图形的相似知识点总结#精选.
九年级相似图形主要知识点
九年级相似图形主要知识点相似图形是九年级数学中的一个重要知识点，它在几何形状的比较、测量和变换等方面起到了重要的作用。
本文将介绍九年级相似图形的主要知识点，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
一、相似图形的定义及性质相似图形是指形状相似但尺寸不同的两个几何图形。
相似图形具有以下性质：1. 对应角相等：对于两个相似图形中的对应角，它们的度数是相等的。
2. 对应边成比例：相似图形中，对应边的长度之比是相等的。
3. 对应线段成比例：如果在相似图形中，一条线段与另一条线段相似，那么它们的长度比等于对应边的长度比。
二、相似比的计算方法相似比是描述相似图形中对应边长度之比的比值。
计算相似比的方法有两种：1. 直接比较法：分别计算两个相似图形中对应边的长度，然后求它们的比值。
2. 边长比法：如果已知一个相似图形的边长比为a：b，那么另一个相似图形的边长比也是a：b。
三、相似三角形的判定条件判定两个三角形是否相似，有以下三个条件：1. AA判定法：如果两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边的长度成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS判定法：如果两个三角形的某一对对应边的长度成比例，并且夹角也相等，则这两个三角形相似。
四、相似图形的应用相似图形在实际生活和数学问题中具有广泛的应用，例如：1. 测量：利用相似图形的性质，可以根据已知的尺寸计算出未知物体的尺寸。
2. 缩放：利用相似比，可以根据原始图形和比例关系，绘制出放大或缩小的相似图形。
3. 几何问题求解：在解决一些几何问题时，可以利用相似图形的性质，进行角度关系、边长关系等的推导和计算。
五、相似图形的注意事项在应用相似图形的知识时，需要注意以下几点：1. 相似比的计算要准确无误，避免由于计算错误导致结果的错误。
2. 在使用相似三角形进行图形比例计算时，需要注意各边、角之间的对应关系，并合理选择判定条件。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》知识点总结
一．比例线段：
1两条线段的比是 的比。
将“形”的问题转化为“数”的问题。
2.成比例线段：四条线段a,b,c,d 中，如果 ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段。
比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d
3.如果c
b b
a ，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项； 4.比例的性质：
（1）基本性质：如果 ，那么 。
（）等比性质：如果 ，那么 5.平行线分线段成比例定理：
如图，321////l l l ，则可得比例式： DE//AB,则所得比例式：
6．黄金分割： 黄金比 二．相似三角形：
1.相似三角形的判定方法：
（1）两角对应 的两个三角形相似。
（2）两边对应 且 相等的两个三角形相似。
（3）三边 的两个三角形相似
2.相似三角形的性质：
3.位似图形：
4.位似图形有同向和 两种。
在坐标系中，图形上点的坐标都乘以k 时，得到的图形与原图形关于原点位似，且位似比是|k|.
5.判定两个三角形相似的常用步骤：
先通过已知，平行、对顶角、公共角等，看能否找到两对相等的角； 若只能找到一对相等的角，再分析夹这个角的两边是否成比例； 若找不到相等的角，就分析三边是否成比例。
5.常见的基本模型有 ：
D E F
1l 3
l 2
l m n
B A C。
八年级数学相似图形知识点
八年级数学相似图形知识点八年级数学相似图形知识点一、定义表示两个比相等的式子叫比例.如果a与b的比值和c与d的比值相等,那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项,两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项.即a、d为外项,c、b为内项. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比(ratio)AB∶CD=m∶n,或写成 = ,其中,线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,则 =k或AB=kCD. 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.黄金分割的定义：在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.其中0.618.引理：平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似多边形：对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.二、比例的基本性质：1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 .如果(b,d都不为0),那么ad=bc.2、合比性质：如果 ,那么 .3、等比性质：如果 == (b+d++n0),那么4、更比性质：若那么 .5、反比性质：若那么三、求两条线段的比时要注意的问题：(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,如果单位长度不同,应先化成同一单位,再求它们的比;(2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关;(3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数.四、相似三角形(多边形)的性质：相似三角形对应角相等,对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.五、全等三角形的判定方法有：ASA,AAS,SAS,SSS,直角三角形除此之外再加HL六、相似三角形的判定方法,判断方法有：1.三边对应成比例的两个三角形相似;2.两角对应相等的两个三角形相似;3.两边对应成比例且夹角相等;4.定义法: 对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似.5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.1、两个全等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定相似3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.七、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心,这时的相似比又称为位似比.八、常考知识点：1、比例的基本性质,黄金分割比,位似图形的性质.2、相似三角形的性质及判定.相似多边形的性质.初中数学整式的乘法知识点(一)单项式与单项式相乘1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
九年级图形相似知识点
九年级图形相似知识点在九年级数学学科中，有一项重要的内容就是图形相似知识点。
图形相似是指两个图形在形状上相似，但大小不同。
图形相似是数学中的一个重要概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着重要的意义。
本文将从实际生活中的例子出发，系统地介绍九年级图形相似知识点。
首先，我们来看一个常见的例子。
大家都知道，地球是一个球体，它的形状是圆形。
而地球上的国家、城市等地理实体都是扁平的，它们的形状是圆形的，但大小不同。
这种情况就可以用图形相似来描述。
我们可以说地球上的城市和国家与地球在形状上相似，但大小不同。
这就是图形相似的一个实际应用。
图形相似的另一个常见的实际应用是地图。
