最小二乘曲线拟合与参数辨识
最小二乘参数辨识的matlab仿真程序注释与剖析
最小二乘一次完成算法的MATLAB 仿真 例2-1 考虑仿真对象
)()2(5.0)1()2(7.0)1(5.1)(k v k u k u k z k z k z +-+-=-+-- (2-1)
其中，)(k v 是服从正态分布的白噪声N )1,0(。输入信号采用4阶M 序列，幅度为1。选择如下形式的辨识模型
)()2()1()2()1()(2121k v k u b k u b k z a k z a k z +-+-=-+-+ (2-2)
设输入信号的取值是从k =1到k =16的M 序列，则待辨识参数
LS θˆ为：LS
θˆ=L τL 1L τL z H )H H -( （2-3）
其中，被辨识参数LS
θˆ、观测矩阵z L 、H L 的表达式为 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2121ˆb b a a LS
θ,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=)16()4()3(z z z L z ，
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢
⎢
⎢⎣⎡------=)14()2()1()15()3()2()14()2()1()15()3()2(u u u u u u z z z z z z L H
(2-4)
例2-1程序框图如图2.1所示：
例2-1Matlab仿真程序如下：
%二阶系统的最小二乘一次完成算法辨识程序，文件名：FLch3LSeg1.m
u=[-1,1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,1]; %系统辨识的输入信号为一个周期的M序列
z=zeros(1,16); %定义输出观测值的长度
for k=3:16
z(k)=1.5*z(k-1)-0.7*z(k-2)+u(k-1)+0.5*u(k-2); %用理想输出值作为观测值end
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用
1. 最小二乘法的原理
最小二乘法是一种常用的数学优化方法，其原理是通过最小化残差平方和来寻
找数据的最佳拟合线或曲线。当数据存在随机误差时，最小二乘法可以有效地估计模型参数。
最小二乘法的基本原理可以概括为以下几个步骤：
1.首先，假设模型的形式，如线性模型：y=mx+b。
2.然后，定义一个衡量模型拟合程度的误差函数，通常采用残差的平方
和：$E(m, b) = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - (mx_i + b))^2$。
3.接下来，根据最小二乘法的原理，我们需要通过对误差函数求偏导数，
得出使误差函数最小化的模型参数。
4.最后，通过优化算法，如梯度下降法等，迭代地调整模型参数，使误
差函数达到最小值，从而获得最佳拟合模型。
最小二乘法的原理非常简单和直观，因此被广泛应用于各个领域，如统计学、
经济学、工程学等。
2. 最小二乘法的应用
最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
2.1 线性回归
线性回归是最小二乘法最常见的应用之一。在线性回归中，最小二乘法用于估
计自变量与因变量之间的线性关系。通过最小化残差平方和，我们可以找到一条最佳拟合直线，从而对未知的因变量进行预测。线性回归广泛应用于经济学、社会学等领域，帮助研究者探索变量之间的相互关系。
2.2 曲线拟合
最小二乘法还可以用于曲线拟合。当我们需要拟合一个非线性模型时，可以通
过最小二乘法来估计参数。通过选择适当的模型形式和误差函数，可以得到最佳拟合曲线，从而准确地描述数据的变化趋势。曲线拟合在信号处理、图像处理等领域具有重要的应用。
第五章 最小二乘法辨识
❖ 将 e(k) 称为残差。把 k n 1,n 2, ,n N 分别代入上 式可得残差 e(n 1),e(n 2), ,e(n N) 。设
e e(n 1) e(n 2) e(n N)T
❖ 则有
^
e y y y
❖ 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照目
标函数
J
eT e
^
是具有无
偏性的，即
E ^
LS
❖ 其中 表示参数的真实值
❖ 证明：令误差向量 [ (1), (2), , (N)]T ，由式（8） 可知
yN
❖ 将它代入（10）式得
^
T N
