹣c ）d 或S 阶梯型＝ab ﹣（a ﹣c ）（b ﹣d ）或S 阶梯型＝ad +c （b ﹣d ），故选：B ．小提示：本题主要考查列代数式，整式的混合运算，解答的关键是把所求的面积看作是两个长方形的面积之和或面积之差．3、将多项式x ﹣x3因式分解正确的是（）A ．x （x2﹣1）B ．x （1﹣x2）C ．x （x+1）（x ﹣1）D ．x （1+x ）（1﹣x ）答案：D分析：直接提取公因式x ，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案． x ﹣x 3=x （1﹣x 2） =x （1﹣x ）（1+x ）．故选D ．小提示：本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键． 4、已知、为实数，且√a −12+ b 2+4＝4b ，则a 2015•b 2016的值是（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2答案：C分析：已知等式整理后，利用非负数的性质求出与的值，利用同底数幂的乘法及积的乘方运算法则变形后，代入计算即可求出值．已知等式整理得：√a −12+ (b −2)2＝0，∴a =12，b ＝2，即ab ＝1，则原式＝(ab)2015•b故选：C．小提示：本题考查了实数的非负性，同底数幂的乘法，积的乘方，活用实数的非负性，确定字母的值，逆用同底数幂的乘法，积的乘方，进行巧妙的算式变形，是解题的关键．5、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算空白部分的面积，其面积是（）A．bc−ab+ac+c2B．ab−bc−ac+c2C．a2+ab+bc−ac D．b2+bc+a2−ab答案：B分析：矩形面积减去阴影部分面积，求出空白部分面积即可．空白部分的面积为(a−c)(b−c)=ab−ac−bc+c2．故选B．小提示：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入m的值为2，则最后输出的结果y是（）A．2B．3C．4D．8答案：D分析：把m=2代入运算程序中计算，如小于或等于7则把其结果再代入运算程序中计算，如大于7则直接输出结果．解：当m=2时，=22-1=3＜7，当m=3时，m2-1=32-1=8＞7，则y=8．故选：D．小提示：此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清题中的运算程序是解本题的关键．7、2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A．8B．6C．2D．0答案：D分析：先将2变形为(3−1)，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∴332−1的个位数字为0，∴2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故选：D．小提示：本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．8、若x2+ax＝（x+1）2+b，则a，b的值为（）2A ．a ＝1，b ＝14B ．a ＝1，b ＝﹣14C ．a ＝2，b ＝12D ．a ＝0，b ＝﹣12 答案：B分析：根据完全平方公式把等式右边部分展开，再比较各项系数，即可求解．解：∵x 2+ax ＝（x +12）2+b =x 2+x +14+b ，∴a =1，14+b =0，∴a ＝1，b ＝﹣14，故选B ．小提示：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．9、如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a 的正方形卡片4张，边长为b 的正方形卡片1张，长，宽分别为a ，b 的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为( )A ．2a+bB ．4a+bC ．a+2bD ．a+3b 答案：A分析：4张边长为a 的正方形卡片的面积为4a 2，4张边长分别为a 、b 的矩形卡片的面积为4ab ，1张边长为b 的正方形卡片面积为b 2，9张卡片拼成一个正方形的总面积=4a 2+4ab+b 2=(2a+b)2，所以该正方形的边长为：2a+b ．设拼成后大正方形的边长为x ， ∴4a 2+4ab+b 2=x 2，∴(2a+b)2=x 2，∴该正方形的边长为：2a+b. 故选A.小提示：本题主要考查了完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 10、下列计算正确的是（）A ．m +m =m 2B ．2(m −n )=2m −nC ．(m +2n)2=m 2+4n 2D ．(m +3)(m −3)=m 2−9 答案：D分析：根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定．解：A.m +m =2m ，故该选项错误，不符合题意； B.2(m −n )=2m −2n ，故该选项错误，不符合题意； C.(m +2n)2=m 2+4mn +4n 2，故该选项错误，不符合题意； D.(m +3)(m −3)=m 2−9，故该选项正确，符合题意；故选：D ．小提示：本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．填空题11、阅读下面材料：一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c ，abc ，a 2+b 2，…含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是a+b 和ab ，像a 2+b 2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b ，ab 表示，例如：a 2+b 2＝（a+b ）2﹣2ab ．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是_______（填序号）；（2）已知（x+a ）（x+b ）＝x 2+mx+n ． ①若m =−2,n =12，求对称式ba +ab 的值； ②若n ＝﹣4，直接写出对称式a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．答案：（1）①③；（2）①b a +ab ＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．分析：（1）根据对称式的定义进行判断；（2）①先得到a+b ＝﹣2，ab ＝12，再变形得到b a +ab ＝a 2+b 2ab ＝(a+b)2−2abab，然后利用整体代入的方法计算；②根据分式的性质变形得到a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2，再利用完全平方公式变形得到（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2，所以原式=1716m 2+172，然后根据非负数的性质可确定a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值．解：（1）式子①a 2b 2②a 2﹣b 2③1a+1b中，属于对称式的是 ①③．故答案为①③；（2）∵x 2+（a+b ）x+ab ＝x 2+mx+n ∴a+b ＝m ，ab ＝n ． ①a+b ＝﹣2，ab ＝12，b a+ab ＝a 2+b 2ab＝(a+b)2−2abab＝(−2)2−2×1212＝6；②a 4+1a 2+b 4+1b 2＝a 2+1a 2+b 2+1b 2＝（a+b ）2﹣2ab+(a+b)2−2aba 2b 2＝m 2+8+m 2+816＝1716m 2+172， ∵1716m 2≥0， ∴a 4+1a 2+b 4+1b 2的最小值为172．小提示：本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．12、平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(m ，3)．若将点A 先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B(1，n)，则m +n =_______．答案：3分析：先写出点A 向下平移2个单位后的坐标，再写出向左平移1个单位后的坐标．即可求出m 、n ，最后代入m +n 即可．点A 向下平移2个单位后的坐标为(m ，3−2)，即(m ，1)．再向左平移1个单位后的坐标为(m −1，1)．∴{m−1=11=n ，即{m=2n=1．∴m+n=2+1=3．所以答案是：3．小提示：本题考查坐标的平移变换以及代数式求值．根据坐标的平移变换求出m、n的值是解答本题的关键．13、若a+b=1，则a2−b2+2b−2=________．答案：-1分析：将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2，再将a+b=1代入求值即可.解：a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2将a+b=1代入，原式=a−b+2b−2=a+b−2=1-2=-1所以答案是：-1.小提示：本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为(a+b)(a−b)+2b−2.14、已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为__________．答案：8分析：根据平方差公式直接计算即可求解．解：∵a+b=4，a−b=2，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8所以答案是：8小提示：本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．15、若a2−b2=−116，a+b=−14，则a−b的值为______．答案：14分析：由平方差公式进行因式分解，再代入计算，即可得到答案．解：∵a2−b2=(a+b)(a−b)=−116，∵a+b=−14，∴a−b=−116÷(−14)=14．故答案是：14．小提示：本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．解答题16、分解因式：2x3−2x2y+8y−8x答案：2(x−y)(x−2)(x+2)分析：先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．解：2x3−2x2y+8y−8x=2x2(x−y)+8(y−x)=2x2(x−y)−8(x−y)=2(x−y)(x2−4)=2(x−y)(x−2)(x+2)．小提示：此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．17、小邢同学在计算(x+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，算的结果为x2+3x−18，而且小颖同学在计算(x+a)(x+b)时将“+a”看成了“−a”，算的结果为x2−x−12．(1)求出a、b的值；(2)计算出(x+a)(x+b)的正确结果，答案：(1)a＝-3，b＝-4(2)x2-7x+12分析：（1）根据题意得出（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2-x﹣12，得出6+a＝3，﹣a+b＝-1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．（1）根据题意得：（x+a）（x+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+3x-18，（x﹣a）（x+b）＝x2+（﹣a+b）x﹣ab＝x2−x−12，所以6+a＝3，﹣a+b＝-1，解得：a＝-3，b＝-4；（2）当a＝-3，b＝-4时，（x+a）（x+b）＝（x-3）（x-4）＝x2-7x+12．小提示：本题考查了多项式乘以多项式法则和解方程，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．18、我们知道形如x2+(a+b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x+a)(x+b)，所以x2+6x−7=x2+ [7+(−1)]x+7×(−1)=(x+7)[x+(−1)]=(x+7)(x−1)．但小白在学习中发现，对于x2+6x−7还可以使用以下方法分解因式．x2+6x−7=x2+6x+9−7−9=(x+3)2−16=(x+3)2−42=(x+3+4)(x+3−4)=(x+7)(x−1)．这种在二次三项式x2+6x−7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．（1）请使用小白发现的方法把x2−8x+7分解因式；（2）填空：x2−10xy+9y2=x2−10xy+________+9y2−________=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(________)2=[(x−5y)+________][(x−5y)−________]=(x−y)(x−________)；（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx−13m2．答案：（1）(x−1)(x−7)；（2）25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）(x+13m)(x−m)分析：（1）在x2−8x+7上加16减去16，仿照小白的解法解答；（2）在原多项式上加25y2再减去25y2，仿照小白的解法解答；（3）将−13m2分解为13m与（-m）的乘积，仿照例题解答；在原多项式上加36m2再减去36m2仿照小白的解法解答．（1）解：x2−8x+7=x2−8x+16+7−16=(x−4)2−9=(x−4)2−32=(x−4+3)(x−4−3)=(x−1)(x−7)；（2）解：x2−10xy+9y2=x2−10xy+25y2+9y2−25y2=(x−5y)2−16y2=(x−5y)2−(4y)2=[(x−5y)+4y][(x−5y)−4y]=（x-y）（x-9y）所以答案是：25y2；25y2；4y；4y；4y；9y；（3）解法1：原式=x2+[13m+(−m)]x+13m⋅(−m)=(x+13m)(x−m)．解法2：原式=x2+12mx+36m2−13m2−36m2=(x+6m)2−49m2=[(x+6m)+7m][(x+6m)−7m]=(x+13m)(x−m)．小提示：此题考查多项式的因式分解，读懂例题及小白的解法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解题的关键．。

