2020年初升高数学衔接专题14 初高中衔接综合测试B卷(解析版)

初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题14初高中衔接综合测试B 卷1．一副三角板如图摆放（直角顶点C 重合），边AB 与CE 交于点F ，DE BC ∥，则BFC ∠等于（ ）A ．105︒B ．100︒C ．75︒D ．60︒【答案】A 【解析】解：由题意知45E ∠=︒，30B ∠=︒， ∵DECB ，∴45BCF E ∠=∠=︒， 在CFB ∆中，1801803045BFC B BCF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒105=︒，故选：A ．2．如图，等边三角形ABC 和正方形DEFG 按如图所示摆放，其中 D ，E 两点分别在AB ，BC 上，且BD =DE ．若AB =12，DE =4，则△EFC 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B 【解析】过F 作FQ ⊥BC 于Q ，则∠FQE=90°，∵△ABC 是等边三角形，AB=12， ∴BC=AB=12，∠B=60°， ∵BD=BE ，DE=4，∴△BED 是等边三角形，且边长为4， ∴BE=DE=4，∠BED=60°， ∴CE=BC-BE=8，∵四边形DEFG 是正方形，DE=4， ∴EF=DE=4，∠DEF=90°， ∴∠FEC=180°-60°-90°=30°， ∴QF=12EF=2， ∴△EFC 的面积为12×CE×FQ=12×8×2=8， 故选：B ．3．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BD D ．ABO ∆的面积是EFO ∆的面积的2倍【答案】B 【解析】解：因为E 、H 为OA 、OD 的中点，所以，EH ＝12AD ＝2，同理，HG ＝12CD ＝1，所以，A 错误； EH ∥AD ，EH ＝12AD ，FG ∥BC ，FG ＝12BC ，因为平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ∥BC ， 所以，EH ＝FG ，且EH ∥FG ，所以，四边形EFGH 是平行四边形， B 正确． AC 与BD 不一定垂直，C 错误；由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知：△ABC 的面积是△EFO 的面积的4倍，D 错误； 故选B.4．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3yx 的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ）A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方．∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32．故选C ．5．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程210x kx +-=的两个根，且满足12112x x +=-，则k 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】由题意可得，a=1，b=k ，c=-1，∵1，2x x 满足12112x x +=-， ∴121212x x 11==2x x x x ++- ① 根据韦达定理1212x x =1k x x =-1⎧-⎪⎨+⎪⎩ ②把②式代入①式，可得：k=-2 故选B. 6．已知1-1x x =，则221x x+等于（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】 ∵1-1x x=， ∴21-1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即221-2+1x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴221-=3x x ． 故选A ．7．下列运算正确的是（ ）A ．()2224a a -=- B ．()222a b a b +=+ C ．()257a a =D ．()()2224a a a -+--=-【答案】D 【解析】22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意； 5210()a a =，故选项C 不合题意；22(24)()a a a -+--=-，故选项D 符合题意．故选D ．8．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝3，AB ＝2，将它沿AB 翻折得到△ABD ，点P 、E 、F 分别为线段AB 、AD 、DB 上的动点，则PE+PF 的最小值是（ ）A 10B 22C 42D 810【答案】C 【解析】解：作出F 关于AB 的对称点M ，再过M 作ME AD '⊥，交AB 于点P '，此时P E P F ''+'最小，此时P E P F ME ''+'='，过点A 作AN BC ⊥，CH AB ⊥于H ，ABC ∆沿AB 翻折得到ABD ∆， AC AD ∴=，BC BD =， AC BC =，AC AD BC BD ∴===，∴四边形ADBC 是菱形，//AD BC ，ME AN ∴'=，AC BC =，112AH AB ∴==， 由勾股定理可得，223122CH =-=， 1122AB CH BC AN ⨯⨯=⨯⨯， 可得42AN =， 423ME AN ∴'==， PE PF ∴+最小为423． 故选：C ．9．如图，已知点A(1，1)关于直线y =kx 的对称点恰好落在x 轴的正半轴上，则k 的值是（ ）A．12B．21-C．22-D．2【答案】B【解析】解：设A关于直线y=kx的对称点为A′，连接AA′，交直线y=kx于C，分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则AE∥CF，∵A（1，1），∴AE=OE=1，∴2，∵A和A′关于直线y=kx对称，∴OC是AA′的中垂线，∴2，∵AE∥CF，AC=A′C，∴21 -，∴CF=12AE=12，∴OF=OA′-2121222=，∴C（212，12），把C（212，12）代入y=kx中得：1212k +=， ∴21k =-，故选：B ．10．如图，在矩形ABCD 中，2AD =．