庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想
庞加莱猜想必定同胚于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。
“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci 流，别人都不晓得，跟我说起。
我觉得这个东西不太容易做。
没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。
”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。
”交道。
据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。
尽管克雷数学研究所没有透露佩雷尔曼是否同意接受这个大奖，但俄罗斯媒体纷纷称，佩雷尔曼对“千禧年数学大奖”和100万美元的奖金丝毫没有兴趣。
证明，我会很高兴。
我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。
”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。
他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。
重新做了一遍。
”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。
还有人做得比这更糟。
当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。
他们容忍那些不诚实的人。
”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。
“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。
现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。
这就是为什么我要退出。
”当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。
”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。
“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。
Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。
“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。
你只能想数学。
其他一切都属于人类的弱点。
”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。
庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想浅谈庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。
2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。
猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间：20世纪这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。
怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。
1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。
什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？
什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？一般来说，庞加莱定理即庞加莱回归定理：在有限体积下的力学体系在足够长时间后总可以回复到初始状态附近。
作为一个物理定理，庞加莱回归定理仿佛预示着历史的重演。
也就是说，历史上发生过的事情，在足够长的时间以后，都会几乎一样的发生。
当然，这只是我们的设想。
庞加莱回归定理还有量子力学版本：有限粒子数的量子体系，在足够长时间以后，回归到初始状态附近。
庞加莱回归定理和热力学第二定律之间有些“矛盾”。
因为热力学第二定理告诉我们，热力学平衡态下有限体积的气体其膨胀是自发的。
这意味着有限体积的气体是不能回到初始状态的。
该如何理解这两个理论之间的“矛盾”呢？事实上，热力学定律只适用于粒子数趋于无穷大的情形，而庞加莱定理则不需要考虑粒子数到底有多少。
换句话说，热力学第二定律是一个近似理论，而庞加莱定理则是更加准确的理论。
但这不代表热力学第二定律就是错误的，相反，我们的宏观世界由于粒子数众多，导致庞加莱回归定理里面的“足够长时间”基本上就是无穷大，所以完全可以认为，热力学第二定律是正确的，不仅如此，热力学第二定律其实是庞加莱定理的特例！至于细思极恐，完全不存在！难道说要为无穷大时间以后发生的事情担心吗？那纯属杞人忧天。