八年级上册数学整式乘除知识点和典型习题分类汇总附答案

参考答案
1、（1）；（2）
2、（1）；（2）
3、
【多项式与多项式相乘】
1、计算：
（1）
（2）
（3）
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
3、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、计算：
（1）
（2）
参考答案
1、（1）；（2）；（4）
【单项式与单项式相除】
1、计算：
（1）
（2）
2、计算：
第10讲整式乘除
基本知识（熟记，一定要结合实例理解，要提问．）
1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式与单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
基本计算训练
【单项式与单项式相乘】
1、计算：
（1）
（2）
2、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
3、下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）
（2）
3、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
4、计算：
（1）
（2）
（3）
（4）

初中数学人教版八年级上册：第14章《整式的乘除与因式分解》全章教案(22页)

初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。

(完整版)八年级上册数学数与代数专题期末复习讲义

期末复习复习（二）—代数学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容整式的乘除，分式课型教学目标1.会运用法则、乘法公式进行整式的乘除运算．2.通过对提公因式法和公式法的教学，让学生灵活地解决因式分解的题目/．3.掌握分式的基本运算，熟练解决分式的应用。

重、难点整式的乘法运算；因式分解；分式知识导图导学一整式的乘除知识点讲解 1：幂的运算例 1. 下列算式中：① (a3)3＝a6；②[(x2)2]3＝x12；③y·(y2)2＝y5；④[(－x)3]4＝－x12，其中正确的有．例 2. 计算：(1)－ab2(3a2b－abc－1) (2)(－5ab2x)·(－a2bx3y)例 3. 已知3x＋5y＝8，求8x·32y的值．我爱展示1. 计算：（1）（2）2. 已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式。

