点、直线、平面的投影及直线上的点及直线的相对位置关系、平面上取点线
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工程制图第3章 点、直线和平面的投影
b YH
2. ab=AB
正平线— 平行于正面投影面的直线
Z
Z
b
b
b
a
a
a
B
a
X
O
YW
A
b
X
O
a
b
a
b
Y
YH
投影特性： 1、ab OX ; a b OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
Z
a
a
A
a
b
Z
a
例 求点E 到水平线AB的距离。
e’
d’ a’
b’
X
O
d
yD-yE e
a b
所求距离
第三节 平面的投影
一、平面的表示法
1. 几何元素表示平面
用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
2.平面的迹线表示法
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
点、直线、平面的投影
或一个点，即具有积聚性。 （3）类似性：平面图形或直线在其倾斜投影面上的投影会变小或变短，
但投影形状与原来形状类似，即具有类似性。
三、三视图的形成
一般工程图采用正投影法画正投影图，所得图形称为视图；
通常一个视图不能唯一确定物体的空间形状；
1、三投影面体系 (第一角投影法)
V——正面 H——水平面 W——侧面
课后练习：习题集P7--12
§2-3 直线的投影
一、直线的投影 作出直线段上的两端点的投影，则两点的同面投影的连线就为直线段的投影
二、各种位置直线的投影
特殊位置直线 投影面平行线：正平线、水平线、侧平线
直线
投影面垂直线 ：正垂线、铅垂线、侧垂线
一般位置直线
直线对H、V、W三投影面的倾角分别用α 、β 、γ 表示
3、三视图之间的度量关系 “长对正，高平齐，宽相等”
4、三视图与物体方位的关系
主视图——物体的左右和上下关系 左视图——物体的上下和前后关系 侧视图——物体的左右和前后关系
5、三视图的作图步骤 （1）作投影轴及450辅助线 （2）从主视图入手,按照“长对正、高平齐、宽相等”原则作三视图 （3）擦除投影轴、450辅助线及其它作图辅助线
2、平行投影法：投射线相互平行的投影法 斜投影法——投射线倾斜于投影面
• 正投影法——投射线垂直于投影面（如图3-4） • 说明：工程图样中的投影没有特别说明时均指“正投影”
但投影形状与原来形状类似，即具有类似性。
三、三视图的形成
一般工程图采用正投影法画正投影图，所得图形称为视图；
通常一个视图不能唯一确定物体的空间形状；
1、三投影面体系 (第一角投影法)
V——正面 H——水平面 W——侧面
课后练习：习题集P7--12
§2-3 直线的投影
一、直线的投影 作出直线段上的两端点的投影，则两点的同面投影的连线就为直线段的投影
二、各种位置直线的投影
特殊位置直线 投影面平行线：正平线、水平线、侧平线
直线
投影面垂直线 ：正垂线、铅垂线、侧垂线
一般位置直线
直线对H、V、W三投影面的倾角分别用α 、β 、γ 表示
3、三视图之间的度量关系 “长对正，高平齐，宽相等”
4、三视图与物体方位的关系
主视图——物体的左右和上下关系 左视图——物体的上下和前后关系 侧视图——物体的左右和前后关系
5、三视图的作图步骤 （1）作投影轴及450辅助线 （2）从主视图入手,按照“长对正、高平齐、宽相等”原则作三视图 （3）擦除投影轴、450辅助线及其它作图辅助线
2、平行投影法：投射线相互平行的投影法 斜投影法——投射线倾斜于投影面
• 正投影法——投射线垂直于投影面（如图3-4） • 说明：工程图样中的投影没有特别说明时均指“正投影”
机械制图点、线、面的投影
点线面的投影
主讲：郝善齐
精选课件
1
2-2点线面的投影
一点的投影 1、点的三面投影 2、两点的相对位置
二 直线的投影 1、直线的三面投影 2、各种位置直线的投影 3、直线的相对位置
三 平面的投影 1、平面投影的表示方法 2、各种位置平面的投影特性
3、平面上的点和直线 4、直线与精平选课面件 、平面与平面的相对位置 2
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
精选课件
13
回本章 回本讲
水平线
精选课件
14
正平线
精选课件
15
侧平线
一 点的投影
1、点的三面投影
Z
一、三面投影体系的建立
根据点的投影来确定点在空间
V
的位置，引入相互垂直相交的三个
投影面，分别用V、H、W表示。
把V面称为正投影面（简称正面），