N
1
T N
❖ 对上式两边取数学期望，并应用 (k) 为独立，零均
值得统计特性，可得
E
^
E
E
T N
为了尽量减少噪声 对 估值 的影响，应
取
N (2n 1)
❖ 此பைடு நூலகம்，要采用数理统计的方法求 的值，以 减少噪声对 估计值的影响。
最小二乘估计算法
❖
设
^
表示
的最优估值，y^
表示 y
的最优估值，则
有
^
^
y
❖ 式中
^
y(n
1)
^
y
^ y(n
2)
基于最小二乘法的系统参数辨识
基于最小二乘法的系统参数辨识
吴令红，熊晓燕，张涛
太原理工大学机械电子研究所，太原 (030024)
E-mail lhwu0818@
摘要：系统辨识是自动控制学科的一个重要分支，由于其特殊作用，已经广泛应用于各种领域，尤其是复杂系统或参数不容易确定的系统的建模。过去，系统辨识主要用于线性系统的建模，经过多年的研究，已经形成成熟的理论。但随着社会、科学的发展，非线性系统越来越受到人们的关注，其控制与模型之间的矛盾越来越明显，因而非线性系统的辨识问题也越来越受到重视，其辨识理论不断发展和完善本。文重点介绍了系统参数辨识中最小二乘法的基本原理，并通过悬臂梁模型的辨识实例，具体说明了基于最小二乘法参数辨识在Matlab 中的实现方法。结果表明基于最小二乘法具有算法简单、精度较高等优点。
关键词：系统辨识；参数辨识；滑动平均模型(ARX)；最小二乘法；Matlab
中图分类号：TH-9
1. 引言
所谓辨识就是通过测取研究对象在人为输入作用下的输出响应，或正常运行时的输入输出数据记录，加以必要的数据处理和数学计算，估计出对象的数学模型。这是因为对象的动态特性被认为必然表现在它的变化着的输入输出数据之中，辨识只不过是利用数学的方法从数据序列中提炼出对象的数学模型而已[1]。
最小二乘法是系统参数辨识中最基本最常用的方法。最小二乘法因其算法简单、理论成熟和通用性强而广泛应用于系统参数辨识中。本文基于悬臂梁的实测数据，介绍了最小二乘法的参数辨识在Matlab中的实现。
2. 系统辨识
一般而言，建立系统的数学模型有两种方法：激励分析法和系统辨识法。前者是按照系统所遵循的物化（或社会、经济等）规律分析推导出模型。后者则是从实际系统运行和实验数据处理获得模型。如图1所示，系统辨识就是从系统的输入输出数据测算系统数学模型的理论和方法。更进一步的定义是L.A.Zadeh曾经与1962年给出的，即“系统辨识是在输入和输出的基础上，从系统的一类系统范围内，确立一个与所实验系统等价的系统”。另外，系统辨识还应该具有3个基本要素，即模型类、数据和准则[5]。被辨识系统模型根据模型形式可分为参数模型和非参数模型两大类。所谓参数模型是指微分方程、差分方程、状态方程等形式的数学模型；而非参数模型是指频率响应、脉冲响应、传递函数等隐含参数的数学模型。在辨识工程中，模型的确定主要根据经验对实际对象的特性进行一定程度上的假设，如对象的模型是线性的还是非线性的、是参数模型还是非参数模型等。在模型确定之后，就可以根据对象的输入输出数据，按照一定的辨识算法确定模型的参数[4]。
最小二乘法辨识参数
姓名：廖伟学号：201221014368 专业：控制工程增广型递推最小二乘法仿真
第一种模型的仿真程序：
%选择的模型结构（递推最小二乘法）：Y=Fai*theta+E
%输入u为一个伪随机序列
L=10;
y1=1;y2=1;y3=1;y4=0;
for i=1:L;
x1=xor(y3,y4);
x2=y1;
x3=y2;
x4=y3;
y(i)=y4;
if y(i)>0.5,u(i)=-0.1;
else u(i)=0.1;
end
y1=x1;y2=x2;y3=x3;y4=x4;
end
v=randn(1,10);
y(1)=0;y(2)=0;%设定输出的初始值y(0),y(1)
theta0=[0.01;0;0.01;0;0.01];%给出待辨识参数的初始值
P0=10^6*eye(5);%生成初始矩阵7x7的单位阵
E=0.00005;%E为递推结束的条件
%下面进行递推运算
for k=3:10
y(k)=1.5*y(k-1)-0.7*y(k-2)+1.0*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k);%产生输出y Fai1=[-y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2) v(k)]';%生成实测数据组
Fai1
K1=P0*Fai1/(1+Fai1'*P0*Fai1);
theta1=theta0+K1*(y(k)-Fai1'*theta0);
e1=theta1-theta0;