3. 当时，= .4. 已知,则的值为.5. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015的值．解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22015，将等式两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+22013+22016将下式减去上式得2S﹣S=22016﹣1即S=22016﹣1即1+2+22+23+24+…+22015=22016﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．知识点讲解 2：乘法公式例 1. [单选题] 下列计算正确的是（）A． B.C. D.例 2. 计算：（1） (2)(3) (4)例 3. 化简求值：，其中.我爱展示1. [单选题] 计算的结果正确的是（）A． B. C. D.2. [单选题] 若，，则的值为（）A. B. C.1 D.23. [单选题] 有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．a+2b D．3a+b4. ，则.5. [单选题] 已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2＝ ( )A.10B.6C.5D.36. 已知，则= ．7. 先化简，再求值：（1）其中.(2) ，其中.知识点讲解 3：因式分解例 1. [单选题] 下列因式分解正确的是（）A. B.C. D.例 2. [单选题] 把多项式分解因式的结果是（）A. B. C. D.例 3. 已知长方形的周长为20，相邻两边长分别为（均为整数）,且满足,求的值.我爱展示1.若，，则代数式的值是．2.分解因式：（1）（2）(3) 3. 先化简，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值．4. [单选题] 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.a(x－y)＝ax－ayB.x2－1＝(x＋1)(x－1)C.(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋15. [单选题] 可利用x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)分解因式的是 ( )A.x2－3x＋2B.3x2－2x＋1C.x2＋x＋1D.3x2＋5x＋7导学二分式知识点讲解 1：分式的基本概念例 1. [单选题] 分式的值等于0时，x的值为（）A．±2B．2 C．－2 D.我爱展示1.[单选题] 要使的值为0，则m的值为（）A．3 B．－3 C．±3D．不存在2.当时，分式有意义.3. [单选题] 下列式子：，，，，，b，其中是分式的个数有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个知识点讲解 2：分式的运算例 1. [单选题] 下列运算正确的是（）A. B. C. D.例 2. 计算：（1）（2）例 3. 计算：（1）我爱展示1. [单选题] 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值（）A．扩大为原来的10倍B．扩大为原来的5倍C．缩小为原来的D．不变2. 先化简，再求值：(1－)÷－，其中x满足x2－x－1＝0.3.先化简：÷(－ )，再从－2＜x＜3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值．4.先化简，在求值：，其中.5.[单选题] 已知为实数，且，设，则M、N的大小关系是（）.A.M=NB.M>NC.M<ND.不确定知识点讲解 3：分式方程的解及解法例 1. [单选题] 把方程去分母正确的是( )A. B.C. D.例 2. [单选题] 解分式方程分以下四步，其中错误的一步是( )A. 方程两边分式的最简公分母是B. 方程两边都乘以，得整式方程C. 解这个整式方程，得D. 原方程的解为例 3. [单选题] 若关于x的分式方程－1＝无解，则m的值为（）A．－B．1 C．－或2 D．－或－例 4. 已知关于x的分式方程＝1的解为负数，求a的取值范围．我爱展示1.[单选题] 关于x的方程的解为,则a的值为（）A.1B.3C.-1D.-32.[单选题] 若关于x的分式方程＝2－的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，33.已知关于x的分式方程－＝0无解，求a的值．4.若有增根，则增根是，k= .5.若分式无意义，当时，则m= .知识点讲解 4：分式方程的实际应用例 1. 某文化用品商店用2000元购进一批小学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果第二批用了2600元.若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？例 2. 王师傅检修一条长600米的自来水管道,计划用若干小时完成,在实际检修过程中,每小时检修管道长度是原计划的1.2倍,结果提前2小时完成任务,王师傅原计划每小时检修管道多少米?我爱展示1.[单选题] 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4 800元，第二次捐款总额为5 000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x满足的方程是（）A. B. C. D.2.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？ (2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3.[单选题] 完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．A. 小时B. 小时C. 小时D. 小时4.一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v千米/时，则它以最大航速顺流航行s 千米所需的时间是．5.甲、乙两地相距50km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．导学三专题培优知识点讲解 1：乘法公式的灵活运用例 1. 用简便方法计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－1.例 2. 如果a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．例 3. 已知(m－53)(m－47)＝24，求(m－53)2＋(m－47)2的值例 4. 对于任意一个正整数n，整式A=（4n+1）（4n-1）-（n+1）（n-1）能被15整除吗？请说明理由.我爱展示1. 计算：（1）(a＋b)3 （2）(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)2. 已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝16，求xy的值.3.已知求的值.4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的和与差的乘积，那么我们就称这个正整数为“和谐数”，如4=（2+0）（2-0），12=（4+2）（4-2），20=（6+4）（6-4），因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.（1）当28=（m+n）(m-n)时，m+n= ；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？知识点讲解 2：因式分解的应用例 1. [单选题] 计算：.例 2. △ABC的三边长分别为，且，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？说明理由.例 3. 如果是整数，且,求的值.我爱展示1.已知可因式分解成,其中均为整数，求的值.2.不解方程组，求的值.3.已知为△ABC的三角边的长，试判断代数式的值的符号，并说明理由4.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成4个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中阴影部分的面积为；(2)观察图2，请你写出式子(m＋n) 2，(m－n) 2，mn之间的等量关系：； (3)若x＋y＝－6，xy＝2.75，则x－y＝； (4)实际上有许多恒等式可以用图形的面积来表示，如图3，它表示等式：．5.某商业大楼共有四层，第一层有商品种，第二层有商品种，第三层有商品种，第四层有商品种，若，则这座商业大楼共有商品多少种？知识点讲解 3：分式的条件求值例 1. 已知＋＝3，求的值．【学有所获】归一代入法：将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含相同字母积的分式，便可约分求值．例 2. 已知a2－a＋1＝2，求＋a－a2的值．【学有所获】整体代入法：将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值．例 3. 已知＝＝，求的值．【学有所获】设辅助元代入法：在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数k，往往立即可解．例 4. 已知m2＋＝4，求m＋和m－的值．【学有所获】构造互倒式代入法：构造x2＋＝(x± )2∓2迅速求解，收到事半功倍之效．例 5. 已知3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求的值．【学有所获】主元法：若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰、解法简洁．例 6. 已知x＋＝3，求的值．【学有所获】倒数法：已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分，然后将三个已知式相加，这样解非常简捷．我爱展示1.已知－＝5，求的值．2. 已知a＋b＋c＝0，求c( ＋ )＋b( ＋ )＋a( ＋ )的值．3. 已知＝＝≠0，则的值为.4. 已知三个数x、y、z满足＝－2，＝，＝－ .求的值．5. 若4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0(xyz≠0)，求代数式的值．6. 已知，求式子的值.6.已知，求的值.限时考场模拟______ 分钟完成1. [单选题] 若9x2－kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值（）A．6 B．±6C．12 D．±122.在横线填上“+”或“－”，使等式成立:（1）(y－x)2= (x－y)2; （2）(1－x)(2－x)= (x－1)(x－2)3.[单选题] 下列关于x的方程中,是分式方程的是( )A. B. C. D.3x-2y=14. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是．5.[单选题] 每千克m元的糖果x千克与每千克n元的糖果y千克混合成杂拌糖，则这种杂拌糖每千克的价格为（） A．元B．元C．元D．元6.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ac=0，试判断△ABC的形状，并说明理由。

人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件

不是完全平方式，不能进行分解
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36

八年级数学上册整式的乘除(讲义及答案)