将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将B 沿EA '向内翻折，点B 落在DE 上，记为B '，则AB 的长为（ ）A 3B ．1C ．2D 2【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴90ADC C B ∠=∠=∠=︒，AB DC =，由翻折知，AED ≌A ED '，A BE '≌A B E ''，90A B E B ''∠=∠=︒，∴AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠，A EB A EB '''∠=∠，BE B E '=，90A B D ''∠=︒， ∴1180603AED A ED A EB ''∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∴9030A DE ADE AED '∠=∠=︒-∠=︒， ∴30ADE A DE A DC ''∠=∠=∠=︒， 又∵90C A B D ''∠=∠=︒，DA DA ''=， ∴DB A ''≌DCA '（AAS ）， ∴DC DB '=，在Rt AED 中，30ADE ∠=︒，2AD =， ∴323tan 30233AE AD =⋅︒=⨯=，设AB DC x ==，则23BE B E x'==-， ∵在Rt AED 中，222AE AD DE +=，∴22223232x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得，13x =-（负值舍去），23x =， ∴3AB =．故选：A ．11．如图，正方形ABCD 的边长是3，BP=CQ ，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ ⊥DP ；②OA 2=OE•OP ；③S △AOD =S 四边形OECF ；④当BP=1时，tan ∠OAE=34，其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=BC ，∠DAB=∠ABC=90°， ∵BP=CQ ， ∴AP=BQ ，在△DAP 与△ABQ 中，AD ABDAP ABQ AP BQ =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△DAP≌△ABQ(SAS)，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP，故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AO OP OD OA=，∴AO2=OD•OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE•OP，故②错误；在△CQF与△BPE中FCQ EBPQ PCQ BP∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△CQF≌△BPE(AAS)，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF与△DCE中AD CDADC DCE DF CE=∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ADF≌△DCE(SAS)，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；∵BP=1，AB=3，∴AP=4，∵AD∥BC，∴△PBE∽△PAD，∴43 PB PAEB DA==，∴BE=34，∴QE=134，∵△QOE∽△PAD，∴1345QO OE QEPA AD PD===，∴QO=135，OE=3920，∴AO=5﹣QO=125，∴tan∠OAE=39132012165OEOA==，故④错误；故选：A．12．如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F分别为BC，AB边的中点．连接AE、DF，两线交于点H，连接BH并延长，交边AD于点G．下列结论：①△ABE≌△DAF，②cos∠BAE=5，③AFHS∆：S四边形CDHE=1：11，④AG=103其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①④D．②③④【答案】A【解析】∵正方形ABCD 的边长为10，点E ，F 分别为BC ，AB 边的中点，∴10AB AD ==，152BE AF AB ===, ∴51102AB AD BE AF ===，∠ABE=∠DAF=90︒， ∴△ABE ≌△DAF ，故①正确；在△ABE 中，∠ABE=90︒，∴AE ===∴cos ∠BAE=5AB AE ==，故②错误； AEB ADF 111052522S AB BE S ==⨯⨯==，∵△ABE ≌△DAF ，∴∠AFH=∠AEB ，∴△AFH ~△AEB ，∴22AFH AEB 15S AF SAE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴AFH AEB 155S S ==，∴AEB AFH BEHF 20S S S =-=四边形，∴ADF ABCD CDHE BEHF S S S S =--正方形四边形四边形2102520=--55=，∴AFH CDHE :?5:551:11S S ==四边形，故③正确；∵△AFH ~△AEB ，∴AH AF AB AE=，即10AH =， ∴AH =作HQ ⊥AB 于Q ，∴HQ ∥BE ，∴△AHQ ~△AEB ， ∴HQ AH AQ BE AE AB ==，即2551055HQ AQ ==， ∴2HQ =，4AQ =，∴1046BQ AB AQ =-=-=，∵HQ ∥AG ，∴HQ BQ AG AB =，即2610AG =， ∴103AG =，故④正确； 综上，①③④正确，故选：A ．13．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）A ．(5，44)B ．(4，44)C ．(4，45)D ．(5，45)【答案】B【解析】 解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是21(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次．2025142020，故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)．故选：B ．14．