把H面称为水平投影面（简称水平 面），把W面称为侧投影面（简称 X
侧面）。
来自百度文库
W
O
H
Y
三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴，正面与
主讲：郝善齐
精选课件
1
2-2点线面的投影
一点的投影 1、点的三面投影 2、两点的相对位置
二 直线的投影 1、直线的三面投影 2、各种位置直线的投影 3、直线的相对位置
三 平面的投影 1、平面投影的表示方法 2、各种位置平面的投影特性
3、平面上的点和直线 4、直线与精平选课面件 、平面与平面的相对位置 2
侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面）
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
精选课件
13
回本章 回本讲
水平线
精选课件
14
正平线
精选课件
15
侧平线
一 点的投影
1、点的三面投影
Z
一、三面投影体系的建立
根据点的投影来确定点在空间
V
的位置，引入相互垂直相交的三个
投影面，分别用V、H、W表示。
把V面称为正投影面（简称正面），
把H面称为水平投影面（简称水平 面），把W面称为侧投影面（简称 X
侧面）。
来自百度文库
W
O
H
Y
三个投影面互相垂直并相交，交线称为投影轴，正面与
第五讲---平面上取点线,平面的辅助投影;线面相对位置 PPT
骤和方法。
直线与平面平行,平面与平面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
AB、AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。
c
b
k
分析：ABCD 既然是平面，
直线与平面平行,平面与平面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
直线与特殊位置平面相交
b n
a
k
m
c
n a
kb
2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面 相交求交线的作图方法。
3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
AB、AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。
c
b
k
分析：ABCD 既然是平面，
工程制图入门基础(四)
s m
n
r r n
f
k
e
e k f s
相交问题
m
第1章 正投 影法及基本几何元素的投影
（二） 相交问题
直线与平面相交，只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
两平面的交线为直线，它是两平面的共有线。
一.重影性法
由于特殊位置直线或平面具有积聚性，交点可以 直接求得
平面与特殊位置直线相交
第1章 正投 影法及基本几何元素的投影
水平面的迹线表示法
铅垂面的迹线表示法
PV
平面上的点和直线
第1章 正投 影法及基本几何元素的投影
三、平面上的点和直线
一.平面上取直线和点
（1）平面上取直线 a .一直线经过平面内两点，则此直线一定在该平面内。 b.一直线经过平面内一点且平行于平面上的另一条直线， 则此直线一定在该平面内。
第1章 正投 影法及基本几何元素的投影
例题
例2-11,
第1章 正投 影法及基本几何元素的投影 例 求两平面的交线MN并判别可见性。
b e m f ●
● ●
空间及投影分析
n 1 ● 2 c h 平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影， 故mn即MN的正面投影。
平面的分类
第1章 正投 影法及基本几何元素的投影
机械制图-点、直线、平面的投影
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
坐标变换
当点的坐标值发生变化时， 其投影角度也随之改变， 因此可以通过坐标变换来 调整点的投影位置。
特殊位置点的投影
投影面上特殊点
在三投影面体系中，有些点位于 某一投影面上，这些点在该投影 面上的投影具有特殊性质，如重
影点等。
空间位置分类
根据点在空间中的位置，可以分为 一般位置点和特殊位置点，特殊位 置点又可以分为平行投影面点和垂 直投影面点。
直线
直线在机械制图中主要用于表示物体的轮廓或结构线。例 如，一个机架的边缘或一个轴的轴线都可以通过直线来表 示。
平面
平面在机械制图中常用于表示一个面或一个区域。例如， 一个零件的表面或一个机架的底面都可以通过一个平面来 表示。