地图是由地球的表面展开而成的，因此它不能完全还原地球的真实形状。
但地图上的国家、城市等地理实体在形状上与地球上的相应实体是相似的。
例如，中国在地球上的形状是长方形的，而在地图上也呈现出长方形的形状，但大小不同。
这也是图形相似的一个例子。
在九年级数学中，图形相似一般是通过比例来刻画的。
考虑两个相似图形，我们可以发现它们的对应边之间有一个固定的比例关系。
这个比例关系叫做相似比例。
相似比例是图形相似的一个重要特征，它可以用来描述图形相似的程度。
例如，如果两个相似图形的对应边之间的比例为3:1，我们就可以说这两个图形是以比例因数为3的相似图形。
图形相似不仅在数学中有着重要的应用，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，建筑师在设计建筑物时常常会用到图形相似的知识。
他们常常会将建筑物的缩小模型进行放大来得到真实的建筑物，这就是利用了图形相似的原理。
此外，图形相似还可以应用在测量中。
例如，在测量高楼的高度时，我们可以利用相似三角形的原理来测量。
这些都是图形相似知识在实际生活中的应用。
总之，九年级图形相似是数学中的一个重要内容，它在数学和生活中都有着广泛的应用。
通过图形相似，我们可以描述不同大小但形状相似的图形。
相似比例是图形相似的一个重要特征，它可以用来描述图形相似的程度。
知识点1 图形相似的定义
知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。
相似图形知识点
相似图形知识点知识点一:比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的比例第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac （2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 （3）比例中项:若c a b c a b c b b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 知识点二：比例尺 = 实际长度图上长度 （做题之前注意先统一单位） 拓展：两个物体的图上长度之比等于实际长度之比（同一时刻的物高之比等于影长之比） 知识点二：黄金分割：如果点C 在线段AB 上，分AB 为两部分AC 与BC ，AC ＞BC ，且AB AC =AC BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.小：大 = 大：全=≈-2150.618 另外一个黄金分割点382.0253≈- 注意： 一条线段都有两个黄金分割点，且关于中点对称。
长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。
底边和腰的比等于黄金比的三角形叫做黄金三角形，黄金三角形可以一直“黄金”下去7. 平行线分线段成比例定理（1）已知l 1∥l 2∥l 3,可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. A A D l 1 D EB E l 2B CC F l 38．相似三角形的判定：(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似,记作: △ABC ∽△A /B /C /。
第四章 图形的相似(知识点)
第四章 图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ） 例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。
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图形的相似
考点一、比例线段
1、比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n
在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段
叫做成比例线段，简称比例线段
若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c
b
b a =或a ：b=b ：
c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。
2、比例的性质
（1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2
（2）更比性质（交换比例的内项或外项）
d
b
c a =（交换内项） ⇒=d
c
b a a
c b
d =（交换外项）
a
b
c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：
c
d a b d c b a =⇒= （4）合比性质：d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒= （5）等比性质：
b
a n f d
b m e
c a n f
d b n m f
e d c b a =++++++++⇒≠++++====ΛΛΛΛ)0( 3、黄金分割
把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=
2
1
5-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
考点三、相似三角形
1、相似三角形的概念
n
m
b a =d
c b a =
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC
相似三角形的等价关系：
（1）反身性：对于任一△
ABC，都有△ABC∽△ABC；
（2）对称性：若△ABC∽△
A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
（3）传递性：若△ABC∽△
A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法
①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似
②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似
（2）直角三角形相似的判定方法
①以上各种判定方法均适用
②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
（3）相似三角形周长的比等于相似比
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似多边形
（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）
（2）相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边成比例
②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比
③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比
④相似多边形面积的比等于相似比的平方
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6、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过
同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相
似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等
于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。
利用位似变换可以把一个图
形放大或缩小。
最新文件仅供参考已改成word文本。
方便更改
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