2. ① 2ab (5ab2 3a2b) _______________2 ab
1 ab
____________________；
3
2
③ ( 2a)
13 a
1
_________________；
4
④ ( x2 2 y) (xy2 )2 ________________________；_
⑤ 8(a b)4
4 (a
b)3
___________；
3
⑥ (2x2 y) 3 ( 7 xy2) 14x4 y3 ．
6. ① (4x5 6x3) ( 2x2) _____________；
② 3x2 y
xy 2
1 xy
2
1 xy
_______________；
2
③ 2 ab2 4a 3b4 6a4b3 3
4. 计算： ① 5x 6x(1 3x x2 ) ；
②10x2 (2 x 3)(4x 2) ．
5. ① a2b2c 1 ab _____；② ( 3m3n5) ( 0.5m3n2) ______； 2
③ ( 2xy)6 ( xy)2 ______；④ ( 2a2b)2 (_______) 2a ；
整式的乘除（讲义）
课前预习
1. 整式的分类：
定义：数字与字母的乘积组成的代数式
单项式系数：单项式前面的 _________
整式
次数：所有字母的 ________ 定义：几个单项式的和
_______ 项：组成多项式的每个单项式
次数： ___________项的次数
2. _______________________________________________叫_做同类项；把同类项合并成一项叫做合并同类项；合并同类项时， _______________________________________________．_

初二数学上册讲义(第五章整式的乘除)

第五章整式的乘除一、幂的运算1.同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+∙+同底数幂的乘法法则可以逆用：即n m n m p a a a a ∙==+如：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅==+++434352526617x x x x x x x x x x【例题分析】1、()()________45=-∙-x y y x2、若a m ＝2，a n ＝3，则a m+n =3、若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= .【同类练习】1. ()()()=-⋅-⋅-232x y x y y x2. 若,35,25==n m 那么35++n m 的值为。

3.已知x m －n ·x 2n+1=x 11，且y m －1·y 4－n =y 7，则m =____，n =____.4. 若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。

2.幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn p a a a a )()(=== 如：23326)4()4(4==【例题分析】1.若2,x a =则3x a =2.计算()[]()[]mnx y y x 2322--=3. 已知63m =，29=n ，求1423++n m 的值。

【同类练习】1.若32=n a ，则n a 6= .2.设4x =8y−1,且9y =27x−1,则x-y 等于。

3. 若,512=+n a 求36+n a 的值。

3.积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。

积的乘方等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙- 积的乘方法则可以逆用：即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=,为奇数，1为偶数，11)1(1,11)1(1常见：,n n a a a a a a a a ab b a nnn n n n nn n nn 【例题分析】 1. 计算：()[]()()[]43p pm n n m m n -⋅-⋅-2. 已知332=-b a ，求96b a 的值为 3. 若13310052+++=⨯x x x ，求x 的值。

人教版八年级数学上册第14章整式的乘除与因式分解专训：运用幂的运算法则巧计算的常见类型(含答案)

名师点金：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法等运算是整式乘除运算的基础，同底数幂的除法和整式的除法分别是同底数幂的乘法和整式的乘法的逆运算，要熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的运算法则，并能利用这些法则解决有关问题．运用同底数幂的乘法法则计算题型1：底数是单项式的同底数幂的乘法1．计算：(1)a2·a3·a；(2)－a2·a5；(3)a4·(－a)5.题型2：底数是多项式的同底数幂的乘法2．计算：(1)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；(2)(a－b)3·(b－a)4；(3)(x－y)3·(y－x)5.题型3：同底数幂的乘法法则的逆用3．(1)已知2m＝32，2n＝4，求2m＋n的值．运用幂的乘方法则计算直接运用法则求字母的值题型1：4．已知273×94＝3x ，求x 的值．逆用法则求字母式子的值题型2：5．已知10a ＝2，10b ＝3，求103a ＋b 的值．运用幂的乘方解方程题型3：6．解方程：＝.(34)x －1(916)2 运用积的乘方法则进行计算逆用积的乘方法则计算题型1：7．用简便方法计算：(1)×0.255××(－4)5； (2)0.1252 015×(－82 016)．(－125)8(57)8运用积的乘方求字母式子的值题型2：8．若|a n |＝，|b |n ＝3，求(ab )4n 的值．12 运用同底数幂的除法法则进行计算运用同底数幂的除法法则计算题型1：9．计算：(1)x 10÷x 4÷x 4； (2)(－x )7÷x 2÷(－x )3；(3)(m －n )8÷(n －m )3.运用同底数幂的除法求字母的值题型2：10．已知(x －1)x 2÷(x －1)＝1，求x 的值．(2)(a －b )3·(b －a )4＝(a －b )3·(a －b )4＝(a －b )7.(3)(x －y )3·(y －x )5＝(x －y )3·[－(x －y )5]＝－(x －y )8.3．解：(1)2m ＋n ＝2m ·2n ＝32×4＝128.(2)2x ＋3＝2x ·23＝8·2x ＝8×64＝512.4．解：273×94＝(33)3×(32)4＝39×38＝317＝3x ，所以x ＝17.5．解：103a ＋b ＝103a ·10b ＝(10a )3·10b ＝23×3＝24.6．解：由原方程得＝，(34)x －1 [(34)2 ]2 所以＝，(34)x －1(34)4 所以x －1＝4，解得x ＝5.7．解：(1)原式＝×××(－4)5(－75)8 (14)5 (57)8 ＝×[×(－4)5][(－75)8 ×(57)8 ](14)5 ＝×(－75×57)8[14×（－4）]5＝1×(－1)＝－1.(2)原式＝×(－82 015×8)(18)2 015＝×(－82 015)×8(18)2 015＝－×8(18×8)2 015 ＝－1×8＝－8.8．解：∵|a n |＝，|b |n ＝3，12∴a n ＝±，b n ＝±3.12(1)181分三种情况：①因为任何不等于0的数的0次幂都等于1，所以，当x2－1＝0且x－1≠0时，(x－1) x2－1＝1，此时x＝－1.②因为1的任何次幂都等于1，所以，当x－1＝1时，(x－1)x2－1＝1，此时x＝2.③因为－1的偶数次幂等于1，所以，当x－1＝－1且x2－1为偶数时，(x－1)x2－1＝1.此种情况无解．综上所述，x的值为－1或2.。

人教版八年级数学上册：整式的乘除及几何表示(讲义及答案)