%e2=e1/theta1;
P1=P0-K1*Fai1'*P0;
theta0=theta1;%供下次递推使用
P0=P1;%供下次递推使用
第四章最小二乘参数辨识方法及原理
y n 1
n 1
y
y
n
2
,
a
an
，
n
2
y
n
N
b
b0
n N
bn
第二十五页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
Y为输出值 y 1，y 2， ，y n N 1所组成的 N n阵块； U为输 入值 u1，u 2， ，u n N 所组成的 N n 1矩阵块。即
v(k )
u(k )
x(k )
y(k )
G(k)
一个单输入－单输出线性定常系统可用图4-1表示。系统的差分 方程为
xk a1xk 1 a2x k 2 anx k n
b0u k 1 b1u k 2 bnu k n
k 1,2, (4-1)
u(k) 为系统的第 k 个输入值; x(k) 为系统输出量的第 k 次真值; y(k) 为系统输出量的第 k 次观测值;
4、能够编程实现最小二乘参数辨识
第三页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
回顾
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意
义下，估计模型的未知参数。
Input
Process
Output
工程实践
目的
模型结构
模型确定
模型校验
参数辨识
第四页，编辑于星期五：十九点 二十六分。
第五章 最小二乘参数辨识方法 第十二讲
《系统辨识基础》第12讲要点
第5章 最小二乘参数辨识方法
5.1 辨识方法分类
根据不同的辨识原理，参数模型辨识方法可归纳成三类：
① 最小二乘类参数辨识方法，其基本思想是通过极小化如下准则函数来估计模型参数：
min )()ˆ
(ˆ==
∑=θ
θL
k k J 1
2
ε
其中)(k ε代表模型输出与系统输出的偏差。典型的方法有最小二乘法、增广最小二乘法、辅助变量法、广义最小二乘法等。
② 梯度校正参数辨识方法，其基本思想是沿着准则函数负梯度方向逐步修正模型参数，使准则函数达到最小，如随机逼近法。
③ 概率密度逼近参数辨识方法，其基本思想是使输出z 的条件概率密度)|(θz p 最大限
度地逼近条件0θ下的概率密度)|(0θz p ，即)|()ˆ
|(0m a x
θθz p z p −−→−。
典型的方法是极大似然法。
5.2 最小二乘法的基本概念
● 两种算法形式
① 批处理算法：利用一批观测数据，一次计算或经反复迭代，以获得模型参数的估计值。
② 递推算法：在上次模型参数估计值)(ˆ
1-k θ的基础上，根据当前获得的数据提出修正，进而获得本次模型参数估计值)(ˆ
k θ，广泛采用的递推算法形式为
() ()()()~()
θθk k k k d z k =-+-1K h
其中)(ˆ
k θ表示k 时刻的模型参数估计值，K (k )为算法的增益，h (k -d ) 是由观测数据组成的
输入数据向量，d 为整数，)(~k z 表示新息。
● 最小二乘原理
定义：设一个随机序列)},,,(),({L k k z 21∈的均值是参数θ 的线性函数
最小二乘参数辨识方法及原理
Gauss（1777-1855）
2、最小二乘辨识方法的基本概念
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ()
t1 R1
t2 R2
t N 1 RN 1
tN
RN
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
yi Ri vi 或 yi a bt vi
零偏 标度因数 输出轴灵敏 度误差系数 二阶非线性 误差系数 摆轴灵敏度 误差系数
1、问题的提出——惯性器件标定
y K F K I aI KO aO K P aP K IO aI aO KOP aO aP
2 2 KPI aP aI KII aI2 KOO aO KPPaP
1、问题的提出——景像匹配
x2 a0 a1 x a 2 y y 2 b0 b1 x b2 y
f r x, y h0 h1 f c a0 a1 x a2 y, b0 b1 x b2 y nx, y
1、问题的提出——景像匹配
Y ( x, y) X T ( x, y)W v( x, y)
i 1,2,, N
1、问题的提出
y(t ) a0 a1h1 (t ) a2h2 (t ) an hn (t )
最小二乘法辨识 python
最小二乘法是一种常用的数据拟合和参数估计方法，在数据分析和机
