信阳市2014--2015学年度高中毕业班第二次调研检测高三数学理科答案

高三数学理科参考答案
一、BCAAC DCABD CB
二、13．3 14. -10 15.
2 16. 2 三、17. 解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a 212c o s 3s i n 2c o s 23s i n 22
x x x x =++=++ =2)6
π
2sin(2++x ， 当且仅当23ππ26π2+=+
k x ,即3
2ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x =min ， 此时x 的集合是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. ……………… 6分 （Ⅱ）由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k －，所以)(6
ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k －, ∴函数()f x 的单调递增区间为)](6
ππ,3ππ[Z ∈+k k k -. ……… 12分 18.解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ① 当2≥n 时，1122--=-n n S a ②
①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）．
又当n=1时，1122=-S a ，得12=a ．
∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a .
又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b
∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，
∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n
∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯+
+-⋅+-⋅n n n T n n ③ 231121232(25)2(23)2(21)2-+=
⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④ 由③-④得
2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯+
+⋅+⋅--⋅n n n n T n 23112(12222)(21)2-+-=+++
+--⋅n n n n T n ∴62
)23(1-⋅-=-+n n n T
∴62)32(2+⋅-=+n n n T ∴数列{}n c 的前n 项和62
)32(1+⋅-=+n n n T ……………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由直方图可得：
200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．
∴ 0.0125x =． ..........................3分
（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
0.0032200.12⨯⨯=，
∵12000.12144⨯=，
∴1200名新生中有144名学生可以申请住宿.................... 6分
（Ⅲ）∵X 的可能取值为0,1,2,3,4.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14
，
4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3
141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,3
34133(3)C 4464
P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 411(4)4256
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． .................. 10分 所以X 的分布列为： X
0 1 2 3 4 P 81256 2764 27128 364
1256 812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（或1414
EX =⨯=） 所以X 的数学期望为1． ................. 12分
20．解：（Ⅰ）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,
3,42222b a b a c 解得a 2＝6，b 2＝2. ∴椭圆C 的标准方程是12
62
2=+y x . ……………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).
设直线P Q 的方程为x ＝my +2，将直线P Q 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my +2，x 26＋y 22
＝1. 消去x ，得(m 2＋3)y 2+4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.
设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝-4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3.于是x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)+4＝12m 2＋3
. 设M 为P Q 的中点，则M 点的坐标为)3
2,36(
22+-+m m m . ∵TF ⊥P Q ，所以直线FT 的斜率为m -，其方程为)2(--=x m y .
当t x =时，()2--=t m y ，所以点T 的坐标为()()2,--t m t ，
此时直线OT 的斜率为()t
t m 2--，其方程为x t t m y )2(-=. 将M 点的坐标为)3
2,36(22+-+m m m 代入上式，得36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m . 解得3=t . ………………………………………………12分
21.解.（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(.
又11)0(-=-='a f ，∴2=a .∴12e )(--=x x f x ，2e )(-='x x f .
由02e )(>-='x x f ，得2ln >x .
∴函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增. …………4分 (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e )2(ln )(2ln min -=--==f x f .
∴4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x ，04ln 22e >-≥-x x .
令1e )(2--=x x g x ，则02e )(>-='x x g x .
∴)(x g 在),0(+∞上单调递增，∴0)0(1e )(2
=>--=g x x g x ，
∴1e 2+>x x .…………（8分）
(Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x >
. 令33
1e )(x x h x -=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增，
∴01)0()(>=>h x h ，所以33
1e x x >. ∴)3
1ln(3x x >，即x x ln 33ln >+. 依次取n
n x 1,,23,12+= ，代入上式，则 1
2ln 33ln 12>+， 2
3ln 33ln 23>+， n
n n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n
n n n n +⨯⨯⨯>+++++ ∴()1ln 33ln )131211(+>++++++n n n
n ， ∴()n n n n
--+>++++3ln 1ln 3131211 ， 即()n n n n e
31ln 1312113+>++++ ……………………………………12分
22. (Ⅰ)∵PA 是圆O 的切线 ∴ACB PAB ∠=∠ 又P ∠是公共角
∴ABP ∆∽CAP ∆ …………………2分 ∴
2==PB
AP AB AC ∴AB AC 2= ………4分 (Ⅱ)由切割线定理得：PC PB PA ⋅=2 ∴20=PC 又PB=5 ∴15=BC ………6分
又∵AD 是BAC ∠的平分线 ∴
2==DB
CD AB AC ∴DB CD 2= ∴5,10==DB CD ………8分 又由相交弦定理得：50=⋅=⋅DB CD DE AD ………10分
23．解：(Ⅰ)（方法一）曲线C 的直角坐标方程为05622=+-+x y x
即4)3(22=+-y x ∴曲线C 是圆心为(3,0)，半径为2的圆.
∵直线l 的方程为:0sin cos sin =+-αααy x ………3分
∵直线l 与曲线C 相切 ∴2cos sin |sin sin 3|22=++α
ααα 即2
1sin =α ………5分 ∵ α∈[0,π) ∴α=656ππ或 ………6分
(法二)将05cos 62=+-θρρ化成直角坐标方程为05622=+-+x y x ……2分
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-==+-+ααsin cos 105622t y t x x y x 消去y x ,得012cos 82=+-αt t …………4分 ∵ l 与C 相切 ∴ Δ=64α2cos -48=0 解得cos α=2
3± ∵ α∈[0,π) ∴α=6
56ππ或
…………6分 (Ⅱ)设θθsin 2,cos 23=+=y x 则 y x +=θθsin 2cos 23++)4sin(223π
θ++= ………9分
∴ y x +的取值范围是[]223,223+-. ………10分
24．解：(Ⅰ)∵ab b a ab 2222≥+= 即
ab ab ≥ ∴1≤ab ………2分 又2b
211≥≥+a b a 当且仅当b a =时取等号. ∴ 2m = ………5分 (Ⅱ)()f x 2|1||1|||≥+≥+
+-=t t t x t x ………9分 ∴ 满足条件的实数x 不存在. ………10分。