整式的乘除及几何表示（讲义）课前预习1. 整式乘除运算法则：单×单：_______乘以________，_________乘以________．单×多：根据________________，转化为单×单．多×多：握手原则．单÷单：__________________，__________________．多÷单：借用________________________．2. 两大公式：平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．口诀：_________________________．3. 动手操作：画出一个边长为(a +b )的正方形（a >0，b >0），则它的面积是________；再画两个正方形，他们的边长分别为a ，b ，则这两个正方形的面积之和为________；剪下来拼一拼，由此可以得到222()_____a b a b ++（填“>”，“<”或“≠”）．知识点睛符号问题：乘方看奇偶，公式辨符号；去添括号看正负，整体处理加括号．公式的几何表示：①以两个多项式为边，构造长方形；②由面积关系可知，特定几何图形的个数与计算结果中的各项系数对应相等．精讲精练1. 计算下列各式：（1）323322()(2)3()()a a a a a a ⎡⎤⋅--⋅-+--÷-⎣⎦；（2）522323(2)(3)()(2)2a a a a a a ----+-⋅；（3）(2)(2)(2)y y x y x y x -⋅+-+-；（4）(32)(32)x y z x y z --++；（5）22(3)(32)m m n ---+；（6）(3)(3)(3)(3)m n m n m n m n -+---+；（7）222(2)()()2(2)a a b a b a b -----+--；（8）222()()()3()m m n m n m n m n ----+---．2. 计算下列各式：（1）22251(2)()(2)2a b ab b a b ⎛⎫-⋅-÷--- ⎪⎝⎭；（2）(23)(23)(32)(32)a b a b a b a b --+----；（3）332(32)()(2)(2)(2)a b ab ab a b a b a --÷-----+--；（4）2(2)(2)(2)(32)(32)x y x y x x y x y ---+--+--+．3. 计算下列各式：（1）2120112(3)23--⎛⎫⎛⎫-⨯π---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20162221(1)(3)3(2)(2)2---÷-+÷-⨯--．4. 请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积间的关系，便可验证一个等式，这个等式是______________________．5. 用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为(a +2b )的正方形，则需要A 类卡片______张，B 类卡片______张，C 类卡片______张． bb b aaa C 类B 类A 类6. 如图，正方形卡片A 类、C 类和长方形卡片B 类若干张，若要拼一个长为(a +2b )，宽为(a +b )的大长方形，则需要B 类卡片________张．请通过拼接的方法说明(a +2b )(a +b )的结果为_______________．bb b aaa C 类B 类A 类7. 请你用几何图形直观地解释22(3)9b b ．8. 试用直观的方法说明222(3)30a a a +≠+≠（）．9. 请用直观的方法说明22(3)(2)273a b a b a ab b ++=++．10. 请画出相应的几何图形，并根据几何图形直接写出(22)(2)a b c a b +++的计算结果．【参考答案】课前预习1. 系数，系数；字母，字母乘法分配律系数除以系数；字母除以字母乘法分配律2. 22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b +=++222()2a b a ab b -=-+首平方，尾平方，二倍乘积放中央 3. 2()a b +；22a b +；>精讲精练1. （1）528a （2）55a（3）2225x xy y -- （4）222944x y yz z --- （5）2124mn n -（6）2186m mn - （7）223a b -+（8）2244m n -+ 2. （1）510a b（2）2251213a ab b +- （3）2222a b -+（4）2212128x xy y --- 3. （1）72- （2）1324. 222(3)69a b a ab b +=++5. 1 4 46. 32232a ab b ++ 7. 略8. 略9. 略10. 图略，2225242a ab ac bc b ++++。

人教版八年级上册整式的乘除讲义

整式的乘除和灵活应用讲义知识点梳理：一.幂的运算法则：①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即：n m n m a a a +=⋅ （m 、n 为正整数）②幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即：n m n m a a ⋅=）（（m 、n 为正整数）③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即：n n n b a )b a (⋅=⋅ （n 为正整数）④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

⑤零指数幂的意义任何不等于0的数的0次幂都等于1。

1(0)a a =≠ ⑥负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n 是正整数)次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，1n n a a -=≠（a 0,n 是正整数）注意点：(1)底数a 不能为0，若a 为0，则除数为0，除法就没有意义了； (2)是法则的一部分，不要漏掉；（3）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1；常考题精讲：1. 下列各式计算正确的是（）()0,m n m n a a a a m n m n -÷=≠>、是正整数，且()0,a m n m n ≠>、是正整数，且（A ）()()2322623b a ab b a =-- （B ）()()5321021106102⨯-=⨯⨯⨯-.（C ）223222212b a b a b ab a --=⎪⎭⎫⎝⎛-- （D ）()6332b a ab -=-2. 若992213y x y x y x n n m m =⋅++-，则n m 43-的值为（）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）63. 若()()1532-+=++kx x m x x ，则m k +的值为（）（A ）7- （B ）5（C ）2-（D ）24.如图是长10cm ，宽6cm 的长方形，在四个角剪去4个边长为x cm 的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是（）（A ）()()x x 21026-- （B ）()()x x x --106 （C ）()()x x x 21026-- （ D ）()()x x x --10265. 若72)43)((2++=+-cx bx x b ax ，则()c b a -⨯+)(的值为（）（A ）36（B ）72（C ）108（D ）7206. 已知032=-+a a ，那么()42+a a 的值是（）（A ）9 （B ）12- （C ）15- （D ）18-7. 将（1）中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图（2）所示.根据这两个图形的面积关系，下列式子成立的是（）（A ）()()22b a b a b a -=-+（B ）()2222b a b ab a +=++（C ）()2222b a b ab a -=+- （D ）()222b a b a -=-8.若212=++a a ，则()()=+-a a 65 .9.观察下列等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，则第n 个等式可以表示为．10.已知()()q x x px x+-++3822展开后不含2x 与3x 的项，则=p ，=q ..11. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，得到的数是 .（用含m 的式子表示）12.已知()()()y x x x A 31112---+=，12-+-=xy x B ，且B A 63+的值与x 无关，求y 的值.灵活应用： 1.已知mn 2m 4n 136923-+==，，求的值．2.若2x ＝3，2y ＝6，2z ＝12，求x ，y ，z 之间的数量关系．3.已知10m ＝3，10n ＝2，求102m －n 的值．4.已知32m ＝6，9n ＝8，求36m －4n 的值．5.已知m2m+2n193=()3，求n的值．6.规律探索题（1）研究下列等式：①1×3+1=4=22;②2×4+1=9=32;③3×5+1=16=42;④4×6+1=25=52…你发现有什么规律？根据你的发现，找出表示第n个等式的公式并证明. 7.计算下列各式，你能发现什么规律吗？（x－1）（x+1）= .（x－1）（x2+x+1）= .（x－1）（x3+x2+x+1）= .（x－1）（x4+x3+x2+x+1）= .…（x－1）（x n+x n－1+…+x+1）= .9. 已知A=987654321×123456789，B=987654322×123456788.试比较A、B的大小.2.平方差公式和完全平方公式平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=-完全平方公式：22 ()2a b a ab b ±=±+即：222()2a b a ab b+=++，222()2a b a ab b-=-+.3.添括号法则乘法公式计算时，去括号法则，即()a b c a b c++=++；()a b c a b c-+=--.反过来，就得到添括号法则：()a b c a b c++=++；()a b c a b c--=-+.也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都_______符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都_______符号. 常考题精讲：1.计算2222(1)(1)(1)a a a+-+． 2.计算：24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++.3.先化简再求值计算224()4()()()m n m n m n m n+-+-+-的值，其中11,23m n==．4.若15aa+=，求221aa+的结果5. 若44225a b a b ++=，ab =2，求22a b +的值．6. 20142-4028×2015+201527.计算：（1）()()a b c a b c -+-- （2）(23)(23)x y x y +--+ （3）2(2)a b c +-8.巧算：22221111(1)(1)(1)(1)2342015----巩固练习：1．已知212m m a a -+⋅＝10a ，求m 的值． 2.已知：52,32==nm ，求n m +2的值3.333+m x可以写成（） A 、13=m xB 、33x xm+ C 、13+⨯m x x D 、333x x m ⨯4．已知3,2==n m a a ，则m n a + =( ) A 、5 B 、6 C 、8 D 、95.若 3=n x ，则=n x 3________. 6. 2×4n ×8n =26，则n=__________.7、计算=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-20052005532135 (-3)2008·(31)2009=_______,__________81)91(____,__________2.054710099=⨯-=⋅8. 比较大小：553、444、335 9. 已知3×9n=37，求n 的值．10.已知a 3n=5，b 2n=3，求a 6n b 4n的值． 11.已知2m=3，2n=6，则22m+n的值是多少12.已知105,106αβ==，求2310αβ+的值。