庞加莱猜想，是一个拓扑猜想：一个三维流形如果能同伦等价于一个三维球面，那么该流形一定同胚于三维球面。
一般来说同伦的要求低于同胚。
一个点不能同胚任何三维流形，但是单连通三维流形一定可以同伦与一个点！庞加莱猜想还有一个稍微通俗的说法：三维单连通、闭流形一定同胚于三维球面。
这个猜想的证明在2002年被数学家佩雷尔曼证明了。
且说这么多吧。
数学之美庞加莱猜想
数学之美庞加莱猜想在2000年5月24日时，美国克雷数学研究所(Clay Mathematical Institute)的科学顾问委员会把列出七个'千禧年大奖难题'，他们分别是庞加莱猜想，P对NP问题，霍奇猜想，黎曼假设，杨-米尔斯理论存在性与质量缺口，纳维-斯托克斯方程存在性与光滑性，BSD猜想。
今天我们聊聊庞加莱猜想。
庞加莱猜想就是在1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的、封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
如果认为这个说法太抽象，不容易懂的话，我们不妨做这样一个想象:我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一个巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
随便什么气球都可以(其实对这个气球是有要求的)。
这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以(对形状也有一定要求)。
但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。
还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
接着我们继续吹大这个气球，一直吹。
吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
压了西方五百年的数学难题
压了西方五百年的数学难题对于数学家而言，题目越是简单，解答的过程就越复杂。
我们把时间拨回1504年的法国，那里有一位50岁的数学家，名叫亨利·庞加莱，他提出了一个世纪数学难题——庞加莱猜想。
这难倒了世界所有数学家，可以说是世界最出名的数学难题之一。
庞加莱猜想属于拓扑学领域，是三维几何的一种大胆的猜想。
庞加莱提出的猜想：任何一个单连通的、封闭的三维流形，一定同等于一个三维的球面。
用一句简单的话概括：如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是球体。
把这句话更加形象和通俗易懂地表达，用一根绳任意套住一个物体一圈，然后，将这根绳的两端连接在一起，连接点就是图中的黄点。
在这个黄点上给它施加一个拉力，分别拉动绳子的两端，使绳子朝黄点的方向收缩，直到缩小成为一个点，跟黄点重合，最终绳子完全收回来，就证明这个物体就是球体。
庞加莱猜想如同绳子套球：这根围成圈而收缩成点的绳子代表单连通的、封闭的三维流形，球体的表面代表三维的球面，同胚可认为是等同的意思。
其中，单连通是指绕圈的绳子在球体表面上的任意一个位置，都能完全收回来，收缩成为跟绳子两端点重合的点。
封闭是指绳子两端连接在一起，成为一个闭合的圈。
这个模拟实验可以证明地球是一个球体，在16世纪初，航海家麦哲伦环球航行证明过地球的形状就是球体。
可是，庞加莱却持有不同的观点，他认为麦哲伦的环球证明过于片面，如果绕地球一圈就证明地球是球体，那也有可能是一个“甜甜圈”似的圆环。
假设这个圆环地球的中心是空心的，贯通的南、北两极而形成的，用一根绳朝着蓝色方向收缩，最终绳子跟之前球体表面一样，也能完全收回来，A绳一样。
但是这根绳还有另一种绕法，沿着圆环的空心位置绕圈，结果绳子无法收缩回来，被圆环阻碍着，最终不能证明地球一定是一个球体的理论。
微分流形论中Poincare猜想证明逻辑剖析
微分流形论中Poincare猜想证明逻辑剖析微分流形论中 Poincare 猜想证明逻辑剖析微分流形论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象是微分流形及其上的微分结构。
而 Poincare 猜想是微分流形论中的一个著名问题，由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出。
它断言：每个封闭的三维流形都是三维球面。
该猜想的证明一直是数学界的一个难点和热门问题。
本文将从证明逻辑的角度对 Poincare 猜想进行剖析。
首先，作为一个证明，我们需要明确猜想的假设和约束条件。
Poincare 猜想的假设即“每个封闭的三维流形”，这要求我们研究的对象是封闭的、具有三维特征的流形。
其次，猜想的结论即“都是三维球面”，这表明我们需要证明这些流形在拓扑上等同于三维球面。
为了进行证明，我们可以借助数学上的定理和工具。
首先，我们可以利用 Poincare-Perelman 定理，它是解决 Poincare 猜想的基石。
该定理由格里戈里·佩雷尔曼在2003年提出，并最终在2006年被 Fields 奖授予者证明。
该定理通过引入拓扑学中的“流形的庞加莱猜想”和几何学中的“燃烧流形的热流方程”等概念，建立了一种几何和拓扑的联系，为证明 Poincare 猜想打下了坚实的基础。
其次，我们可以运用微分几何、拓扑学、流形上的测度理论等多个数学工具来推进证明的逻辑。