二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则一次函数y ax b =+和反比例函数y c x=在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线2b x a =-＞0， ∴b ＜0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y=ax+b 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的负半轴相交，反比例函数y c x=图象在第一、三象限， ∴只有D 选项的图像符合题意；故选：D ．15．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式220180ax bx ++=能取的最小值是（ ）A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023【答案】B【解析】 解：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ∴++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ∴++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+⎧⎨=+⎩， 解得：510a b =⎧⎨=-⎩． 222201*********(1)2013ax bx x x x ∴++=-+=-+，∴当1x =时，22018ax bx ++取最小值为2013.故选：B.16．关于x 的不等式组0723x m x +<⎧⎨-≤⎩恰好有5个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．76m -<-≤B ．76m --≤≤C ．76m -<-≤D ．76m -<<- 【答案】A【解析】解：0723x m x +<⎧⎨-⎩①②，由①解得：x m <-，由②解得：2x ≥，故不等式组的解集为2x m <-，由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6，∴，67m ＜-≤，则m 的范围为．76m -<-≤故选：A ．17．已知xy =3，那么y x x y x y +的值为______ ． 【答案】±23 【解析】因为xy =3，所以x 、y 同号，于是原式=22xy xy x y x y +=x yxy xy x y +，当x >0，y >0时，原式=xy xy +=23；当x <0，y <0时，原式=()xy xy -+-=−23故原式=±23. 18．平面直角坐标系中，原点O 关于直线y=﹣43x+4对称点O 1的坐标是_____． 【答案】（9625，7225） 【解析】如图，∵原点O 关于直线y=-43x+4对称点O 1， ∴OO 1⊥AB ，设O 1O 与直线y=-43x+4的交点为D ，作O 1E ⊥x 轴于E ， 由直线y=-43x+4可知A （3，0），B （0，4）， ∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵S △AOB=12OA•OB=12AB•OD ， ∴OD=•125OA OB AB =， ∵∠ADO=∠O 1EO=90°，∠AOD=∠EOO 1，∴△AOD ∽△O 1OE ，∴1OO OE OA OD =，即2451235OE =， ∴OE=9625， ∴O 1E=22172 =25O O OE -， ∴点O 1的坐标是（9625，7225）． 19．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】213【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +==22224652213AB BC +=+== 故答案为：21320．若a 、b 、c 为三角形的三边，且a 、b 满足229(2)0a b -+-=，则第三边c 的取值范围是 ．【答案】1＜c ＜5．【解析】由题意得，290a -=，20b -=，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c ＜5．故答案为1＜c ＜5． 21．如图，矩形纸片,4,3ABCD AB BC ==，点P 在BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为_________．【答案】1517【解析】解：根据折叠，可知：DCP DEP ≌，∴4,DC DE CP EP ===．在OEF 和OBP 中，90EOF BOP B E OP OF ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()OEF OBP AAS ≌，∴,OE OB EF BP ==．设EF x =，则,4BP x DF DE EF x ==-=-，又∵BF OB OF OE OP PE PC =+=+==，3PC BC BP x =-=-，∴1AF AB BF x =-=+．在Rt DAF △中，222AF AD DF +=，即222(1)3(4)x x ++=-， 解得：35x =， ∴1745DF x =-=， ∴15cos 17AD ADF DF ∠==． 22．已知抛物线23y x mx =--与直线25y x m =-在22x -<之间有且只有一个公共点，则m 的取值范围是__．【答案】517m -<或8m =- 【解析】 联立2325y x mx y x m ⎧=--⎨=-⎩可得：2(2)530x m x m -++-=，令2(2)53y x m x m =-++-， ∴抛物线23y x mx =--与直线25y x m =-在22x -<之间有且只有一个公共点，即2(2)53y x m x m =-++-的图象在22x -<上与x 轴只有一个交点，当△0=时，即△2(2)4(53)0m m =+--=解得：8m =±当8m =+ 2522m x +==+>当8m =-252m x +==- 当△0>时，∴令2x =-，75y m =+，令2x =，33y m =-，(75)(33)0m m ∴+-<， ∴517m -<< 令2x =-代入20(2)53x m x m =-++- 解得：57m =-， 此方程的另外一个根为：237-， 故57m =-也满足题意，故m 的取值范围为：517m -<或8m =-故答案为: 517m -<或8m =-23．