八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)

八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）；怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是：（3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加即可.

【人教版】八年级数学上册热点专题高分特训：第14章《整式的乘除》(含答案)

整式的乘除（人教版）一.单选题(共15道，每道6分)1.计算的结果是( )A. B. C. D.答案：A解题思路：单项式×单项式遵循的运算法则：系数乘以系数，字母乘以字母．，故选A．试题难度：三颗星知识点：单项式乘单项式2.下列运算正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：A选项应为，故A选项错误；B选项应为，故B选项错误；C选项，故C选项正确；D选项应为，故D选项错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方3.下列运算错误的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：单项式×单项式遵循的运算法则：系数乘以系数，字母乘以字母．B选项应为，故选B．试题难度：三颗星知识点：单项式乘单项式4.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：单项式×多项式：根据乘法分配律，转化为单×单，然后按照单项式×单项式的运算法则进行计算．，故选D．试题难度：三颗星知识点：单项式乘多项式5.若，则的值是( )A.－15B.15C.－3D.3 答案：C解题思路：单项式×多项式：根据乘法分配律，转化为单×单，然后按照单项式×单项式的运算法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：解一元一次方程6.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：单项式×多项式：根据乘法分配律，转化为单×单．然后按照单项式×单项式的运算法则进行计算．故选A．试题难度：三颗星知识点：合并同类项7.计算的结果是( )A. B. C.1 D.答案：B解题思路：单项式÷单项式遵循的运算法则：系数除以系数，字母除以字母．，故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的除法8.计算的结果是( )A. B. C. D.答案：C解题思路：单项式÷单项式遵循的运算法则：系数除以系数，字母除以字母．，故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的除法9.，括号里所填的代数式为( )A. B. C. D.答案：C解题思路：单项式÷单项式遵循的运算法则：系数除以系数，字母除以字母．设括号里的代数式为M，∴即括号里面的代数式为．故选C．试题难度：三颗星知识点：整式的除法10.计算的结果是( )A. B. C. D.答案：D解题思路：多项式×多项式遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．故选D．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式11.下列各式计算结果为的是( )A. B. C. D.答案：C解题思路：多项式×多项式遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．A选项，故A选项错误；B选项，故B选项错误；C选项，故C选项正确；D选项，故D选项错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式12.若的结果中不含的一次项，则的值是( )A.－2B.2C.－1D.任意数答案：A解题思路：多项式×多项式遵循握手原则，然后转化成单项式×单项式进行计算．∵的结果中不含x的一次项∴∴故选A．试题难度：三颗星知识点：多项式乘多项式13.下列式子：①；②；③；④．其中计算不正确的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个答案：A解题思路：多项式÷单项式：借用乘法分配律，然后转化成单项式÷单项式进行计算．①，①不正确；②，②不正确；③，③不正确；④，④正确．故不正确的有①②③，共3个．试题难度：三颗星知识点：积的乘方14.计算的结果是( )A. B. C. D.答案：B解题思路：多项式÷单项式：借用乘法分配律，然后转化成单项式÷单项式进行计算．故选B．试题难度：三颗星知识点：整式的除法15.计算的结果是( )A. B. C.；D.答案：D解题思路：多项式÷单项式：借用乘法分配律，然后转化成单项式÷单项式进行计算．故选D．试题难度：三颗星知识点：整式的除法。

人教版八年级数学上整式的乘除及因式分解

第1讲整式乘法本讲知识点归纳1．同底数幂的乘法：nm nma a a +=⋅2．幂的乘方：()mn nma a =3．积的乘方：()n n nb a ab =4．单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式5．乘法公式(1)平方差公式：()()2222b a b a b a -=-++(2)完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±(3)立方和（差）公式：()()3322b abab a b a ±=+±基础回顾例1 运用乘法公式计算(1)()()y x y x --+-22 (2) ()()()()b a a b a b b a 43342332+--+- (3) ()()()4222--+x x x (4) ()()222323n m n m +--解：分析：运用平方差公式、完全平方公式，理解两公式中的a ，b ，特别注意符号，在平方差公式中，两括号中完全相同的项相当于公式中的“a ”，只有符号不同的项相当于平方差公式中的“b ”；在完全平方公式中，展开后有三项，两平方项及两个数积的2倍。

平方差公式，完全平方公式可以逆用，有时可使计算变得简捷．例2小明家的住房结构如图所示，小明的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少2m 的地砖？如果每21m 她砖的价格是a 元钱，则购买地砖至少需要多少钱？解：分析：把图中每个长方形的长与宽观察出来或表示出来，再用长方形的面积公式及图形的积差关系表示。

1．计算：（1）()42x x x -⋅⋅ （2）()()()6334233a a a -⋅（3）32233243⎪⎭⎫⎝⎛-⋅y x y x （4）()()y x y x 22-+2．利用平方差公式计算(1)()()y x y x 33+- （2）()()n m n m 3322+-（3）()()32323434z xyzxy -+ （4）()()bc a bc a +---223．利用完全平方公式计算(1)()()z y x z y x +--+ （2）()212++n n y x （3）()()22y x y x -⋅+练习4．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )。

人教版八年级数学上册竞赛专题：整式的乘除(含答案)