通过研究流形的性质、拓扑的变形、曲线的变换等，我们可以逐步将三维流形与三维球面进行比较，找出它们之间的共性与差异，并进一步推导出它们是等同的结论。
证明的过程中需要引入符号、定义、引理和定理，以确保推理的准确性和逻辑性。
同时，可以通过图表、方程等方式对证明过程进行可视化，并附上必要的推导步骤和详细说明，以便读者理解和跟随证明的思路。
需要说明的是，Poincare 猜想的证明过程非常复杂，需要具备相当高的数学背景和专业知识。
在此仅对证明的逻辑剖析进行介绍，具体的证明细节和数学运算可以在专业的数学论著中查找。
中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想
中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想中国数学家完成七大难题之庞加莱猜想“七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，而且是中国科学家完成“最后封顶”工作———中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
这引起人们的广泛兴趣：作者是何方“神仙”？中国科学家究竟做出了多大贡献？“七大世纪数学难题”的进展情况如何？第一访谈我们仅是百米冲刺快了0.1秒对于取得的成果，朱熹平教授一连说了三遍“这不算什么”。
他认为，任何科学成就都是很多人一步一步累积的结果，自己只不过是完成了最后一步而已。
问：你们是怎样在众多的研究团队中脱颖而出获得最后的成功的？答：“庞加莱猜想”是当今数学界最热门的难题之一，近两年取得了相当大的突破，刺激了很多人朝着它进行努力。
对我来说，以前觉得这个问题太遥远，近年来觉得越来越接近了。
在全世界这么多研究团队中，我们算是比别人先踏出了一步，或者说是在百米冲刺的最后比别人快了0.1秒，仅此而已。
问：您和曹怀东教授从去年9月底至今年3月一直在哈佛大学向5位数学家进行讲解，这个过程是怎样的？答：我们事先准备得很好，整个过程很成功。
专家们提出的各种问题对我们启发相当大。
做学问最重要的是了解问题，而最大的意义并不在于最后的结果，而是在研究中理解并追究结论的过程。
问:美国的克莱数学研究所曾为世界七大世纪数学难题每道题悬赏百万美元求解,你们是不是会获得这百万美元奖金？答:这笔奖金应该不是由我们获得,而是应该奖励给之前为解开这道难题做出很大贡献的科学家们,像瑟斯顿、汉密尔顿、佩雷尔曼等等。
问：您认为对一名学者来说，如果要想取得成功，什么是最重要的？答：首先一定要有兴趣，对科学有新鲜感，这样才有兴趣去研究。
另外最重要的是持之以恒。
在学术界，并不是最聪明的人能做得最好，往往是走得最久、坚持到最后的人能够做得最好。
作者是何方“神仙”？从来没有“接触过媒体”的曹怀东，终于接受了记者的电话采访。
庞加莱猜想
庞加莱猜想这是一个拓扑学问题，它的讲法有点绕口。
庞加莱猜想讲的是任何一个单连通的、封闭的三维形体，等价于一个三维的球。
所谓连通、封闭就是形体表面任何两个点可以沿着表面的一条线连起来，所谓单连通，就是指不像甜甜圈那样中间被掏空。
我们日常生活中遇到的大部分三维形体都是这样的，比如球、圆柱、长方体、三棱锥、没有把的杯子、馒头、棒球棒等等。
当然，甜甜圈、铁环、拧成了八字形的麻花，都不是。
庞加莱猜想说的是，这些单连通的封闭三维形体，你把它揉揉捏捏，就成了一个球。
这就是图中前五个形状到球的对应。
但是像甜甜圈，你怎么揉也揉不成球，因为中间的“缝”捏不掉。
因此，图中后面两个形状对应不到球上。
庞加莱猜想在我们看来显然是很正确的，但是在数学上，只有公理是显然的，其他任何结论都要经过证明得出，有些时候，越是显然的结论越难证明。
在庞加莱猜想被提出之后的几十年里，世界上有很多数学家试图解决这个结论看似明确的猜想，但是都一无所获。
直到上个世纪60年代，才由美国数学家斯梅尔解决了这个问题的高维（5维）变种，这个变种比原来的问题要容易很多，但是对这些简单却相似问题的研究还是给后人带来了启发。
斯梅尔因此获得了1966年的菲尔兹奖和随后的沃尔夫奖。
1983年，美国数学家弗里德曼证明了庞加莱猜想的4维变种，并且也获得了菲尔兹奖。
在证明这个猜想的过程中，还有数名数学家做出了很大的贡献，获得了菲尔兹奖，但是他们其实离猜想的证明还有很长的距离。
2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成了对庞加莱猜想的证明。
佩雷尔曼可以讲是这个世纪数学界的神人。
他在俄罗斯接受的教育，后来在美国的几所大学里做博士后，大约攒下了10万美元，他觉得这点钱他一辈子就够花了，于是就回到俄罗斯去证明庞加莱猜想了。
他住在妈妈的福利公寓里，每月只花400美元吃饭，然后就把所有的时间用来研究数学了。
2003年，他在一个叫arXiv的网站上贴出了自己对这个定理的完整证明，这个网站是科学家们提交预发表论文的地方。
庞加莱以及庞加莱猜想
庞加莱以及庞加莱猜想
亨利·庞加莱（Henri Poincaré）是19世纪末20世纪初一位
伟大的数学家和物理学家，出生于法国尼斯。
他作出了许多重要的
贡献，包括在几何学、分析学和物理学领域的发展。
其中最著名的
成就之一就是庞加莱猜想。
庞加莱猜想是关于三维空间拓扑学的一个重要猜想。
简单来说，猜想的内容是：任意一条闭合的、不可切割的曲线是否都能被缩成
一个点？这里的“闭合的”意思是指这条曲线的两端能够相连而形