实际案例分析
01
案例一
点在实际中的应用：在一个机械零件的设计中，需要表示一个孔的位置。
点在平面上的投影仍然是一个点，但点的位置由其在平面上 的位置决定。
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
坐标变换
当点的坐标值发生变化时， 其投影角度也随之改变， 因此可以通过坐标变换来 调整点的投影位置。
特殊位置点的投影
投影面上特殊点
在三投影面体系中，有些点位于 某一投影面上，这些点在该投影 面上的投影具有特殊性质，如重
影点等。
空间位置分类
根据点在空间中的位置，可以分为 一般位置点和特殊位置点，特殊位 置点又可以分为平行投影面点和垂 直投影面点。
直线
直线在机械制图中主要用于表示物体的轮廓或结构线。例 如，一个机架的边缘或一个轴的轴线都可以通过直线来表 示。
平面
平面在机械制图中常用于表示一个面或一个区域。例如， 一个零件的表面或一个机架的底面都可以通过一个平面来 表示。
实际案例分析
01
案例一
点在实际中的应用：在一个机械零件的设计中，需要表示一个孔的位置。
点在平面上的投影仍然是一个点，但点的位置由其在平面上 的位置决定。
机械制图点、线、面的投影
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
回本章 回本讲
一、投影面的垂直面
垂直于一个投影面而与其它两个投影面倾 斜的平面，称为投影面垂直面。
根据其所垂直的投影面不同，可以分为 三种：
1)铅垂面——垂直于H 面； 2)正垂面——垂直于V 面； 3)侧垂面——垂直于W 面。
1）
a
X a
b d
k
●
c
0 b
d ●k
c
过平面内两已知点 作辅助线求解
b
2）
d
● k c
a e
X
0
bd
a e ●k
c
过平面内一个已知点作平面 内已知直线的平行线求解
回本章 回本讲
举例
已知三角形ABC上一点K，其X坐标为25，其Z坐标 为10，求它的投影。求平面上的点.swf
即a’a⊥OX。
回本章 回本讲
例：已知C点的两面投影c’和c’’，求作第三投影c。
作法：
Z
（1）从原点O做YW、YH的45°分角线；
c’
（2）过c’作OX轴垂线c’c；
（3）过c’’作YW轴的垂线与45°分角线相 X
O
工程制图 03空间点、直线和平面的投影分析
1.4
a′
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.1 空间点的投影分析
3.1.1 点的三面投影及其投影特征
点的投影仍为一个点， 点的投影仍为一个点 ， 且空间点在一个投影面上只有唯一 的投影。但当已知点在一个投影面上的一个投影时， 的投影 。 但当已知点在一个投影面上的一个投影时 ， 都不 能确定点在空间的唯一位置。 能确定点在空间的唯一位置。 将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面 放在三投影面体系中分别向三个投影面V面 将点 放在三投影面体系中分别向三个投影面 面 、H面、 面 a′ W面作正投影，得到点 的水平投影 、正面投影 面作正投影， 的水平投影a、 面作正投影 得到点A的水平投影 、侧面 关于空间点及其投影的标记规定为： 投影 a′′ 。(关于空间点及其投影的标记规定为：空间点用大 关于空间点及其投影的标记规定为 写字母A、 、 表示， 写字母 、B、C…表示， 水平投影相应用小写字母 、 b、 表示 水平投影相应用小写字母a、 、 c′ c…表示，正面投影相应用小写字母 、 、 b ′ …表示，侧 表示， 表示， 表示 表示 表示。 面投影相应用小写字母 a′′、b′′ 、 ′′ …表示。) c 表示 将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴， 将投影面体系展开 ， 去掉投影面的边框 ， 保留投影轴 ， 便 得到点A的三面投影图 如图3.1所示 的三面投影图， 所示。 得到点 的三面投影图，如图 所示。
《机械制图》教案——第二章-2 点线面的投影
点、直线和平面的投影
教学目的要求:
1.点的投影及作图.
2.各种位置直线的投影,及两直线的相对位置.
3.直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理.
4.各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图.
教学重点难点:
1.各种位置直线的投影.
2.各种位置平面的投影.
3.平面上取点取线的作图.