人教版八年级数学上册竞赛专题：整式的乘除（含答案）【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为．（2）已知21x x +=，那么432222019x x x x +--+= ．（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++，则121086420a a a a a a a ++++++= ．（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ．解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252019x=，802019y=，则11x y+等于（） A ．2 B ．1 C ．12D ．32解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ．（2）若23n a=，则621n a -= ．2．若2530x y +-=，则432xy． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为．4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是． 5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是，303的个位数字是． 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（） A ．a b c d <<< B ．a b d c <<< C ．b a c d <<< D ．a d b c <<<8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（） A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：2019201920192019201973153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ．（2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． 3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）201920193131++与201920203131++的大小关系是：201920193131++ 201920203131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ．5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ． 6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,a b c -==则abc 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．127．若3210x x x +++=，则27261226271x x x x x x x ---+++++++++的值是（）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（） A ．7B ．8C ．15D ．219．已知12320182019,,,,a a a a a 均为正数，又122018232019()()M a a a a a a =++++++，122019232020()()N a a a a a a =++++++，则M 与N 的大小关系是（）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2020(1)x y z w +++-的值．13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除．（1）求4a c +的值；（2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．参考答案例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2 ＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2019＝ x 2＋x －2＋2019＝2018 (3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ① 令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ② 由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730． ∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365． (4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．例2 B 提示：25xy ＝2 019y ， ① 80xy ＝2 019x ， ②①×②，得：(25×80)xy ＝2019x ＋y ，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m 2＝19n －m 2＝1，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35 ＝757例4 －78提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3xy －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋mn ．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－12n －m ＝8mn ＝－6，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝3，∴m 3＋1n 2－1 ＝－78倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋px 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即 x 4＋px 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得⎩⎨⎧m ＋2＝05＋n ＋2m ＝p 2n ＋5m ＝05n ＝q ，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝5p ＝6q ＝25，故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋px 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．则2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ① 当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ② ①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12， ∴ b ＝－6－a ＝6． ∴a b ＝－126＝－2 解法2 列竖式演算，根据整除的意义解2243243232322225(9)22372245(4)75510(9)3(9)(9)2(9)(12)2(9)x x a x x x x ax x bx x x x a x x b x xx a x x ba x a x a a xb a -+++--++++--++++--++-++-+-+--+++∵2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴⎩⎨⎧－12－a ＝0b ＋2(a ＋9)＝0，即⎩⎨⎧a ＝－12b ＝6，∴a b ＝－2A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113．提示：令x 3 ＋kx 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋ax ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2，得k ＝3．B 级1．1891252． (1)949(2)123．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264． (2) ＞提示：设32 000 ＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝1 7．C 8．D 9．C 10．D11．由ax 2＋by 2 ＝7，得(ax 2＋by 2)(x ＋y )＝7(x ＋y )，即ax 3－ax 2y ＋bxy 2＋by 3 ＝7(x ＋y )，(ax 3＋by 3)－xy (ax ＋by )－7(x ＋y )． ∴16＋3xy ＝ 7(x ＋y )． ①由ax 3 ＋by 3＝16，得(ax 3＋by 3)(x ＋y ) ＝16(x ＋y )，即ax 4 ＋ax 3 y ＋bxy 3＋by 4 ＝16(x ＋y )，（ax 4＋by 4)＋xy (a 2x ＋b 2y )＝16(x ＋y ）． ∴42＋7xy ＝16(x ＋y ）． ② 由①②可得，x ＋y ＝－14，xy ＝－38．由a 2x ＋b 2y ＝42，得（a 4x ＋b 4y ）（x ＋y ）＝42×（－14），（a 5x ＋b 5y ）＋xy （a 3x ＋b 3y ）＝－588，55ax by +＋16×（－38）＝－588．故55ax by +＝20． 12． ()20191x y z w +++-＝()201942131+---＝1．13．（1）∵（x －1）（x ＋4)＝2x ＋3x －4，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋4＝0，得x ＝－4．当x ＝1时，得1＋a ＋b ＋c ＝0； ① 当x ＝－4时，得－64＋16a －4b ＋c ＝0． ② ②－①，得15a －5b ＝65，即3a －b ＝13． ③ ①＋③，得4a ＋c ＝12．（2）③－①，得2a －2b －c ＝14．（3）∵c ≥a ＞1，4a ＋c ＝12，a ，b ，c 为整数， ∴1＜a ≤125，则a ＝2，c ＝4．又a ＋b ＋c ＝－1，∴b ＝－7，．∴c ＞a ＞b ．。

人教版八年级数学整式的乘法讲义 (含解析)