成一个环；“不可切割的”意思是指这条曲线不能被剪开成两条或
多条曲线。
对于二维空间，这个问题是可以被证明的。
但是对于三维空间，庞加莱猜想一直没有被证明，直到世纪末和新世纪初才由格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）给出。
佩雷尔曼的证明是非常
复杂的，需要运用很多高深的数学知识，包括拓扑学、流形论、微
积分和概率论等。
佩雷尔曼的证明使得他赢得了2006年度的菲尔兹奖，被认为是21世纪以来最伟大的数学成就之一。
庞加莱猜想的重要性在于它涉及到了物理学的许多问题。
例如，宇宙学中的暗物质和暗能量问题，就需要借助于这个猜想中的拓扑
学来解决。
此外，还有许多其他的物理学问题也需要用到这个猜想，如量子场论和弦理论等等。
总之，庞加莱以及庞加莱猜想是数学和物理学领域中非常重要
的一部分，它不仅仅是一道数学问题，更是一个激发人们思考和探
索的源泉。
伟大的数学家和物理学家们的成就，让我们认识到了科学的无限可能性和未来的无限可能性。
庞加莱猜想与几何学
数零拾学年，高斯给出了复数的几何表示：纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b表示，如图2所示.这个用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也叫做高斯平面），轴叫做虚轴.图216世纪卡尔丹和邦贝利开始应用虚数，世纪人们逐渐接受虚数，整整经历了300多年的漫长在这一过程中，数学家们大胆猜，小心求证，才使得数系得以扩充.庞加莱（(Henri Poincaré，1854-1912）是法国著名数学家，也是理论科学家和科学哲学家.1904年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想.它在100多年的时间里一直困扰着很多的数学家.庞加莱猜想是克莱（Clay）数学研究所悬赏的七个重大问题之一，它的出现与几何学的发展紧密相关.一、庞加莱猜想庞加莱猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面.简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间里,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球.庞加莱猜想是拓扑学著名的研究问题之一.100多年来，对庞加莱猜想的研究是拓扑学发展的重要动力，包括20世纪60～70年代高维空间的拓扑分类，80～90年代四维空间微分结构的研究.但还有很多问题尚未解决，其中低维空间的拓扑问题仍是非常活跃的研究领域.它与物理紧密联系.举几个例子，1960年，美国著名数学家斯梅尔（S.Smale）将其推广到任意维，并解决了五维及五维以上的广义庞加莱猜想.1982年，美国数学家福里德曼（M.Freedman）解决了四维的广义庞加莱猜想.1980年，美国数学家瑟斯顿（W.Thruston）提出了一般三维空间的几何化猜想，庞加莱猜想是几何化猜想的自然推论.他还验证庞加莱猜想与几何学木心雨庞加莱高斯数零拾学了一大类三维空间确实满足他的猜想.虽然这类空间不包括庞加莱猜想，但为庞加莱猜想的成立提供了强有力的证据.图1球极投影庞加莱猜想中提到了三维球面.那么三维球面有什么特别性质呢？我们不可能直观地看到三维球面，因为我们所在空间就是三维的，也不可能把三维球面放在我们所熟悉的三维空间中，但是我们可以通过类比的方法想象三维球面，通过二维球面来想象或理解三维球面的可能性质.那二维球面有什么特别性质呢？假如说我站在北极点作球极投影（球极投影是发源于《周髀算经》，假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进的。
什么是庞加莱猜想？它有何魅力能让四位数学家获得菲尔茨奖
什么是庞加莱猜想？它有何魅力能让四位数学家获得菲尔茨奖本文转载自【吴国平数学教育】并得到授权添加原创标志！首先，大家一起来试想一个场景：每个人手里都拿着一个苹果，假如我们在这个苹果表面围绕一个可以伸缩的橡皮带，要求既不扯断它，也不能让它离开苹果的表面，最终我们发现这个橡皮带可以慢慢移动收缩成一个点。
你能想象到这个场景吗？如果大家觉得很难理解，非常抽象的话，我们再换一个场景试试。
把我们居住的房间想象成一个球形体，一个球形的房间。
同时，要求这个球形房子没有窗户、没有门，有足够的多空气供大家呼吸。
现在每个人手里都拿着一个气球，来到这个球形的房间里，我们把这个气球吹大（假设气球非常结实，气球的“皮”是无限薄，且不能被吹破）。
假如我们一直吹这个气球，吹到最后会怎么样呢？一位法国数学家庞加莱猜想，气球吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
这样理解起来是不是相对容易很多？换句话说，我们把一个等同球形房间大小的气球，可以慢慢收缩成一个“点”，这就是数学史上非常著名的庞加莱猜想。
了解什么是庞加莱猜想，我们先简单了解一下什么是拓扑学。
拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。
拓扑学只考虑物体间的位置关系，而不考虑它们的形状和大小。
在拓扑学里，最重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。