器学习中有着广泛的应用。在Python中，可以使用numpy和scipy
等库来实现最小二乘法的参数估计，并对模型进行拟合和预测。本文
将介绍最小二乘法的原理，以及在Python中如何实现最小二乘法的
参数估计和模型拟合。
一、最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化方法，其目标是找到使观测数据与模型预
测值之间残差平方和最小的参数值。假设有观测数据集$(x_1, y_1),
(x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，要拟合一个模型$y = f(x,
\boldsymbol{\beta})$，其中$\boldsymbol{\beta}$是模型的参数向量。最小二乘法的目标是找到使残差平方和
$S(\boldsymbol{\beta})$最小的参数值$\boldsymbol{\beta}^*$，
即
\[\boldsymbol{\beta}^* = \arg\min_{\boldsymbol{\beta}}
S(\boldsymbol{\beta}) = \arg\min_{\boldsymbol{\beta}}
\sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i, \boldsymbol{\beta}))^2\]
最小二乘法是一种最优化问题，可以通过求解最优化问题的一阶或二
阶条件来得到参数估计的闭式解。
二、Python实现最小二乘法的参数估计
在Python中，可以使用numpy和scipy等数值计算库来实现最小二乘法的参数估计。首先需要定义模型函数$f(x, \boldsymbol{\beta})$，
数学专业毕业论文-最小二乘法的应用研究
最小二乘法的应用研究
如需要图纸等资料，联系QQ1961660126 如需要图纸等资料，联系QQ1961660126
如需要图纸等资料，联系QQ1961660126
最小二乘法的应用研究
摘要
最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识,并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用.然而,最小二乘法因其抽象、难懂常常不能被准确理解.本文探讨了最小二乘法的基本原理及其各种变形的拟合方法,其中包括:一元线性最小二乘法拟合、多元线性拟合、多项式拟合、非线性拟合,并且讨论了用镜像映射和切比雪夫多项式解“病态”矛盾方程组的基本原理和方法,在此基础上给出了几种最小二乘法程序的设计原理.
关键词：最小二乘法,线性拟合,曲线拟合,切比雪夫多项式
Study on the Application about Method of Least Square
Abstract
Least square was used to estimate parameters and identify system of regression model, by the point of error fitting. And it has widely application in the parameters estimate, system identification, prediction, forecasting and other fields. However, the least square method because of its abstract and difficult ，often can not be accurately understanding. The least square method’s principle and the various kinds of fitting methods such as the linear least square fitting, multiple linear fitting, polynomial fitting a nonlinear fitting are dealt with. And discussed using mirror and Chebyshev polynomial solution pathological contradictory equations basic principles and methods. Finally some kinds of the principle of the programs on the least square method are given.
