哥德巴赫 庞加莱猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。

把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。

1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。

这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。

同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。

现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。

其实，后一个命题就是前一个命题的推论。

哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。

1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。

他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。

这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。

" 欧拉回信说：―这个命题看来是正确的‖。

但是他也给不出严格的证明。

同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。

不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。

事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。

若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。

因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。

18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。

1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。

不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。

关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和(简称―a + b‖问题)进展如下: 1920年，挪威的布朗证明了―9 + 9‖。

1924年，德国的拉特马赫证明了―7 + 7‖。

1932年，英国的埃斯特曼证明了―6 + 6‖。

1937年，意大利的蕾西先后证明了―5 + 7‖, ―4 + 9‖, ―3 + 15‖和―2 + 366‖。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了―5 + 5‖。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了―4 + 4‖。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了―1+ c‖，其中c是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了―3 + 4‖。

1957年，中国的王元先后证明了―3 + 3‖和―2 + 3‖。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了―1 + 5‖，中国的王元证明了―1 + 4‖。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了―1 + 3 ‖。

1966年，中国的陈景润证明了―1 + 2 ‖。

庞加莱猜想庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题（七个千年大奖问题）之一。

2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的菲尔兹奖。

庞加莱猜想是人类在三维空间研究角度解决的第一个难题，也是一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

庞加莱猜想图示缘起如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。

另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

我们说，苹果表面是―单连通的‖，而轮胎面不是。

大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。

这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:―有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。

‖庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。

庞加莱猜想，就是其中的一个。

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：―任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。

‖后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为―高维庞加莱猜想‖。

如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。

或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。

我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。

拿一个气球来，带到这个球形的房子里。

随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。

这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。

但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。

还要假设，这个气球的皮是无限薄的。

好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。

吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

为什么？因为，苹果表面是―单连通的‖，而轮胎面不是。

看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是―随便想想‖就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。

一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。

七个“千禧难题”2000年5月24日，美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个―千禧难题‖（又称世界七大数学难题）之一，这七道问题被研究所认为是―重要的经典问题，经许多年仍未解决。

‖克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个―千年大奖问题‖的解决都可获得百万美元的奖励。

另外六个―千年大奖问题‖分别是：NP完全问题，霍奇猜想（Hodge），黎曼假设（Riemann），杨－米尔斯理论（Yang-Mills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes，简称NS方程），BSD 猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。

提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。

但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。

于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。

早期的证明20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。

但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这庞加莱猜想个问题产生了浓厚兴趣。

他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。

但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。

30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。

帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。

因为他的名字超长超难念，大家都称呼他―帕帕‖（Papa）。

在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。

帕帕以证明了著名的―迪恩引理‖（Dehn's Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：―无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。

‖然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。

在普林斯顿大学流传着一个故事。

直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。

柳暗花明的突破这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。