学时: 3
§ 1点的投影
1.1点的三面投影
本节教学目标：
点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。
重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。难点：重影点的投影。
引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。
1.1.1三面投影的规律
点的三面投影：水平投影 a → H
正面投影 a´→ V
侧面投影 a″→ W
点的三面投影规律：
a′a ⊥ ox
a′a″⊥ oz
a aх =a″az
1.1.2点的投影与坐标的关系
一、三投影面体系中点的投影
A a = a′ax = a″ay = 高标（Z标）
A a′= a ax = a″az = 纵标（Y标）
A a″= a′az = aay = 横标（X标）
V、H 投影反映X
V、W 投影反映Z
H、W 投影反映Y
1.点在三投影面体系中的投影
空间点 A的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。
2.术语及规定
习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示。
3.投影性质
点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。
清华大学机械制图教程第二章.点、直线、平面的投影
c
c
a
a
b ● 45°
b
a
c b
思考：此题有几个解？
三、平面上的直线和点
⒈ 平面上取任意直线
位于平面上的直线应满足的条件：
若一直线过平面上 的两点，则此直线 必在该平面内。
N
M
●
●
若一直线过平面上 的一点且平行于该 平面上的另一直线， 则此直线在该平面 内。
B
A M
●
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。
⑴ 投影面平行线
水平线
V
a ′ b′
a″
Aβ γ
b″W
B
a βγ Hb
a ′ b ′ Za ″ b″
X
O
Y
a βγ
实长 b Y
投影特性： ① 在其平行的那个投影
面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投 影面倾角的实大。
② 另两个投影面上的投 影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴 距离反映直线与它所 平行的投影面之间的 距离。
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a
c●
在
不在
b
c
a
●
③ a
c ● b
a c●
b
ac
第四章点线面的投影 (1)
a' c' b' a k h c b a" c"
b"
§4-4 线段的实长与倾角
对于特殊位置直线而言，其实长及倾角可
直接从投影图上反映出来，而对于一般位置
直线来说，由于它对三个投影面都是倾斜的， 那么，如何求得一般线的实长和倾角
其实长和倾角不能从投影图中直接反映出来。 呢？ —直角三角形法。
直角三角形法原理 直角三角形法应用
举例：
例1 判定下列各组直线是否平行？
（ 2）
（ 1）
（ 3）
c' a'
d' b'
AB∥CD
a"
c"
d"
b"
AB与CD为交叉两直线
结论：
对于两一般直线而言，只要其两组同面投影相
互平行，则可判定它们是平行的，如（1）； 对于两特殊直线，特别是侧平线，则需小心判 断，判定方法有三：观察字母顺序，如（2）； 判定定比关系满足否如（3）；作出其W投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
b"
§4-4 线段的实长与倾角
对于特殊位置直线而言，其实长及倾角可
直接从投影图上反映出来，而对于一般位置
直线来说，由于它对三个投影面都是倾斜的， 那么，如何求得一般线的实长和倾角
其实长和倾角不能从投影图中直接反映出来。 呢？ —直角三角形法。
直角三角形法原理 直角三角形法应用
举例：
例1 判定下列各组直线是否平行？
（ 2）
（ 1）
（ 3）
c' a'
d' b'
AB∥CD
a"
c"
d"
b"
AB与CD为交叉两直线
结论：
对于两一般直线而言，只要其两组同面投影相
互平行，则可判定它们是平行的，如（1）； 对于两特殊直线，特别是侧平线，则需小心判 断，判定方法有三：观察字母顺序，如（2）； 判定定比关系满足否如（3）；作出其W投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
土木工程制图第三章点,直线和平面的投影
投影特性：
b
V
d
a
B
c
A
C
D
空间两直线平行 则其各同面投影必相互 平行；各同名投影的长
a c
度之比相等；各同名投 影的指向相同。
b
dH
AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′、a"b"∥c"d" AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a"b"∶c"d"
土木工程制图
判断方法：
若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间平行。 若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断 两直线在空间平行。 若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该 投影面上的投影来判断；或者通过定比性和指向来判断。
YH
求出 W面投影后可知：
AB与CD不平行。
2.相交两直线
土木工程制图
V c k
a
C
A
Xa
c
投影特点：
b
交点是两直线的共有点
d
B KD
d
k
b
c k a
X
Ha ck
b d
d b
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
判断方法：
土木工程制图
若两直线的三组同面投影都 相交，且交点符合点的投影规律， 则两直线在空间相交；
点、直线和平面的投影
（2）点的投影到投影轴的距离反映空间点到另一投影面的距离，即 a′aX=a″aYW=Aa，也即空间点A到H面的距离；aaX=a″aZ=Aa′，也即空间点 A到V面的距离；a′aZ=aaYH=Aa″，也即空间点A到W面的距离。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离， 即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条 辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的 水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。
图2-10 立体上点的投影
为了统一表达，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平 投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加 撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、 c″。投影与投影之间的连线简称为连影线。
线与投影轴的夹角，分别反映该平面与另外两个投影面的夹角。 （2）在另外两个投影面上的投影均为该平面的类似形。
2）投影面平行面的投影特性
（1）投影面平行面在其所平行的投影面上的投影反映实形。 （2）投影面平行面在另外两个投影面上的投影，分别积聚为平行于 相应投影轴的直线。
为了表示点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离， 即aaX＝a″aZ，可自O点作45°角平分线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条 辅助线交于一点，如图2-10(c)所示。
工程制图
点、直线和平面的投影
一、点的投影