机械系统动态特性的参数辨识方法
机械系统动态特性的参数辨识方法引言
机械系统是由各种机械部件组成的复杂系统，研究其动态特性的参数辨识方法
对于系统设计、运行优化具有重要意义。本文将探讨几种常见的机械系统动态特性参数辨识方法。
一、频域法
频域法是一种常用的参数辨识方法，它通过分析机械系统在不同频率下的响应
来确定系统的动态特性参数。常见的频域方法包括频域曲线拟合法和频域变换法。
1. 频域曲线拟合法
频域曲线拟合法利用已知的频域响应数据，采用最小二乘法拟合出机械系统的
频率响应曲线。通过拟合出来的曲线，可以得到系统的共振频率、阻尼比等动态特性参数。
2. 频域变换法
频域变换法主要利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，分析其频谱特性。通过对频谱进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率响应函数，从而得到系统动态特性的参数。
二、时域法
时域法是另一种常见的参数辨识方法，它通过分析机械系统在时间上的响应来
确定系统的动态特性参数。常见的时域方法包括自回归模型法和状态空间法。
1. 自回归模型法
自回归模型法是一种基于统计的参数辨识方法，它将机械系统的动态响应建模
为一个自回归模型，通过最小二乘法拟合出最佳的自回归模型参数。通过分析自回归模型的系数，可以得到系统的动态特性参数。
2. 状态空间法
状态空间法是一种将机械系统建模为状态方程的参数辨识方法。通过观测系统
的输入和输出信号，可以建立系统的状态方程，并通过最小二乘法拟合出最佳的状态方程参数。通过分析状态方程的矩阵，可以得到系统的动态特性参数。
三、模型识别法
模型识别法是一种通过建立机械系统的数学模型来辨识系统的动态特性参数的
oringe中的最小二乘法拟合
oringe中的最小二乘法拟合
在数据分析、机器学习以及科学计算中，最小二乘法拟合是一种常见且重要的方法。在Oringe（这里可能是指Origin，一款科学绘图和数据分析软件）中，最小二乘法拟合被广泛应用于从实验数据中提取有用的信息。
最小二乘法拟合的基本原理是找到一条曲线（在最简单的情况下是一条直线），使得这条曲线与数据点的总体误差最小。这里的误差通常定义为数据点到曲线的垂直距离的平方和。通过最小化这个平方和，我们可以得到最佳拟合曲线。
在Origin中进行最小二乘法拟合通常涉及以下步骤：
导入或输入数据：首先，你需要将你的实验数据导入Origin中。这可以通过从文件导入或直接输入数据来完成。
选择拟合类型：Origin提供了多种拟合类型，包括线性拟合、多项式拟合、指数拟合等。你需要根据你的数据特性和分析目的选择合适的拟合类型。
执行拟合：在选择了拟合类型后，你可以通过点击相应的按钮或菜单项来执行拟合。Origin会自动计算拟合参数，并生成拟合曲线。
分析结果：拟合完成后，Origin会提供一系列拟合结果，包括拟合参数、拟合优度统计量（如R平方值）以及残差图等。你可以根据这些结果来评估拟合的质量和数据的可靠性。
需要注意的是，虽然最小二乘法拟合在许多情况下都非常有效，但它也有其局限性。例如，它假设误差是随机且正态分布的，这在某些情况下可能不成立。此外，当数据存在异常值或非线性关系时，最小二乘法拟合可能会产生误导性的结果。因此，在使用最小二乘法拟合时，需要谨慎考虑其适用性和局限性。
基于最小二乘法的Bouc-Wen模型参数辨识
基于最小二乘法的Bouc-Wen模型参数辨识
摘要：Bouc-Wen模型是工程中应用比较广泛的一种迟滞模型，能够产生一系列不同的光滑滞回曲线，但在实际应用中，因其数学表述上的复杂和参数物理意义不明确而使得其参数辨识存在一定的难度。文中提出一种基于最小二乘法原理的参数辨识方法，它根据系统的输入和输出直接辨识模型中的待定参数，通过在电梯导靴摩擦力建模中的应用表明该方法辨识精度较高，具有较好的实际应用价值。
关键词：Bouc-Wen模型迟滞参数辨识最小二乘法
在工程中，大量存在着迟滞的非线性恢复力，当过程具有周期性时就表现为迟滞环，例如，系统中存在弹性与库仑干摩擦力，反复加载、卸载下的弹塑性材料变形，铁磁元件中的磁滞特性，材料内部阻尼性质等都会出现滞回特性。描述滞回特性的模型有很多，而Bouc-Wen模型[1]因其光滑的滞回特性和较强的通用性而得到广泛的应用。目前对Bouc-Wen模型参数辨识比较有代表性的方法是Hoon W[2]所采用的两步辨识方法，即在第一步中假定部分参数的取值，通过线性最小二乘法辨识出其余参数的取值，第二步中以第一步中的假定值和辨识值作为初值，进行牛顿迭代从而确定所有参数的最终取值。这种方法的一个最大不足就是当假定初值取值不好时，会造成迭代过程收敛很慢甚至发散。该文在分析Bouc-Wen模型中参数特点的基础上，采用数学变换将Bouc-Wen模型表达式转变为关于参数的线性表达式，然后提出了一种基于线性最小二乘法原理的参数辨识方