因此，无论是围绕苹果表面橡皮带，还是可以“填充”整个球形房间的气球，在这个伸缩过程中，保证了连通性与紧致性。
居于这些假设，在1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个看似简单的拓扑学猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
在1905年，庞加莱发现其中的错误，从而修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。
”任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
更直观地讲：一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
庞加莱猜想通俗理解
庞加莱猜想通俗理解稿子一：嘿，朋友！今天咱们来聊聊那个听起来有点神秘的庞加莱猜想。
你知道吗？想象一个超级大的气球，就像那种能充满整个房间的大气球。
这个气球的表面啊，没有任何的破洞或者缺口，而且你不管怎么拉伸、扭曲它，它的性质都不会变。
这其实就有点像庞加莱猜想里说的那个东西。
简单来说，庞加莱猜想就是在研究那些封闭的三维空间。
比如说，咱们生活的这个三维世界，如果把它想象成一个封闭的“大球”，那么不管怎么折腾这个“大球”，只要不把它弄破，它里面的一些关键性质是不会变的。
这就好像一个神奇的魔法，不管这个“大球”被怎么变来变去，它的本质还是那个样子。
是不是感觉有点奇妙？再举个例子，想象一个甜甜圈形状的空间。
按照庞加莱猜想，如果这个甜甜圈的表面是封闭的，没有任何开口，那么它也有一些特别的、不会改变的性质。
反正啊，庞加莱猜想就是数学家们在努力搞清楚这些奇怪又有趣的空间的特点，试图找到一些不变的规律。
虽然听起来有点复杂，但仔细想想，还挺好玩的，对吧？稿子二：亲，咱们来唠唠庞加莱猜想呗！你就想象啊，有一个超级神奇的三维世界，就像一个大大的封闭的城堡。
这个城堡的墙壁啊，没有任何裂缝，没有任何能让东西进出的地方。
庞加莱猜想呢，就是在琢磨这个封闭的三维世界的一些特性。
比如说，你在这个城堡里到处走，不管怎么走，都不会走到奇怪的地方去，也不会突然发现有个地方不对劲。
假设这个城堡可以像面团一样被揉来揉去，但是只要它还是封闭的，没有被撕开或者弄出个洞，那么它就有一些不会变的东西。
就好比说，你记住了城堡里某些地方的特点，就算城堡被揉得乱七八糟，那些特点还是不会消失的。
再比如说，想象一个像足球那样表面全封闭的东西，庞加莱猜想就是在研究它到底有啥特别的、不会因为外界变化而改变的地方。
哎呀，虽然这听起来有点烧脑，但其实仔细想想，不就是数学家们在努力搞清楚这些奇奇怪怪的形状和空间的秘密嘛！是不是还挺有意思的？。
庞加莱猜想
庞加莱猜想庞加莱猜想（Poincaré conjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。
其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
”简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
[1]关于庞加莱亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。
1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，只是其中的一个。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
”历史提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。
但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。
于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
早期的证明20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。
但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。
他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。
但是失之东隅、收之桑榆，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。
数学毕业论文庞加莱以及庞加莱猜想
庞加莱以及庞加莱猜想庞加莱以及庞加莱猜想摘要: 本文首先介绍了109世纪法国数学家庞加莱的生平，接着对＂庞加莱猜想＂的背景及解决过程进行了较为详细的介绍.最后从数学家们在整个庞加莱猜想的证明过程中所做出的努力说明了从事科学研究所必须具备的学术素养和精神品质.