第7讲整式的乘法知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习整式的乘法。

整式的乘法是初中代数的一个重要组成部分，是学生今后掌握平方差公式以及完全平方公式的基础，通过学习我们可以简化某些整式的运算，且在以后的学习中有着举足轻重的作用。

知识梳理讲解用时：20分钟整式的乘法一、单项式乘单项式：单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.例如：3a·4b=12ab二、单项式乘多项式：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：m（a+b+c）=ma+mb+mc三、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例如：（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd课堂精讲精练【例题1】计算：24m m ⋅= ()23a a -⋅= ()()23p p -⋅-= 【答案】6m 5a 5p -1、同底数幂的乘法：底数不变，指数相加(m,n 都是整数) 2、幂的乘方：底数不变，指数相乘(m,n 都是整数)3、积的乘方：积中每个因式分别乘方 ()n n n ab a b =⋅(n 是整数) 4、同底数幂的除法：底数不变，指数相减 m n m n a a a -÷=（m 、n 都是整数且a≠0）引申：01a = 1n n a a -=(n 是正整数) 一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数. n m n m a a a +=⋅mn n m a a =)(一、单项式除以单项式：单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 二、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.你都记住了吗？整式的除法【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．24246m m m m +⋅==()2323235a a a a a a +-⋅=⋅==（﹣p ）2•（﹣p ）3=（﹣p ）2+3=（﹣p ）5=﹣p 5讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】计算：计算a 3•a 4 （﹣a 2）•a 5【答案】a 7 ﹣a 7【解析】根据同底数幂的乘法计算即可．解：原式=a 3+4=a 7（﹣a 2）•a 5=-25257a a a a +⋅=-=-讲解用时：3分钟解题思路：此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．教学建议：熟记同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】（﹣b ）2•（﹣b ）3•（﹣b ）5= ．【答案】b 10【解析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．解：原式=（﹣b ）2+3+5=（﹣b ）10=b 10．故答案为：b 10．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加，注意负数的偶次幂是正数．教学建议：熟记同底数幂相乘的运算法则：底数不变，指数相加.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】计算（﹣a 3）2的结果等于．【答案】a 6【解析】根据幂的运算法则即可求出答案．解：原式=()23326a a a ⨯==，故答案为：a 6讲解用时：1分钟解题思路：本题考查幂的乘方，解题的关键是熟练运用幂的乘方，本题属于基础题型．教学建议：熟记幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】计算（x 4）2的结果等于．【答案】x 8【解析】直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案．解：（x 4）2=428x x ⨯=．故答案为：x 8．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】计算（﹣2）2•（﹣2）3的结果= ．【答案】﹣32【解析】根据幂的乘方计算即可．解：（﹣2）2•（﹣2）3=4×（﹣8）=﹣32，故答案为：﹣32讲解用时：1分钟解题思路：此题考查幂的乘方问题，关键是根据法则计算．教学建议：熟记幂的乘方的运算法则.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】计算：（2x）2= ．（﹣2a）3= .【答案】4x2 ﹣8a3【解析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．解：（2x）2=4x2．（﹣2a）3=﹣8a3．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记积的乘方的运算法则：积中的每一项分别乘方再相乘.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】计算（﹣3a2）3的结果等于．【答案】﹣27a6【解析】直接利用积的乘方运算法则化简得出答案．解：（﹣3a2）3=﹣27a6．故答案为：﹣27a6．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记积的乘方的运算法则：积中的每一项分别乘方再相乘.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】计算（﹣a2b）3= ．【答案】﹣a6b3【解析】根据积的乘方的运算方法：（ab）n=a n b n，求出（﹣a2b）3的值是多少即可．解：（﹣a2b）3=•（a2）3•b3=﹣a6b3．故答案为：﹣a6b3．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m）n=a mn（m，n是正整数）；②（ab）n=a n b n（n是正整数）．教学建议：熟记积的乘方和幂的乘方的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】若2x=a，2y=b，则2x+y= .若2m=a，32n=b，m，n为正整数，则23m+10n= ．【答案】ab a3b2【解析】（1）将2x=a，2y=b代入2x+y=2x•2y即可得．（2）根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．（1）解：当2x=a，2y=b时，2x+y=2x•2y=ab.（2）解：32n=25n=b，则23m+10n=23m•210n=a3•b2=a3b2．故答案为：a3b2．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握其运算法则.教学建议：熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】已知3n=a，3m=b，则3m+n+1= .【答案】3ab【解析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：∵3n=a，3m=b，∴3m+n+1=3n×3m×3=3ab．故答案为：3ab．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：同底数幂的乘法公式正反要灵活适用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】计算4y•（﹣2xy2）的结果等于．【答案】﹣8xy3【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则得出答案．解：4y•（﹣2xy2）=﹣8xy3．故答案为：﹣8xy3．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以单项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记单项式乘单项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】计算：2a×（﹣2b）= ．计算：2x2•xy= ．【答案】﹣4ab x3y【解析】根据单项式与单项式的乘法解答即可．解：2a×（﹣2b）=﹣4ab.解：原式=x3y．讲解用时：1分钟解题思路：考查了单项式乘单项式．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教学建议：熟记单项式乘单项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】计算：（x﹣3y）（﹣6x）= ．【答案】﹣6x2+18xy【解析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．解：原式=﹣6x2+18xy．故答案是：﹣6x2+18xy．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．教学建议：熟记单项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】计算：2x（x2﹣x+5）= ．（﹣2a2）（a﹣3）= ．【答案】2x3﹣3x2+10x ﹣2a3+6a2【解析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：2x（x2﹣x+5）=2x3﹣3x2+10x．解：（﹣2a2）（a﹣3）=﹣2a3+6a2．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记单项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】若（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m= ．【答案】﹣3【解析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故答案为：﹣3．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．教学建议：熟记多项式乘以多项式的运算法则.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】化简：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）= ．计算：（x﹣4）（x+1）= ．【答案】a﹣8 x2﹣3x﹣4【解析】根据多项式乘多项式的法则计算可得．解：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）=a2+2a﹣8﹣a2﹣a=a﹣8．解：原式=x2+x﹣4x﹣4=x2﹣3x﹣4.讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟记多项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】计算：（1）（﹣2xy2）2•3x2y；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）【答案】（1）12x4y5 （2）﹣6a3b2+10a3b3【解析】（1）首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．解：（1）（﹣2xy2）2•3x2y=4x2y4•3x2y=12x4y5；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）=﹣2a2×3ab2﹣2a2×（﹣5ab3）=﹣6a3b2+10a3b3．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．教学建议：熟练掌握积的乘方以及单项式乘以多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】计算：（1）（5mn2﹣4m2n）（﹣2mn）（2）（x+7）（x﹣6）﹣（x﹣2）（x+1）【答案】（1）﹣10m2n3+8m3n2 （2）2x﹣40【解析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值．解：（1）原式=﹣10m2n3+8m3n2；（2）原式=x2﹣6x+7x﹣42﹣x2﹣x+2x+2=2x﹣40．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．教学建议：熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】计算（﹣xy3）2= ．计算：（﹣3a）2a3= ．【答案】x2y6 9a5【解析】直接利用积的乘方运算法则计算，进而化简求出答案．解：（﹣xy3）2=x2y6．解：（﹣3a）2a3=9a2•a3=9a5．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】若2x=3，4y=5，则2x+2y的值为．【答案】15【解析】直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则将原式变形，进而得出答案．解：∵2x=3，4y=5，∴2x+2y=2x×（22）y=3×5=15．故答案为：15．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】（1）化简：4m+2（m﹣2n）（2）（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）．【答案】（1）6m﹣4n （2）2x3﹣12x2+6x【解析】（1）直接去括号，进而合并同类项得出答案；（2）直接去括号，进而合并同类项得出答案．解：（1）4m+2（m﹣2n）=4m+2m﹣4n=6m﹣4n；（2）原式=8x3﹣（6x3+12x2﹣6x）=8x3﹣6x3﹣12x2+6x=2x3﹣12x2+6x．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】计算：（1）（﹣x）3•（﹣x）4•（﹣x）5（2）（﹣a2）•（﹣a）3•（﹣a）4•a2．【答案】（1）x12 （2）a11【解析】根据指数幂的运算法则即可求出答案．解：（1）原式=（﹣x）12=x12（2）原式=（﹣a2）•（﹣a3）•a4•a2=a11讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如果（x+1）（x+m）的乘积中不含x的一次项，则m的值为．【答案】﹣1【解析】把式子展开，找到所有x项的所有系数，令其和为0，可求出m的值．解：（x+1）（x+m）=x2+（1+m）x+m，∵结果不含x的一次项，∴1+m=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。