法。
1 Bouc-Wen迟滞非线性模型
Bouc-Wen模型的非线性迟滞力z由以下微分方程决定：
系统辨识—最小二乘法
最小二乘法参数辨识
1 引言
系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。现代控制理论中的一个分支。通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。
2 系统辨识的目的
在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。通过辨识建立数学模型通常有四个目的。
①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。
②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。
MIMO系统最小二乘法参数辨识
最小二乘法特点
2. 上式中生成的a_i，b_i当做未知参数theta的分量 3. 写成最小二乘表达法
4. 求出a_i,b_i,得到离散传递函数（1步） 5. 由离散传递函数求得连续传递函数。
MIMO特点 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
状态空间表达式一般为
要想用最小二乘法辨识，有如下两个问题 1. 状态变量X需要消去
状态空间表述特点
传统的SISO一般用传递函数表示，是在频域范围内；状态空间形 式的MIMO是时域的，更适合计算机迭代运算。 MIMO系统是飞行控制系统的经典形式，现代先进的控制律设计一 般都是基于状态空间形式的MIMO系统进行。
F16横航向某状态
最小二乘法特点
最小二乘法只能处理如下的形式 其中，Y为Nx1的列向量，H为矩阵，r为参数列向量
s^2 + 2.545 s + 3.24 为了计算机便于计算，需要离散化后，得到离散格式的传递函数 dsys，对得到的dsys使用扫频信号u激励，得到输出y。根据得到 的u和y，辨识得到离散的传递函数dsysL，然后得到连续传递函数 sysL。
过程数据
辨识得到的结果
响应曲线验证
最小二乘法特点
但是对于飞机控制系统的多输入多输出系统（MIMO），一般用子 空间的方式描述，不能写成上述表达形式，因此需要适当变形。
最小二乘参数辨识方法及原理
式中，
X (x,
y)
=
[1,
fc Байду номын сангаас,
y,
f
' cx
(
x,
y) ,
f
' cx
(
x,
y)
x
,
y
,
f
' cy
(
x,
y) ,
f
' cy
(
x,
y)
x
,
f
' cy
(
x,
y)
y
]T
；
Y (x, y) ＝ fr (x, y) fc (x, y) ；
W ＝[ dh0 , da0 , da1, da2 , db0 , db1 , db2 ] T ；
3
1、问题的提出
例：表中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据 测量值确定该电阻的数学模型。
热敏电阻的测量值 t (C) 20 32 51 73 88 95 R () 765 826 873 942 1010 1032
4
1、问题的提出
辨识目的：根据过程所提供的测量信息，在某种准则意 义下，估计模型的未知参数。
1、问题的提出
1795年，高斯提出的最小二乘的基本原理是
未知量的最可能值是使各项实
际观测值和计算值之间差的平方乘
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解：由题意得量测方程
Z 2 H 2 V2
z1 Z2 z2
1 H2 1
r 0 R 0 4r
2.2 一般最小二乘法原理及算法
Z 2 H 2 V2
z1 Z2 z2
1 H2 1
• 高斯自己独创了一套行星轨道计算 理论。 • 高斯仅用1小时就算出了谷神星的 轨道形状，并进行了预测 •1794年，高斯提出了最小二乘的思想。
1794年，高斯提出的最小二乘的基本原理是 未知量的最可能值是使各项实际观测值和计算
值之间差的平方乘以其精确度的数值以后的和为最
小。
2、最小二乘辨识方法的基本概念
1 1
5r r 4
2.3 加权最小二乘法原理及算法