已知二次函数()2223y m x mx m =-++-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，则下列说法正确的有：_________________．(填序号)①该二次函数的图象一定过定点()1,5--；②若该函数图象开口向下，则m 的取值范围为：6 25m <<；③当2,m >且12x ≤≤时，y 的最大值为45m -；④当2,m >且该函数图象与x 轴两交点的横坐标12,x x 满足1232,10x x -<<--<<时，m 的取值范围为：21114m <<． 【答案】①②④【解析】由题目中2(2)23y m x mx m =-++-可知：2a m =- ，2b m =，3c m =-，由题意二次函数图象与x 轴有两个交点，则： 22444(2)(3)20240b ac m m m m ∆=-=---=->，即65m >， ①将1x =-代入二次函数解析式中，(2)235y m m m =--+-=-，则点(1,5)--在函数图象上，故正确； ②若二次函数开口向下，则20m -<，解得2m <，且65m >，所以m 的取值范围为：625m <<，故正确；③当2m >时，20m ->，即二次函数开口向上，对称轴221122(2)2b m x a m m =-=-=--<---，对称轴在1x =-左侧，则当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，当2x =时有最大值，4(2)43911y m m m m =-++-=-，故错误；④当2m >时，20m ->，即二次函数开口向上，∵132x -<<-，∴当3x =-时，0y >，2x =-时，0y <，即()()9263042430m m m m m m ⎧--+->⎪⎨--+-<⎪⎩， 解得：21114m <<， ∵210x -<<，∴当1x =-时，0y <，0x =时，0y >，即223030m m m m --+-<⎧⎨->⎩， 解得：3m >，综上，21114m <<，故正确． 故答案为：①②④．24．如图，M 点是ABC ∆的边AB 的中点，且2MC MB ==，设AC BC x +=，则x 的取值范围是__________.【答案】442x <≤【解析】∵M 点是ABC ∆的边AB 的中点，且2MC MB ==∴AB=4，△ABC 是直角三角形故x=AC+BC>AB=4令AC=a ，BC=b∴2216a b x a b +=⎧⎨+=⎩ ∴216ab 2x -= ∴a ，b 是关于y 的一元二次方程2216y xy 02x --+=的两个实数根 ∴()2216x 402x -∆=--⨯≥ 即：4242x -≤≤. 综上所述，x 的取值范围是：442x <≤.25．如图，抛物线2y ax bx c =++过坐标原点和()5,0A ，()1,4B 两点．（1）求该抛物线的表达式；（2）在线段AB 右侧的抛物线上是否存在一点M ，使得AB 分OMA 的面积为1:2两部分？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）25y x x =-+；（2）存在，点M 的坐标为1669622M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2669622M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】解：（1）将点O ，A ，B 的坐标代入抛物线表达式得，025504c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：150a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为：25y x x =-+；（2）存在，理由如下：设直线AB 的表达式为：()0y kx n k =+≠，()5,0A ，()1,4B ，504k n k n +=⎧∴⎨+=⎩，解得：15k n =-⎧⎨=⎩． ∴直线AB 的表达式为：5y x =-+，令0x =，则5y =，∴直线AB 交y 轴于点()0,5D ，如图设AB 交OM 于点C ，当2OC MC =或2OC MC =时，AB 分OMA 的面积为1:2，过点M 作//MQ y 轴交AB 于点Q ，MQC ODC ∴∠=∠，MCQ OCD ∠=∠，ODC MQC ∴△△∽，OC OD MC MQ∴=， 由点M 在抛物线上，可设点M 坐标为()2,5m m m -+，由点Q 在直线AB 上，则点Q 坐标为(),5m m -+，①当2OC MC =时，则有：25MC MC MQ =，解得：52MQ =， 由()()225565MQ m m m m m =-+--+=-+-， 即25652m m -+-=，解得：66m ±=， 即16696,22M ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，26696,22M ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，②当2OC MC =时，则有：52OC OC MQ =， 解得：10MQ =，由()()22556510MQ m m m m m =-+--+=-+-=， 所得方程无解，综上所述，点M 的坐标为16696,M ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，26696,M ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 26．△ABC 中，BC=12， 高AD=8，矩形EFGH 的一边GH 在BC 上，顶点E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 与EF 交于点M ．(1)求证：AM EF AD BC=； (2)矩形EFGH 可以为正方形吗?若能，请求出正方形的面积，若不能，请说明理由；(3)设EF=x ， EH=y ，设矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最值．【答案】（1）见解析；（2）能，S EHGF =57625；（3）S=-23x 2+8x ，当x=6时S 最大=24【解析】（1）证明：∵矩形EFGH ∴EF∥BC∵AD⊥BC∴AD⊥EF又∵△AEF∽△ABC∴AM EF AD BC=（2）能，解：假设EFGH为正方形设EF=m ∴AM=8-m∴8812m m -=∴m=24 5∴假设成立S EHGF=576 25（3）∵EH=y ∴AM=8-y∵EF AM BC AD=∴8 128 x y-=∴y=8-2 3 x∵S=xy∴S=x(8-32 x)∴S=-23x2+8x=-23(x-6)2+24∴a=-23＜0、∴当x=6时S最大=2427．