关键词：庞加莱；庞加莱猜想；庞加莱猜想证明过程的人文意义.Poincaré and Poincaré Conjecture Abstact : This paper introduces the 19th-century French mathematician Poincarés whole life, and then the background of the " Poincaré Conjecture" and the process of settling are also interpretted in details. Lastly, from the efforts that mathematicians made in proving the Poincaré Conjecture,suggest the importance of the academic qualities and mental quality in scientificresearch.Keywords : Poincaré; the Poincaré Conjecture; humanistic significance of proving the Poinca ré Conjecture.目录中英文摘要 (11)引言……………………………………………………………………………22庞加莱其人…………………………………………………………………32.1 生平……………………………………………………………………32.2 多产的数学天才………………………………………………………42.3 科学探险者……………………………………………………………63 庞加莱猜想…………………………………………………………………63.1 什么是『庞加莱猜想』? ...................................................63.2 百年证明之路..................................................................83.3 看见曙光--「Racci Flow瑞奇流」..........................................103.4 突破瓶颈.....................................................................113.5 世纪猜想变定理 (124)科学的本意…………………………………………………………………13致谢词....................................................................................15参考文献 (1)6【包括：毕业论文、开题报告、任务书】【说明：论文中有些数学符号是编辑器编辑而成，网页上无法显示或者显示格式错误，给您带来不便请谅解。
关于庞加莱(Poincare)猜想
关于庞加莱Poincare猜想你在一张平的橡皮膜上任意画一个圈——一条封闭的没有“８”字那样自交的曲线。
橡皮有弹性，你可以把这个圈变形，变为另一式样的圈，例如变形为一个正方形的边或更令人喜爱的图形——圆。
既然在橡皮的世界中圈与圆可以如此变来变去，我们就用圆做圈的代表。
变化中总有不变的东西，你发现没有，不管圈如何变，总是把平面分割成两部分这点不变。
反过来，如果橡皮平面上的一条闭曲线把平面分割成两部分，那它就是一个没有自交点的圈，方便地说，是一个圆了。
只有一个自交点的“８”字式闭曲线已把平面分成三部分，自交点越多分割出的部分也越多。
我们所用的橡皮品质似乎极好，不但能随意拉伸而且能随意压缩，除非动用刀剪之类工具，否则它永远不破。
当然，如果你肯用脑子想象，那就不需要去寻找这种世上并不存在的橡皮了。
现在，你想象在橡皮体即３维橡皮空间中作一个球面，这个球面可以变形为坑坑洼洼凹凸不平的闭曲面，所谓闭曲面即一个有界、无边缘的曲面。
与平面上的圈一样，球面无论如何变都把空间分割成两部分。
但是反过来就与平面圈不一样了，橡皮体中把空间分割成两部分的闭曲面却不一定是球面。
一个例子是轮胎面，它是闭曲面、把空间分割成两部分，但你没有办法把它变成球面，因为轮胎面有一个中通的“洞”。
不过，索性从“洞”这个东西出发到也可以建立一个判定方法：如果闭曲面没有轮胎面那样中通的“洞”，那它一定是球面。
这个办法看上去简单但有一个缺点，要站到闭曲面外面去看。
有没有办法直接在闭曲面上面找到判定的办法呢？你在球面上任意画一个圈，直观上看这个圈都能在球面上缩成一个点，这个性质叫做单连通。
球面的单连通性可以说得更严格一些：在球面上挖一个洞，就能把带洞球面变形为平面。
球面上任何圈不可能围住整个球面，你在圈外挖一个洞，把带洞球面展成平面，这个圈就变为平面上的圈了。
平面圈在平面上有很多办法收缩到一点，对应到球面上，就得到原球面圈收缩到一点的办法。
轮胎面不是单连通的。
庞加莱猜想的由来与解决
Ｐｏｉｎｃａｒｅ´ 猜测漫谈 梅加强 （南京大学数学系） 一、 引言 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′（庞加莱），法国人，伟大的数学家。
他 １８５４ 年出生于 Ｎａｎｃｙ，１９１２ 年 逝世于 Ｐａｒｉｓ（巴黎）。
Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 对好几个科学分支，例如分析、数论、拓扑以及天体物理都有重要贡献，代数拓扑学也是他发明的。
（Ｐｏｉｎｃａｒｅ′， １８５４－１９１２） １９０４ 年，Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 在他的著作 Cinqui`eme Compl e´ment `a L’Analysis Situs提出了下面的问题：单连通的闭的３维流形是否同胚于３维球面？ 这个问题后来被人们称为 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 猜测，这个猜测直到１００年以后的今天才被俄罗斯数学家Ｐｅｒｅｌｍａｎ 解决。