一般最小二乘估计精度不高的原因之一是对测量数据同等对待 各次测量数据很难在相同的条件下获得的 有的测量值置信度高，有的测量值置信度低的问题 对不同置信度的测量值采用加权的办法分别对待
置信度高的，权重取得大些；置信度低的，权重取的小些
式中 为待估参数。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
z (k ) h(k ) v(k )
令 k 1,2,, m ，则有
z (1) h(1) y(0) z (2) h(2) y(1) Hm Zm z ( m) h(m) y(m 1) y(1 n) u (0) y(2 n) u (1) y(m n) u (m 1) u (1 n) u ( 2 n) u ( m n)
y(k ) ai y (k i) bi u (k i)
i 1 i 1
n
n
2.2 一般最小二乘法原理及算法
v(k ) u (k ) G (z ) y (k ) z (k )
图 3.4 SISO 系统的“黑箱”结构
若考虑被辨识系统或观测信息中含有噪声
z (k ) ai y(k i) bi u (k i) v(k )
i 1 i 1 n n
如果定义
h(k ) [ y(k 1), y(k 2),, y(k n),u(k 1),u(k 2),, u(k n)]
[a1 , a2 ,, an , b1 , b2 ,, bn ]
T
z (k ) h(k ) v(k )
和最小，即
ˆ ˆ ˆ J ( ) (Z m H m )T (Z m H m ) min
J ˆ 2 H ( Z m H m ) 0
T m
ˆ
ˆ HTZ H H m m m
T m
2.2 一般最小二乘法原理及算法
T 如果 H m 的行数大于等于列数，即 m 2 n ， H m H m 满秩，即 T T rank(H m H m ) 2n ，则 ( H m H m ) 1 存在。则 的最小二乘估计为
80 980
88 1010
95.7 1032
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
R a bt
N ˆ N N 2 N a Ri t R 702 i.762 i t i t i i 1 i 1 a i 1 i 1 ˆ 2 N N ˆ N t i2 t i b 3.4344 i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ R 943 .1682 N N 2 N ti ti i 1 i 1
当系统的量测噪声 Vm 是均值为 0，方差为 R 的随机向 量，则加权最小二乘估计有如下性质。
1
r 0 R 0 4r
ˆ 1 11 1 1 z1 1 ( z z ) 2 z 2 1 1 2
1 r 0 1 1 E ( ) 1 1 1 1 1 1 11 1 0 4r ~ ~T
ˆ (H T H ) 1 H T Z m m m m
最小二乘估计虽然不能满足式（3.12）中的每一个方程，使 每个方程都有偏差，但它使所有方程偏差的平方和达到最小，兼 顾了所有方程的近似程度，使整体误差达到最小，这对抑制测量 误差 v(i)(i 1,, m) 是有益的。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
J min vi2 [ Ri (a bti )]2
i 1 i 1 N N
根据求极值的方法，对上式求导
N J 2 ( Ri a bti ) 0 a i 1 ˆ a a N J 2 ( Ri a bti )t i 0 b bbˆ i 1
~ ~T
~ ˆ) 或 E( ) 0 (1) 最小二乘估计是无偏估计，即 E(
证明：
T T ˆ (H m H m ) 1 H m Z m
~
~ T T ˆ E( ) E( ) E[ (Hm Hm )1 Hm Zm ]
~ T 1 T T 1 T E( ) E[(H m H m ) (H m H m ) (H m H m ) H m Z m ]
N J 2 ( Ri a bti ) 0 a i 1 ˆ a a N J 2 ( Ri a bti )t i 0 b bbˆ i 1
ˆ ˆ Na b t i Ri i 1 i 1 N N N ˆ a t i b t i2 Ri t i ˆ i 1 i 1 i 1
T T (H m H m ) 1 H m E(H m Z m )
T T (Hm Hm )1 Hm E(Vm ) 0
(2) 最小二乘估计的均方误差为
T T T E( ) (H m H m ) 1 H m RHm (H m H m ) 1