已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE（1）求证：△ABE ≌△BCD ；（2）求出∠AFB 的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【解析】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC （等边三角形三边都相等），∠C=∠ABE=60°，（等边三角形每个内角是60°）．在△ABE 和△BCD 中，，∴△ABE ≌△BCD （SAS ）．（2）∵△ABE ≌△BCD （已证），∴∠BAE=∠CBD （全等三角形的对应角相等），∵∠AFD=∠ABF+∠BAE （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）∴∠AFD=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°，∴∠AFB=180°﹣60°=120°．28．（111123tan 60(1)2-︒︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（2）已知2210x x --=，求代数式2(1)(4)(2)(2)x x x x x -+-+-+的值．【答案】（1）3+1；（2）0【解析】解：（1）原式＝23331+2－－ ＝-3+1；（2）原式＝x 2﹣2x+1+x 2﹣4x+x 2﹣4＝3x 2﹣6x ﹣3，∵x 2﹣2x ﹣1＝0∴原式＝3（x 2﹣2x ﹣1）＝3×0＝0． 29．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴交于点A(0，-4)，与x 轴交于点B(-2，0)，C(8，0)，连接AB ，AC ．（1）求出二次函数表达式；（2）若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作NM ∥AB ，交AC 于点M ，连接AN ，当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与以点A ，B ，O 为顶点的三角形相似时，求此时点N 的坐标；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】（1）213442y x x =--；（2）(3，0)或(0，0)；（3）(-8，0)或()845,0-或(3，0)或（50） 【解析】 解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点B （-2，0）、C （8，0），与y 轴交于A （0，-4）∴42+064804a b c a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：14324a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩， ∴二次函数表达式是213442y x x =--； （2）∵AB 2=BO 2+AO 2=20，AC 2=AO 2+OC 2=80．∵BC 2=(BO+OC)2=100，∴AB 2+AC 2=BC 2．∴△ABC 是直角三角形；设点N 的坐标为（n ，0）,∵∠AOB=∠NMA=90°，∴有两种情况：①当NAM BAO ∠=∠时，AMN AOB ∆∆∽∵+=90BAO OCA ∠∠︒，90OCA OAC ∠+∠=︒∴=BAO OCA ∠∠∴=NAM OCA ∠∠∴NA NC ==8-nRt △OAN 中，222OA ON AN +=即 2224(8)n n +=-解得：n=3∴n （3，0）②当=ANM BAO ∠∠时，NMA AOB ∆∆∽∵NM ∥AB∴=ANM BAN ∠∠∴=BAN BAO ∠∠即N 与原点O 重合，∴此时N （0，0）综合①②得，N 点坐标是（3，0）或（0，0）．（3）由（2）知，AC=①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为（−8，0），②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为（8-0）或（8＋0）； ③如图，作AC 的垂直平分线交AC 于M ，交x 轴于N ，∴△AOC ∽△NMC ． ∴CM CN OC AC =,即25=45， ∴CN ＝5．∴此时N 的坐标为（3，0），综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为（-8，0）、（8-45，0）、（3，0）、（8+45，0）.30．某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x （元）（x 为整数）符合一次函数关系，如图所示（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】（1）y=-2x+260（5085x ≤≤）；（2）80元；（3）销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元【解析】解：（1）设y=kx+b （k≠0，b 为常数）将点（60，140），（70，120）代入得：6014070120k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2120k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+260，解不等式组5050500.722600x x x ≥⎧⎪-≤⨯⎨⎪-+≥⎩，得：5085x ≤≤且x 为整数；（2）由题意得：(50)(2260)3000x x --+=，化简得：x 2-180x+8000=0，解得：x 1=80，x 2=100，∵()50170%x ≤⨯+=85，∴x 2=100＞85（不符合题意，舍去）答：销售单价为80元；（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得，(50)(2260)w x x =--+，=-2x 2+360x-13000=-2(x-90)2+3200∵a=-2＜0，抛物线开口向下，∴w 有最大值，∵5085x ≤≤，∴当x=85时，w 最大值=3150，答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元.。