在本次讲座中，我们的目的是围绕着 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 猜测介绍一些近代数学的基本概念，例如，在该猜测的表述中，象“单连通”、“闭”、“３维”、“流形”、“同胚”、“３维球面”等这些名词都是什么意思呢？这些名词都是现代几何学和拓扑学中的概念，要真正弄懂它们是很不容易的，我们希望通过举一些例子来使大家对这些概念有一个初步的印象。
如果有同学能对此感兴趣，以后在大学里能进一步学习深造并对数学有所贡献那是再好不过的了。
二、 什么是拓扑 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 猜测是拓扑学（Ｔｏｐｏｌｏｇｙ）范畴里的一个问题，什么是拓扑学，拓扑学研究哪些问题呢？要准确地回答这些疑问是困难的，我们先从一个例子开始。
１．哥尼斯堡七桥问题（Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ’ｓ Ｂｒｉｄｇｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ） １８世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有７座桥，将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍７座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点，这就是七桥问题。
七桥问题这个问题人们试了很多办法都没能解决，直到引起了瑞士数学家Ｅｕｌｅｒ（欧拉）的注意。
庞加莱猜想 通俗解释
庞加莱猜想通俗解释
庞加莱猜想是一个数学难题，它涉及到拓扑学中的三维球形空间，也就是说，我们可以把它看作是地球的三维球形表面。
在这个猜想中，庞加莱提出了一个问题：如果一个物体被放置在这个三维球形空间中，那么它是否可以通过拉伸、收缩、弯曲等方式变形成一个球？
这听起来很简单，但实际上这是一个非常复杂的问题。
庞加莱猜想已经存在了超过一个世纪，直到现在也没有得到完全的证明。
为了更好地理解它，我们可以想象一个球形气球。
我们可以把气球放在一个大盒子里，然后对气球进行各种变形，比如拉伸、弯曲、收缩。
最终，我们是否可以将它变形成一个球？
庞加莱猜想的答案可能会影响到整个数学领域，因为它涉及到拓扑学的基础问题。
虽然现在还没有完全证明，但许多数学家正在致力于解决这个问题，相信很快我们就能得到答案。
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共同解决“终极boss”庞加莱猜想——《数学女孩6：庞加莱猜想》
共同解决“终极boss”庞加莱猜想——《数学女孩6：庞加莱猜想》《数学女孩》系列把由浅入深的数学思考隐藏在日常的高中生活之中，通过轻松的对话和讨论，给严肃枯燥的数学推导披上了一层青春小说的外衣，让翻开书、读下去、想清楚、记下来的过程也更加轻松愉快，帮助读者真正地掌握数学知识、理解数学定理，将数学思维更好地运用到数学考试中去。
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普通的人物关系描述之下，读者们已经可以感受到这本书的独特之处了。
区别于普通数学书常规的逻辑，“数学女孩”系列并不是由作者作为老师来向读者输出知识，而是在书中角色的提问、讨论和争论中，推动数学定理的推导。
表妹尤里是在“我”的带动下喜欢上数学，她和学妹泰朵拉扮演提出问题的角色，而数学能力出众的才女米尔嘉和我担任解答问题的角色，会在对话中引导尤里和泰朵拉进行思考，计算机达人理莎则会给所有人从程序执行的角度给出思路。
弦论走到了庞加莱猜想（3）
弦论走到了庞加莱猜想（3）弦论走到了庞加莱猜想（3）三、庞加莱猜想喜忧参半吗？1、弦论的倒车镜吃透弦论的“精髓”，弦论是沿着20世纪初爱因斯坦相对论开创的几何化方向在前进。
这辆“轿车”朝微观针尖一端的“公路”越开越远，已到了“无”的境界。
当然这不是真的“砸开”物质的研究，而一种数学的描述，争论也由此而起。
众多批评者说它未能以一种简便易行的实验来证实该理论。
我们说“无法证实”说是一种误导。
弦论的数学方程类似“倒车镜”。
弦论的前方，它不说；说了，前方可能存在更多不同的宇宙和高维空间等太多无法证实的观点。
有人说，也只是他个人预测的虚像。
在倒车镜中找虚像，确实永远无法证实；但倒车镜展出的映像却有实在的。
弦论盯着“倒车镜”，是它映射的“后方”的“景物”。
凭据这些“后方”的“景物”，是虚是实，一是可以用实验检验，二是也可知道这条“公路”的情况和车前进到的地点。
这一点也不含糊。
A、我们虽是业余研究弦论的，但是在1968年維尼奇亚诺之前，继卡路扎－克林之后，坚持第五维是类似圈态模型的曲点或环量子，三旋理论就是在此基础上提出来的。
1982年第3期《潜科学》发表的《自然全息律》，是我国改革开放后才得以披露它已早出生存在的证明。
1996年我们在《大自然探索》第3期发表的《物质族基本粒子质量谱计算公式》，是三旋理论的一个“倒车镜”报道。
其中根据数学计算，希格斯玻色子的质量存在一个质量微单元的最小单位，就是0.01乘10的-11次方GeV。
当时我们本来已经知道国际科学主流认为希格斯玻色子的质量大于100GeV。