~ ~T
证明： 根据第（1）式的证明，显然有
T
a1 an b1 bn
T
Vm v(1) v(2) v(m)
Z m H m Vm
2.2 一般最小二乘法原理及算法
最小二乘的思想就是寻找一个 的估计值 ˆ ，使得各次测量
ˆ ˆ 的 Z i (i 1,m) 与由估计 ˆ 确定的量测估计 Z i H i 之差的平方
i 1 i 1
n
n
z (k ) 为系统输出量的第 k 次观测值; y(k ) 为系统输出量的第 k 次真值; u (k ) 为系统的第 k 个输入值;
v(k ) 是均值为 0 的随机噪声。
2.2 一般最小二乘法原理及算法
z (k ) ai y(k i ) bi u (k i) v(k )
ˆ) (Z H )T (Z H ) min ˆ ˆ J ( m m m m ˆ) (Z H )T W (Z H ) min ˆ ˆ J (
m m m m m
Wm diag[ w(1), w(2),, w(m)]
2.3 加权最小二乘法原理及算法
t 70 C
2.2 一般最小二乘法原理及算法
v(k ) u (k ) G (z ) y (k ) z (k )
图 3.4 SISO 系统的“黑箱”结构
b1 z 1 b2 z 2 bn z n y (k ) G( z ) u(k ) 1 a1 z 1 a2 z 2 an z n
N N
N N N N Ri t i2 Ri t i t i i 1 i 1 i 1 a i 1 ˆ 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1 N N N N Ri t i Ri t i i 1 i 1 b i 1 ˆ 2 N N 2 N ti ti i 1 i 1
1、引言
z
m次独立试验的数据
t (k )
G (z )
y (k )
(t1 , y1 ) (t2 , y2 )
(tm , ym )
f (t )
t
f (t ) a0 a1h1 (t ) a2 h2 (t ) an hn (t )
• 1801年初，天文学家皮亚齐发现了谷神星。 •1801年末，天文爱好者奥博斯，在高斯预 言的时间里，再次发现谷神星。 •1802年又成功地预测了智神星的轨道。
常见做法：
太复杂 使 max | yi Ri | 最小 /* minimax problem */ 1 i N
使
| y
i 1
m i 1
N
i
Ri |
Ri |2
最小
最小
不可导，求解困难
使 | y
i
测量误差的平方和最小
2.1 利用最小二乘法求模型参数
根据最小二乘的准则有
ˆ) (Z H )T W (Z H ) min ˆ ˆ J ( m m m m m
J
T ˆ 2H mWm ( Z m H m ) 0
ˆ
ˆ (H T W H ) 1 H T W Z m m m m m m
2.3 加权最小二乘法原理及算法
2.1 利用最小二乘法求模型参数
例：表 1 中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根 据测量值确定该电阻的数学模型， 并求出当温度在 70 C 时
的电阻值。
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
通过试验确定热敏电阻阻值和温度间的关系
t (C ) R ()
t1 R1
t2 R2
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t N 1 RN 1
tN
RN
R a bt
• 当测量没有任何误差时，仅需2个测量值。 • 每次测量总是存在随机误差。
yi Ri vi 或 yi a bt vi
vi yi Ri或vi＝yi a bti
当系统的量测噪声 Vm 是均值为 0，方差为 R 的随机向 量，则最小二乘估计有如下性质。
(1) 最小二乘估计是无偏估计，即
~ ˆ) 或 E( ) 0 E(
(2) 最小二乘估计的均方误差为
T T T E( ) (H m H m ) 1 H m RHm (H m H m ) 1
T T T T E( ) (Hm Hm )1 Hm E(VmVm )Hm (Hm Hm )1
~ ~T
( H Hm ) H RHm ( H Hm )
T m T m T m
1
1
2.2 一般最小二乘法原理及算法
例 3.2 用 2 台仪器对未知标量 各直接测量一次，量 测量分别为 z 1 和 z 2 ，仪器的测量误差均值为 0，方差分别 为 r 和 4 r 的随机量，求 的最小二乘估计，并计算估计的 均方误差。