点是立体上最基本的几何元素，一般体现为棱线和棱线的交点，如图2-10(a) 所示的点A。
根据投影关系，主视图上的a′称为点A的正面投影；俯视图上的a称为点A的 水平投影；左视图上的a″称为点A的侧面投影，如图2-10(b)所示。
图2-10 立体上点的投影
为了统一表达，规定空间点用大写字母表示，如A、B、C等；水平 投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正面投影用相应的小写字母加 撇表示，如a′、b′、c′；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、 c″。投影与投影之间的连线简称为连影线。
线与投影轴的夹角，分别反映该平面与另外两个投影面的夹角。 （2）在另外两个投影面上的投影均为该平面的类似形。
2）投影面平行面的投影特性
（1）投影面平行面在其所平行的投影面上的投影反映实形。 （2）投影面平行面在另外两个投影面上的投影，分别积聚为平行于 相应投影轴的直线。
工程制图第三章-点、直线、平面投影
从属于投影面的直线 从属于投影面的铅直线 从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
L AB
c' zA-zB
O ab
c
§2-5 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线重影点投影的可见性判断
例题5 例题6 例题7
一、平行两直线
b'
a'
c'
X
b
a
c
d'
O d
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。 反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也 一定相互平行。
正垂面的迹线表示法
Z
QV
QW
γ
QV
Q
X
α
O
YW
QH YH
S B
A
3．侧垂面
b'
b"
SW b"
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
L AB
c' zA-zB
O ab
c
§2-5 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线 四、交叉两直线重影点投影的可见性判断
例题5 例题6 例题7
一、平行两直线
b'
a'
c'
X
b
a
c
d'
O d
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。 反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也 一定相互平行。
正垂面的迹线表示法
Z
QV
QW
γ
QV
Q
X
α
O
YW
QH YH
S B
A
3．侧垂面
b'
b"
SW b"
第三章_点、直线与平面的投影
31
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四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。 （一）平行两直线 空间平行的两直线，其同面投影也一定互相平行。反之， 若两直线的三面投影都互相平行，则空间两直线也互相平行。 如图3－10所示，空间两直线AB∥CD，则∥、∥、∥。
32
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2
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第一节
点的投影
一、点的投影及其投影规律
（一）点的三面投影图 空间点只有其空间位置而无大小，而点的一个投影不能确 定其空间位置，因此将点A(如图3－1a)置于三投影面体系之中， 过A点分别向三个投影面作垂线(即投射线)，交得三个垂足a、 a’、a” 即分别为A点的H面投影、V面投影、W面投影。
9
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[例3－1]
已知点A(30,10,20),求作点A的三面投影图。
解 作图步骤如下： ①自原点O沿OX轴向左量取x=30,得点 (图3－3a)； ②过作OX轴的垂线，在垂线上自向上量取z=20,得点A的正面 投影，自向下量取y=10,得点A的水平投影； ③过a’作OZ 轴的垂线，得交点。过在垂线上沿方向量取=10, 定出。也可以过O向右下方作45゜辅助线，并过作 垂线与45゜线 相交，然后再由此交点作轴的垂线，与过点且垂直于轴的投影线
第四章点、直线、平面的正投影规律
用迹线表示平面 迹线：平面与投影面产生的交线。 如图4—14。
图4—14用迹线表示平面
空间平面对基本投影面也有三种不同的 位置，即一般位置、垂直位置和平行位置。
在建筑形体上的平面，以投影面垂直面 和平行面居多。
2.一般位置平面
（1）空间关系 一般位置平面对三个投影面都倾斜，简 称一般位置面。该平面与投影面H、V、W的倾角，
（3）一般线对H、V、W面的倾角α、β、 γ,它们的投影都不反映实形。
在读图时，一直线只要有两个投影是倾 斜的，它一定是一般线。
建筑形体上的直线，比较多的不是一般 线，而是平行于投影面的直线和垂直于投影 面的直线。前者称为投影面平行线，后者称 为投影面垂直线。
2.投影面平行线 （1）空间关系
投影面平行线平行于某一个投影面， 但倾斜于其余两个投影面。
点A到W面的距离= a″；A=O ax=点A的 x坐标；
点A到V面的距离= a′；A=O ay=点A的y 坐标；
点A到H面的距离= a ；A=O az=点A 的z坐标。
空间一点A的位置可由其坐标A（x,y,z） 确定，它的三个投影的坐标分别为a（x,y）, a′(x,z)和a″（y,z）（图4-2）。
例如，表4-4第一行的平面ABCD平行于H 面，称为水平面平行面，简称水平面。
4--20 水平面（平行于H面）
（2）投影特点
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两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
a
●
Z a
●
b
●
●
b YW
X
a
●
判断方法
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
b
●
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
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重影点
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
第三章 点、直线、平面 基本内容:
一、点的投影 二、直线的投影 三、平面的投影 四、两直线的相对位置关系
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一、点的投影
点是形体最基本的元素，点的投影是线面体投影的基础。
1.点在一个投影面上的投影
P
a A
P
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
b B3
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2. 投影面平行面
正平面、水平面、侧平面
a
b c a c b
平行于正面投影面——正平面
平行于水平投影面——水平面 平行于侧面投影面——侧垂面
水平投影是 么平面？
ABC是什
a c b
平行面的投影特性：
实形，所以 ABC是水平面
实形 在它所平行的投影面上的投影反映实形。
a●
例2 已知点的两个投影，求第三投影。
Z Z
●
b● b
b 在哪里？
●
a 在哪里？
X
O● b
Y
X
a ● a
O●a
Y
空间点B在哪里？
空间点B在OZ轴上
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空间点A在哪里？ 空间点A在OX轴上
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点的直观图的做法