但10年过去，国际上已有科学实验检验W玻色子质量的精确测量，结果表明希格斯介子比以前国际科学主流估计的还要轻。
这对希格斯玻色子的质量有微单元，是个好消息。
B、三旋环量子弦论的数学表明，环量子有两种描述，一是“物质”形体描述，另一是“能量”密码描述。
类似把东西看作“物质”，是用“仪器”眼睛看出来的；把声音看作“能量”，是用“仪器”耳朵听出来的。
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庞加莱猜想浅谈
庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。
2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里•佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。
猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：
任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。
粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。
该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。
对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间：
20世纪
这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。
怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。
1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。
1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。
这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。
这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。
1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。
1982年，理查德·哈密顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。
在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。
21世纪
在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的
细节。
这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。
数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
2010年3月18日，克雷数学研究所对外公布，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼因为破解庞加莱猜想而荣膺千禧年大奖。
在颁奖之后，关于猜想的第一证明者的归属问题在学术界曾引发激烈争议：2006年6月3日，曹怀东和朱熹平公开声称佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明中有漏洞，由他们补全，做出最终证明，于《亚洲数学期刊》发表论文。
据报道，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平才是第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。
2006年8月28日出版的《纽约客》杂志发表西尔维亚·娜莎和大卫·格鲁伯的长文《流形的命运——传奇问题以及谁是破解者之争》。
该文介绍了佩雷尔曼等人的工作并描画了“一个令人厌恶的丘成桐的形象，暗示他为他的学生曹怀东和他支持的朱熹平的工作宣传了过多的功劳。
”，因曹怀东与朱熹平的论文未经同行评审，丘成桐被质疑以期刊主编的身份，发表有利于他们研究团队的论文成果。
此文发表后，引发了很大争议。
丘成桐表示可能采取法律行动，由律师发出信函，要求杂志更正，包括汉密尔顿在内的多名数学家发表声明表示文章没有正确地反映他们对丘的评价。
一名加州理工学院的研究者指出曹、朱论文中引理7.1.2与克莱纳和洛特2003年发表的成果几乎完全相同。
据此，洛特指责曹和朱两人有剽窃的行为。
此后，曹怀东和朱熹平在原刊发表纠错声明，确认了此引理是克莱纳和洛特的成果，解释没有指明出处是由于编辑上的差错，并为此向两位原作者致歉。
在12月发表的修正论文《庞加莱猜想与几何化猜想的汉米尔顿－佩雷尔曼证明》（Hamilton-Perelman's Proof of the Poicare Conjecture and the Geometrization Conjecture）中，曹怀东与朱熹平不再宣称是由他们做出最终证明，他们的工作只是对汉米尔顿－佩雷尔曼证明做出详尽阐述。
至此这一困扰人类一个世纪的数学证明才算是落下了帷幕。