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两点的相对位置
结论： AB//CD
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例2 判断图中两条直线是否平行。
c c
分析：
a b d
a
d
b
b
c
d a
对于特殊位置直线， 只有两个同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
如何判断？
方法：求出侧面投影
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正平线 ——平行于正面的直线称为正平线 。 侧平线 ——平行于侧面的直线称为侧平线。
γ α γ α
αγ
正平线的投影特点:
正面投影a’b’为倾斜线段，且反映实长及夹角； 水平投影ab平行于OX轴，小于实长； 侧面投影a"b"平行于OZ轴，小于实长。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
●
A●
●
b
●
b
a●
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
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直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
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直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
二、直线的投影
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个 端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
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例 判断点K是否在线段AB上。
方法一：
a k● b
a k● b
a
●
k
b
因k不在a b 上故 点K不在AB上。
方法二：
另一判断法?
应用定比性： 因 ak/kb≠ ak / kb 所以点K不在AB上。
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B2 B1
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2.点的正投影规律
点的第一条正投影规律 一点在两个投影面上的投影，在投影图上的连线，一 定垂直于该两投影面的交线，即垂直于投影轴。
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点的第二条正投影规律
空间一点到某
一投影面的距离，
等于该点在任意 一个与该投影面 垂直的投影面上 的投影到其投影
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线
投影面垂直线读图问题-举例
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(3) 一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
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例1 已知平面由相交的两直线AB、AC 所确定， 试在平面内任作一条直线。 解法一 （利用方法一）
b m a m b n c n c a b d c
解法二 （利用方法二）
b c
d
a
a
有无数个解。
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例2 在平面ABC 内作一条水平线，使其到 H 面的距离为20mm。
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线 水平线 ——平行于水平面的直线称为水平线。
正平线 ——平行于正面的直线称为正平线 。 侧平线 ——平行于侧面的直线称为侧平线。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线 水平线 ——平行于水平面的直线称为水平线。
(1) 投影面平行线
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线
投影面平行线读图问题-举例
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线 铅垂线 ——垂直于水平面的直线称为铅垂线。
正垂线 ——垂直于正面的直线称为正垂线 。 侧垂线 ——垂直于侧面的直线称为侧垂线。
c
分析：ABCD
b
k
d
既然是平面， 则它的对角线必相交。
作图：
a a b k d
1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k′； 2）连接b、d，在bd上求出 k，并连接a、k； 3）在ak上求出c，连接b、c 和d、c，即得该平面的水平 投影；
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c
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四.两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。
a c
c ●
●
a (c )
●
被挡住的投 影加( )
A、C为哪个投
影面的重影点 呢
？
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二、直线的投影
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个 端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
直线对一个投影面的投影特性：
A
● ●
B A● α
●
B
M● B● a(m)(b)
c
垂直面的投影特性： 么平面？
积聚性
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与 投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。
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投影面垂直面读图问题 -举例（面内有垂线）
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2. 投影面平行面
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(2)两直线相交
V a A c
k
C K k c
b d D d
交点符合点 的投影规律
B a c b
k
d
a
b
H
a
c k
d b
投影特性
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
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例 过C点作水平线CD与AB 相交。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投 影轴平行的直线。
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投影面平行面读图问题-举例
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例 参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。
P为正垂面
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S为铅垂面
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R为正平面
3. 一般位置平面
b c a b a b
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特殊位置平面
一般位置平面
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1. 投影面垂直面
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1. 投影面垂直面
正垂面、铅垂面、侧垂面
b c c b
只垂直正面投影面——正垂面
只垂直水平投影面——铅垂面 只垂直侧面投影面——侧垂面 a
a
ABC是铅
垂面。
ABC是什
β
b a
γ
V
a
●
az
O
●
a
W
V
向右翻 转90° a W
a
●
aZ
●
X
ax a H
●
ay
Y
X
aX
A O
●
ay
Y
a 向下翻转 90°
●
aY
Y
H
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点的投影规律
a●
X Z
Z
aZ
O
a ●
Y
X
V
a
●
aZ
●
aX
aX
A O
●
a
W
aY
a
●
aY
H
a
●
Y
aY
Y
aa⊥OZ轴 ① aa⊥OX轴 ② aax= aaz= y = A到V面的距离 aax= aay= z = A到H面的距离 aay= aaz= x = A到W面的距离
(1)两直线平行
b a A a B c C c D
d
V
投影特性
空间两直线平 行，则其各同面投 影必相互平行，反 之亦然。
H
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b
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d
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例1 判断图中两条直线是否平行。
b
d
a
c
a
分析： 对于一般位置直线， 只要有两个同名投影 互相平行，空间两直 线就平行。
c b d
c
投影特性：
三个投影都是类似形。
a
c
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4wenku.baidu.com 平面上的直线和点
(1)平面上取任意直线
如何判断直线在平面内？
方法一：
若一直线通过平面上的两点， 则此直线必在该平面内。
方法二：
若一直线通过平面上的一点，且 平行于该平面上的另一直线， 则此直 线在该平面内。
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在三投影面体系中，直线有三种位置： 投影面平行线 ——平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。 投影面垂直线 ——垂直于某一个投影面的直线。 一般位置直线 ——对三个投影面都是倾斜的直线。
各种位置直线的投影，都应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
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c
k
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●
b c
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例2
已知M点在平面EFG上，求M点的水平投影。
f m
●
h g
e f h g
e
●
m
通过在面内作 辅助线求解
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例3 如图所示，已知一般位置平面ABCD的正面投影和 AB、
AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(3) 一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
一般位置直线的投影特性是：三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。
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二、直线的投影
2. 直线上点的投影
直线上点的投影特性： 直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。 同一直线上两线段实长之比等于其投影长度之比。 由直线上点的投影特性可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的 一个投影(投影面垂直线积聚的投影除外)，求出它的另外两个投影。
b
c● a X a d c k
●
k
d
轴的距离。
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3. 点的三面投影
空间点A在三个投影面上的投影 a a a
V Z a●
●
点A的正面投影 点A的水平投影 点A的侧面投影 空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
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A
X
●
a
O a●
H
W
Y
投影面展开
不动
Z Z
例 习题集P12 3-9。
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三、平面的投影
平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的 同面投影确定。
平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面垂直面 垂直面 平行面 投影面平行面 一般位置平面
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜
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二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线 铅垂线 ——垂直于水平面的直线称为水平线。
正垂线 ——垂直于正面的直线称为正垂线 。 侧垂线 ——垂直于侧面的直线称为侧垂线。
正垂线的投影特点:
正面投影a'b'成为一个点，有积聚性； 水平投影ab垂直于OX轴，且反映实长； 侧面投影a"b"垂直于OZ轴，也反映实长。
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点的投影与点的坐标的关系
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例1 已知点A的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● az
●
a
通过作45°线 使aaZ=aaX
aX
a●
a● aZ
●
a
解法二:
aX
用圆规直接量 取aaZ=aaX
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a m 20 n c b b
c m a
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n
问题：本题有几个解？ 结论：唯一解！
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(2)平面上取点
面上取点的方法——定点先定线
即：找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1 已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b k● a a 利用平面的积聚性求解